重难点培优01 递推求通项（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 递推求通项 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 累加法求通项（★★） 4 题型二 累乘法求通项（★★★） 8 题型三 构造数列法求通项（★★★★） 14 题型四 对数变换法求通项（★★★★）....................................................................................................20 题型五 倒数变换法求通项（★★★★）....................................................................................................25 题型六 型求通项（★★★★）......................................................................................30 题型七 已知与前项的和关系求通项（★★★★）........................................................................36 03 实战检测・分层突破验成效 42 检测Ⅰ组 重难知识巩固 42 检测Ⅱ组 创新能力提升 55 类型一 累加法求通项 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型二 累乘法求通项 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型三 构造数列法求通项 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 解题技巧一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 解题技巧二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 解题技巧一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 解题技巧二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：利用构造求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 解题技巧一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 解题技巧二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，便可求出 解题技巧三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用构造的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 类型四 对数变换法求通项 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型五 倒数变换法求通项 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型六 形如型的递推式求通项 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 类型七 已知与前项的和关系求通项 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 题型一 累加法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 2．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由，两边同时除以，得，则， ，，， 上边的式子相加可得：， 所以. 故答案为： 3．（24-25高二上·天津·开学考）已知数列首项为2，且，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以，，，，， 累加可得，又， 所以. 故答案为： 4．（24-25高三上·天津西青·期中）已知数列，下列结论不正确的是（） A．若为等比数列，则数列是等差数列 B．若，，则 C．若，，则 D．若为等差数列，则数列是等比数列 【答案】A 【详解】对于A，若是负数构成的等比数列，此时没有意义，故A错误； 对于B，等价于， 数列是以为首项，公比为2的等比数列， ，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，若为等差数列，可设， （常数） 数列是等比数列，故D正确. 故选：A. 5．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 【答案】/ 【详解】当时，有，即， 再由可得：， 所以是常数数列，首项，则，即， 再由可得：，， 由累加法得， 所以，， 当时，，满足， 所以， 则， 故答案为：. 6．（24-25高三上·天津·开学考）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ． 【答案】211 【详解】设数列为,根据题意， 则累加可得, 所以，故. 故答案为：. 7．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的首项为1，对任意的，定义. (1)若， （ⅰ）求的值和数列的通项公式； （ⅱ）求数列的前n项和； (2)若（），且，，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)（ⅰ），（ⅱ）， (2)2696 【详解】（1）（ⅰ）由题意，， 所以当时，， 又， 所以数列的通项公式为， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得， 所以数列的前n项和为. （2）若（），且，， 则， 所以数列是周期为6的周期数列，且其前6项分别为，它们的和为， 数列的前2022项的和为. 8．（22-23高二上·天津西青·期末）已知数列的前n项和为，设，，，则= . 【答案】 【详解】由，即，代入， 可得，则， 时，根据累加法， ， 显然当时，，公式成立， 则. 故答案为：. 题型二 累乘法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 1．（24-25高二上·天津·期末）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】，即， 所以，, 显然满足上式，所以， 则. 故选：C. 2．（24-25高三上·天津·开学考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 3．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)设 ，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由①， 当时，， 当时，②， 由①②得， 所以， 当时，上式也成立， 所以， 因为，所以， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）， 则， ， 两式相减得 ， 所以. 4．（22-23高二下·天津·开学考）已知数列满足，且，若，则数列的前项和 【答案】 【详解】由，得， 以上各式相乘，得，因为，则， 当时，，满足上式，所以， 因为， 则，所以. 故答案为：. 5．（22-23高二上·天津·开学考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 上述各式相乘得， 因为，所以， 经检验，满足， 所以. 故选：D. 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 7．（23-24高二上·天津河西·期末）已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以时，，即， 化简得，又， 所以， 检验时也成立， 所以， 所以， 故答案为：. 8．（24-25高三上·天津·期末）已知各项均不为零的数列的前项和，且满足，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）当时，， 当时， ， 当时，也成立，综上. 由 ，所以是以2为公比，2为首项的等比数列，所以，则. （2）由（1）知，，    ① ② ①-②得 . 题型三 构造数列法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如（其中均为常数且）型的递推式： 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为构造求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，求出 1．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 3．（24-25高三上·天津·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（    ）（参考数据：，，，） A．1240 B．1260 C．1280 D．1290 【答案】B 【详解】依题意，当时，， 则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B． 4．（23-24高三上·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【详解】由得， 整理得， 又得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 所以. 故选：C. 5．（23-24高三上·天津滨海新·开学考试）已知数列满足，，则以下结论正确的个数是（    ） ①为等比数列；②的通项公式为；③为递增数列；④的前n项和. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】因为，且，可知，所以， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故①正确； 则，所以，故②错误； 因为， 因为，所以， 所以， 所以为递减数列，故③错误； 由上得， 所以，故④正确. 故选：C. 6．（22-23高三上·天津·期末）如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，设数列，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为是边上一点，且， 故， 为直线上一点列，则， 因为， 则，故， 整理得：，即， 若，则，解得：，此时，解得：， 故为常数为1的数列，但，不合要求，故， 故， 令得：， 因为，所以，解得： 令，则， 即，因此， 所以为等比数列，公比为，首项为， 故，故 故答案为：， 7．（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)见解析 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为， 则， 解得或（舍去）， 所以； （2）证明：因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； （3）证明：由（2）得， 故 ， 所以. 8．（24-25高三上·天津河西·期末）设数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若求的前项和取最小值时的值； (3)证明： 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，① 时，， 时，② ①-②得，所以，， 所以数列是为首项，为公比的等比数列， 故 （2），所以， 于是当时，；；当时，.所以当或时，取最小值. （3）．故 题型四 对数变换法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型 1．（2025高二·天津·开学考）在数列中，已知，． (1)是否存在实数，使得为等比数列？ (2)求的通项公式． 【答案】(1)存在，； (2). 【详解】（1）假设存在，使是公比为的等比数列， 则，即， 整理得， 可得，解得， 所以， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以存在，使得为等比数列. （2）由（1）知，， 所以． 2．（2025·天津·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由，，得，则， 即，又，于是，而， 所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，. （2）由（1）知，数列，都是递增数列， ，即， 因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项， 所以. 3．（2025高三·天津·调研）已知函数的图象经过点和，记． (1)求数列的通项公式； (2)设，，若对一切均成立，求的最小值； (3)求使不等式对一切均成立的最大实数． 【答案】(1)，． (2)3 (3) 【详解】（1）由题意得，解得， ．，． （2）由（1）得，   ①，   ②， ①②得 ． ， 设，，则由， 得随的增大而减小， 当时，．又恒成立，，． （3）由题意得对恒成立， 记， 则 ． ，，即是随的增大而增大， 的最小值为，，即． 4．（2025·天津·模拟预测）已知是等差数列，是数列的前项积，若，则（   ） A．15 B．21 C．108 D．243 【答案】D 【详解】是等差数列，设其公差为d，因为， 是等比数列，． 故选：D． 5．（24-25高二下·天津·期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，当时有：， 即， 因为，所以解得， 当时，由 ①， 得： ②， ①②得：， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以数列以首项为1，公差为1的等差数列， 所以，当时满足表达式， 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）知，又， 所以， 即， 所以  ③ ④ ③④得：， 即， 所以， 所以数列的前项和. 6．（2025·天津·模拟预测）数列满足，数列满足. (1)求证：数列是等比数列，并求其通项公式； (2)若数列满足是数列的前项和，对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1），且由题， ， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ； （2）由（1）可知，， ， ， 由于对恒成立， 所以. 7．（2025·天津·模拟预测）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由， 可得：， ， ， 所以， 故选：C 8．（24-25高二上·天津·期末）已知正项数列中，，则该数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正项数列中，， 显然，所以， 所以对两边同时取对数，可得， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以. 故选：C. 题型五 倒数变换法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式 形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型 1．（25-26高三上·天津·开学考试）已知数列中，，. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得：，因为，， 所以，， 所以数列是首项为2公比为2的等比数列， 所以，解得：. （2）由（1）知. 因为，所以数列各项为正的递减数列， 故，， ， 所以. 2．（2025高三·天津·调研）已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，即． 故答案为：. 3．（25-26高二上·天津·调研）已知在数列中，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即，又， 所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故，得， 所以． 所以． 故选：A. 4．（2025高三·天津·调研）由，给出的数列的第34项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对已知递推式两边取倒数，得，即． 这说明数列是以为首项，3为公差的等差数列， 从而有， 即， 故选:B． 5．（2025高三·天津·调研）已知数列的首项，，，，，求证： (1)对任意的，，，，； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1：依题意，容易得到， 要证明对任意，，，，， 即证明， 即证明，设， 即证明， 从而，即，这是显然成立的． 综上，有对任意的，，，，． 解法2： ， 所以原不等式成立． （2）由（1）知，对任意的，有 取， 则． 所以原不等式成立． 6．（2025高二·天津·调研）已知数列满足，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，可得， 从而， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 所以，即． 故答案为： 7．（24-25高二下·天津·期末）已知数列满足，且. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由，可得，化简得， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以； （2）由可得， 则， 根据分组求和可得. 8．（24-25高二上·天津和平·开学考）已知数列满足则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】， ，即， 解得， 由题意知，，故由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， ， 故 故答案为： 题型六 型求通项 【技巧通法·提分快招】 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列 1．（2025高三·天津·调研）已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 【答案】(1)； (2)存在. 【详解】（1）由得，． 于是数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以， 当时，有． 于是，，，…，，， 叠加得，， 又当时，也适合． 所以，． （2）假设存在，使成等比数列，由（1）知，， 由得，， 整理得，． 由可知， 当时，，又当时，，当时，， 当时，，所以，当时，存在，使成等比数列． 2．（2025·天津宝坻·开学考）已知数列中，，求． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 3．（2025·天津宝坻·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 4．（24-25高二上·天津和平·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由题意得，，，，， ，，. （2）（i） . （ii） . （3）设，对比得，， 解得或. 当时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴①， 当时，同理可得②， ②－①得，. 5．（2025高三·天津·调研）已知数列满足，，． (1)判断数列是否为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是 (2) 【详解】（1）由题意得， 且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是． （2）由于， 把，，，，代入，得 ， ， ， … ， 把以上各式相加，得 ． 所以． 6．（24-25高二下·天津和平·期末）已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 当n＝1时，；当时，， 所以． 故选：C． 7．（2025高三·天津·调研）已知数列满足，()，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】解法1：待定系数——累加法 由， 得，且． 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是． 把，，，，代入，得 ， ， ， … ． 把以上各式相加，得 ， 所以． 解法2：特征根法 数列的特征方程是． 不妨设两根为，， 则． 又，，于是 得 故． 题型七 已知与前项的和关系求通项 【技巧通法·提分快招】 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解 1．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【详解】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 2．（24-25高二下·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由可得， 当时，， 所以，整理可得， 又，所以，即，即公差 当时，，即， 所以数列的通项公式为； 设等比数列的公比为， 由，可得，即， 解得或（舍去）， 所以. （2）奇数项为，对应通项为， 所以， 偶数项为，令可得， 求和为， 所以数列的前项和. 3．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列的前n项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前50项的和为（   ） A．237 B．243 C．435 D．429 【答案】B 【详解】因为， 当时，，则， 当时，， 则，所以， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 根据等比数列的通项公式可得， 因为为在区间中的项的个数， 有，， ， ， ， 所以， 即. 故选：B. 4．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 则当时，， 于是得，即， 而，即， 因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以， 因为，所以， 则， 则 ， 故选：. 5．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 则，解得， 所以当时，，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，经检验当时成立； 因为为等差数列，且，， 所以公差， 所以， 综上，. （2）由（1）得， 所以数列的前项和为 . （3）由（1）得， 所以， 令 ， ， 则， 两式相减，得 ， 所以， 所以. 6．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前n项和为，若，，则有（   ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】D 【详解】由题意，数列的前项和满足， 当时，，两式相减，得， 所以，即， 又由，当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 故数列既不是等差数列也不是等比数列，故A错误，B错误； 当时，，，， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故D正确，C错误. 故选：D. 7．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知数列的前项和为，直线与圆交于两点，且．若存在，使得有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意圆圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以， ，， 时，， 所以，， 所以是等比数列，公比为3，所以， 不等式有解，即，， 设，当时，， ，，， ， ，时，，即，即数列从第5项开始递减， 所以的最大值是， 所以， 故选：B． 8．（24-25高二上·天津南开·期末）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为， 当时，，得， 当时，则， 两式相减得，，即， 且，可知数列为等比数列，公比， 所以. 设等差数列的公差为， 因为，且，解得， 所以. （2）由（1）知， 设的前项和为 则 . 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）， 则，因.则两式相减得：. 又各项均为正数，则. 又时，， 则是以1为首项，公差为2的等差数列， 则，； （2）由（1）时， 则. 则，， 当，设， 注意到 ，其中为小于的最大整数. 则当，其中时， . 则当时， . 又注意到时，. 则. 2．（2023·天津·模拟预测）数列的前项和，则数列中的最大项为 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，由已知，，， 则， 当时，，满足， 所以， 设， 则， 设数列中的第项最大， 则应满足，即， 整理得，解得， 又，所以， 又， 所以数列中的最大项为. 故答案为：. 3．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 【答案】 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 4．（2024·天津·模拟预测）已知为正项数列的前项和．若，且，则（    ） A．7 B．15 C．8 D．16 【答案】B 【详解】因为， 所以，即． 因为，所以，所以， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以，则， 所以，解得， 所以，则． 故选：B． 5．（2024·天津·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则 ，的最小值为 . 【答案】 1 /0.5 【详解】当时，，即，又，所以. 由①，得：当时，②，①②得，故， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则，解得； 故数列的公比为2，，则，，则. 解法一  令，则，， 由对勾函数的性质可得在区间上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 解法二  令，则，单调递增， 所以当时，取得最小值，即的最小值为. 故答案为：1， 6．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以，即，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 设正项等比数列的公比为，由，解得或（舍去）， 又是与的等差中项，所以 ，即， 即，解得（负值舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. （3）由（1）可得 ， 所以 当为偶数时 ， 当为奇数时 ， 综上可得. 7．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 则， 故， ， 而随的增大而减小， 所以， 随的增大而增大， 所以， 因为对任意的，都有， 所以. 8．（2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，得①，则②， ②①得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 即数列的通项公式为； 设等比数列公比为，由，有，， 则， ，解得，则， 即数列的通项公式为. （2）由，得， 则， 所以. （3）设， ， ， 设，， 则， ， 两式相减，得 ， 则有，得， 所以. 9．（2024·天津和平·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以当时，，两式相减，得， 因为数列是等比数列，所以． 由，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，即，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列的前项和为． 故选：A． 10．（2024·天津·模拟预测）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和： (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设数列的公比为，则由条件得， 又，可得，则， 因为，解得，故． 对于，当时，， 当时，由得， 所以可得，可得，且也适合，故， 所以，，即和的通项公式分别为，. （2）因为， 所以 ． （3）由（1）可得， 所以①， 所以②， ①②得 ， 所以. 11．（2025·天津河北·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式 .设，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】因为，所以当 时，， 当时，，符合的情况，所以； 因为， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，，所以， 综上可知. 故答案为：；. 12．（2024·天津北辰·模拟预测）已知数列满足． （1）求的值； （2）若，则求出的值； （3）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围． 【答案】（1）3；（2）；（3）. 【详解】（1）由题意，数列的前项和． 当时，有，所以． 当时， ． 所以，当时， 又符合时与的关系式，所以． 故的值为3． （2）由（1）可知． 则， 所以 ． 所以的值为． （3）由，得．又，所以． 所以，． 因为是递减数列，所以， 即．化简得． 所以，恒成立． 又是递减数列，所以的最大值为第一项． 所以，即实数的取值范围是． 13．（2024·天津南开·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足：，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【详解】解：（Ⅰ）当时，， 当时，，适合上式， 所以：； ∵，， ∴， ∴， ∴数列的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列， ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，， 且，， ， 设，① ∴，② ①﹣②得， ∴， ∴， ， ∴． 14．（2025·天津·模拟预测）已知虚数数列，则其前4n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ， 依次类推，， 所以其前4n项和为. 故选：B. 15．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前n项和是，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】数列的前n项和是，若，， 则当时，， 两式相减可得， 当时，，解得， 当时，，解得 故选：D. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ， 的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 2．（2025·天津·模拟预测）数列满足又则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列满足，且，，， 所以； ； ； ； ； ； ； ； ； 观察奇偶项规律： 奇数项：，构成首项为1公差为1的等差数列， 令，则，通项公式为； 偶数项：，构成首项为1公差为 的等差数列， 令，则，通项公式为，通项公式为， ，选项AB错误； ，选项C正确，选项D错误. 故选：C. 3．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 4．（2025·天津和平·模拟预测）设无穷数列满足，则（） A．存在，为等差数列 B．存在，为等比数列 C．存在，为递减数列 D．存在，为递增数列 【答案】D 【详解】选项A：若存在，数列为等差数列， 则（常数），即对所有成立， 则必须满足，且， 唯一可能解为，此时，但不包含端点，故A错误； 选项B：若存在，数列为等比数列， 则（常数），即，即， 若，则与成正比， 由的图象可知，无法保证与的变式速度相同； 若，则，仅当时成立，但，故B错误； 选项C：若存在，则，数列不是递减数列，故C错误； 选项D：若存在，数列为递增数列， 则，即，故，数列递增，故D正确. 故选：D. 5．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 【答案】C 【详解】对于A中，若，可得，即， 当且时，两边取对数，可得，即， 此时数列表示首项为，公比为的等比数列； 当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误； 对于B中，当时，可得，即， 例如：当时，由，可得， 又由，可得，此时， 所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误； 对于C中，若数列为常数列，则， 因为，即， 又因为，所以， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且， 因为，可得，所以， 则，即， 又因为数列的各项均为正数，即， 所以，即，这与矛盾， 所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误. 故选：C. 1 / 102 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 递推求通项 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 累加法求通项（★★） 4 题型二 累乘法求通项（★★★） 5 题型三 构造数列法求通项（★★★★） 6 题型四 对数变换法求通项（★★★★）....................................................................................................8 题型五 倒数变换法求通项（★★★★）....................................................................................................9 题型六 型求通项（★★★★）......................................................................................10 题型七 已知与前项的和关系求通项（★★★★）........................................................................11 03 实战检测・分层突破验成效 13 检测Ⅰ组 重难知识巩固 13 检测Ⅱ组 创新能力提升 15 类型一 累加法求通项 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型二 累乘法求通项 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型三 构造数列法求通项 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 解题技巧一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 解题技巧二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 解题技巧一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 解题技巧二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：利用构造求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 解题技巧一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 解题技巧二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，便可求出 解题技巧三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用构造的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 类型四 对数变换法求通项 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型五 倒数变换法求通项 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型六 形如型的递推式求通项 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 类型七 已知与前项的和关系求通项 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 题型一 累加法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 2．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式 . 3．（24-25高二上·天津·开学考）已知数列首项为2，且，则 . 4．（24-25高三上·天津西青·期中）已知数列，下列结论不正确的是（） A．若为等比数列，则数列是等差数列 B．若，，则 C．若，，则 D．若为等差数列，则数列是等比数列 5．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 6．（24-25高三上·天津·开学考）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ． 7．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的首项为1，对任意的，定义. (1)若， （ⅰ）求的值和数列的通项公式； （ⅱ）求数列的前n项和； (2)若（），且，，求数列的前2022项的和. 8．（22-23高二上·天津西青·期末）已知数列的前n项和为，设，，，则= . 题型二 累乘法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 1．（24-25高二上·天津·期末）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高三上·天津·开学考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 3．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)设 ，求数列的前n项和 4．（22-23高二下·天津·开学考）已知数列满足，且，若，则数列的前项和 5．（22-23高二上·天津·开学考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 7．（23-24高二上·天津河西·期末）已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则 ． 8．（24-25高三上·天津·期末）已知各项均不为零的数列的前项和，且满足，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型三 构造数列法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如（其中均为常数且）型的递推式： 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为构造求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，求出 1．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 2．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 3．（24-25高三上·天津·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（    ）（参考数据：，，，） A．1240 B．1260 C．1280 D．1290 4．（23-24高三上·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 5．（23-24高三上·天津滨海新·开学考试）已知数列满足，，则以下结论正确的个数是（    ） ①为等比数列；②的通项公式为；③为递增数列；④的前n项和. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（22-23高三上·天津·期末）如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，设数列，则的通项公式为 . 7．（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 8．（24-25高三上·天津河西·期末）设数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若求的前项和取最小值时的值； (3)证明： 题型四 对数变换法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型 1．（2025高二·天津·开学考）在数列中，已知，． (1)是否存在实数，使得为等比数列？ (2)求的通项公式． 2．（2025·天津·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 3．（2025高三·天津·调研）已知函数的图象经过点和，记． (1)求数列的通项公式； (2)设，，若对一切均成立，求的最小值； (3)求使不等式对一切均成立的最大实数． 4．（2025·天津·模拟预测）已知是等差数列，是数列的前项积，若，则（   ） A．15 B．21 C．108 D．243 5．（24-25高二下·天津·期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．（2025·天津·模拟预测）数列满足，数列满足. (1)求证：数列是等比数列，并求其通项公式； (2)若数列满足是数列的前项和，对恒成立，求实数的取值范围. 7．（2025·天津·模拟预测）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津·期末）已知正项数列中，，则该数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 题型五 倒数变换法求通项 【技巧通法·提分快招】 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式 形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型 1．（25-26高三上·天津·开学考试）已知数列中，，. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，证明：． 2．（2025高三·天津·调研）已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 3．（25-26高二上·天津·调研）已知在数列中，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·天津·调研）由，给出的数列的第34项是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·天津·调研）已知数列的首项，，，，，求证： (1)对任意的，，，，； (2)． 6．（2025高二·天津·调研）已知数列满足，，则数列的通项公式 ． 7．（24-25高二下·天津·期末）已知数列满足，且. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 8．（24-25高二上·天津和平·开学考）已知数列满足则数列的通项公式为 . 题型六 型求通项 【技巧通法·提分快招】 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列 1．（2025高三·天津·调研）已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 2．（2025·天津宝坻·开学考）已知数列中，，求． 3．（2025·天津宝坻·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 4．（24-25高二上·天津和平·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 5．（2025高三·天津·调研）已知数列满足，，． (1)判断数列是否为等比数列； (2)求数列的通项公式． 6．（24-25高二下·天津和平·期末）已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．（2025高三·天津·调研）已知数列满足，()，，求数列的通项公式． 题型七 已知与前项的和关系求通项 【技巧通法·提分快招】 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解 1．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 2．（24-25高二下·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 3．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列的前n项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前50项的和为（   ） A．237 B．243 C．435 D．429 4．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 6．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前n项和为，若，，则有（   ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 7．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知数列的前项和为，直线与圆交于两点，且．若存在，使得有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津南开·期末）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 2．（2023·天津·模拟预测）数列的前项和，则数列中的最大项为 ． 3．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 4．（2024·天津·模拟预测）已知为正项数列的前项和．若，且，则（    ） A．7 B．15 C．8 D．16 5．（2024·天津·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则 ，的最小值为 . 6．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 7．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 8．（2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求证：； (3)求的值． 9．（2024·天津和平·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·模拟预测）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和： (3)设，求数列的前项和． 11．（2025·天津河北·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式 .设，则数列的前项和 . 12．（2024·天津北辰·模拟预测）已知数列满足． （1）求的值； （2）若，则求出的值； （3）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围． 13．（2024·天津南开·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足：，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）求． 14．（2025·天津·模拟预测）已知虚数数列，则其前4n项和为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前n项和是，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 2．（2025·天津·模拟预测）数列满足又则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 4．（2025·天津和平·模拟预测）设无穷数列满足，则（） A．存在，为等差数列 B．存在，为等比数列 C．存在，为递减数列 D．存在，为递增数列 5．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$