重难点培优01 集合、含参数集合之间关系（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 集合、含参数集合之间关系 目录 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 基于解不等式对集合的考察（★★） 2 题型二 含参集合的包含关系（★★★） 4 03 实战检测・分层突破验成效 8 检测Ⅰ组 重难知识巩固 8 检测Ⅱ组 创新能力提升 13 1、 集合常用结论 1、子集： （1）子集的定义：一般地，对于两个集合，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记做或， 读做“A包含于B”，或“B包含A”. （2）子集的表示：用符号“”表示子集，读作“包含于”，用符号“”表示不是子集，读作“不包含于”； 规定：空集是任何集合的子集，即对任意的集合A，都有A； 2、真子集： （1）真子集的定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做AB. （2）真子集的表示：用符号“”表示真子集，读作“真包含于”，用符号“”表示不是真子集，读作“不真包含于”； （3）真子集与子集的关系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。 3、集合与集合的相等关系： ① 集合与集合相等的定义： 如果集合A、B满足：AB,且BA,则称集合A与集合B相等； ②集合与集合相等的表示： 用符号“=”表示集合与集合的相等关系，例如集合A与集合B相等可表示为A=B 4、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 二、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型一 基于解不等式对集合的考察 【技巧通法·提分快招】 解不等式在集合的考察的能力要求 （1）能基于作图解出指数、对数不等式，基于因式分解解出二次不等式 （2）认清常见数集如N、R、Z、Q （3）根式、对数的定义域 （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 1．（2025·天津·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解一元二次不等式及绝对值不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】因为集合， ， 所以， 故选：C 2．（2025·天津河西·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解出两不等式的解集，并根据其包含关系判断即可. 【详解】易知不等式的解集为， 不等式的解集也为， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 3．（2025·天津和平·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，得到，利用交集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 4．（2025·天津河东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，再由交集运算即可求解； 【详解】且 所以， 故选：C 5．（高三数学重组全真卷·天津卷）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式求出，再根据集合的运算求出即可. 【详解】因为，解得：，所以， 所以，即. 故选：C 6．（24-25高三上·天津四中·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】，， ． 故选：C 题型二 含参集合的包含关系 【技巧通法·提分快招】 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 考点分布 集合间的交集、并集和补集的运算,不等式的解法,集合间的包含关系，函数定义域及指数不等式的求解，函数的单调性、不等式的性质 1．不等式的解集是，关于x的不等式的解集是. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. (3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）分别解出解出集合A，B，再求； （2）由得到.对m分类讨论，分， 和三种情况，分别求出m的范围，即可得到答案； （3）用集合法列不等式组，求出a的范围. 【详解】（1）由的解集是，解得：. 当m=1时，可化为，解得. 所以. （2）因为，所以. 由（1）得：. 当时，由可解得.要使，只需，解得：； 当时，由可解得.不符合，舍去； 当时，由可解得.要使，只需，解得：； 所以，或. 所以实数的取值范围为：. （3）设关于x的不等式（其中）的解集为M，则； 不等式组的解集为N，则； 要使p是q的必要不充分条件，只需NM，即，解得：. 即实数a的取值范围. 2．设函数的定义域为A，集合. （1）； （2）若集合是的子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由函数的定义域、指数函数的性质可得，，再由集合的并集运算即可得解； （2）由集合的交集运算可得，再由集合的关系可得，即可得解. 【详解】由可得，所以， ， （1）所以； （2）因为，所以， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 3．已知全集，集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】（1）分别求出集合与,然后将和集合取交集即可; （2）先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意,,解得, 即集合,则或, 又,所以; （2）,, 若,则,解得; 若,则,解得. 故的取值范围是或. 4．已知集合，． （1）分别求A∩B，A∪B； （2）已知集合，若C⊆A，求实数a的取值范围． 【答案】(1) A∩B=[1，2），A∪B=（0，3](2) a≤3 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）利用指数函数与对数函数的单调性分别化简A，B，再利用集合的运算性质即可得出； （2）由C⊆A，对集合C分类讨论：当C为空集时，当C为非空集合时，即可得出． 【详解】（1）由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]． 由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）． ∴A∩B=[1，2）． A∪B=（0，3]． （2）由C⊆A， 当C为空集时，a≤1． 当C为非空集合时，可得 1＜a≤3． 综上所述：a的取值范围是a≤3． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合B，再利用集合的交运算即可求得结果. 【详解】易知，所以， 故选：A． 2．已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，利用交集和补集求出答案. 【详解】， 令得，令得，令得， 故， ， 所以. 故选：D 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 4．（2025·天津·模拟预测）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果. 【详解】因为有且只有两个元素， 所以曲线与有且只有两个交点. 对于曲线变形可得， 表示的是双曲线在轴上及上方的所有点， 对于曲线， （1）当时，如图所示，表示的是一条直线， 与交于，两点，符合题意； （2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意； （3）当时，表示的是两条射线， ， 当时，表示的是 和两条射线，与仅有一个交点， 如下图所示，所以不符合题意； 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的左右两支各有一个交点， 如下图所示，所以符合题意； 当时，，当时，的斜率， 当时，的斜率，联立， 解得， 此时与左支仅有一个交点，如下图所示： 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示，所以符合题意； 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示：符合题意； 当时，与轴的交点为，且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示：符合题意； 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示：符合题意； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 5．已知集合，，若，，则 . 【答案】19 【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值. 【详解】因为，， ，，所以， 所以5和6是方程的两个根， 所以，解得，， 所以. 故答案为：19. 6．已知函数，若集合中恰有个元素，且各元素之和为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】易知当时，，又恰有个解，可得，分情况列方程，结合根于系数关系及各解之和可得，结合判别式可得解. 【详解】由已知当时，， 又由已知可得方程恰有个解，则， 即当时，方程至多只有一解， 当时，方程可转化为，即，至多有两个解， 综上所述方程在时有一解为， 方程在时有两个解，，且满足，， 又，解得， 则， 解得， 故答案为：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.（24·高三·南开中学模拟）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. (1)写出，并求； (2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； (3)若2024是数列中的某一项，求及的值. 【答案】(1)，； (2)88是数列的第30项； (3)，， 【分析】当时，此时，由集合新定义中的规则代入计算即可； 根据集合新定义，由，再列举出比它小的项即可； 方法一：由可得，再列举出比它小的项分别有以下7种情况，再求和；方法二：由可得，求得集合中的元素个数和最大的一个，可得，再求和可得. 【详解】（1）因为，此时， ， . （2）当时，， 是数列中的项， 所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项. （3）是数列中的项，故， 则当时，， 方法一：比它小的项分别有以下7种情况： ①个数字任取7个得个， ②，得个， ③，得个， ④，得个， ⑤，得个， ⑥，得个， ⑦，得个， 所以比2024小的项共有个， 其中 故2024是数列的第329项，即. 方法二：共有元素个， 最大的是，其次为， 所以2024是数列的第项，即. 在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于解读集合的定义计算，并联想到和辅助思考. 2.已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质． （Ⅰ）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由； （Ⅱ）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】解：（Ⅰ）由于3﹣1和3+1都不属于集合{0，1，3}，所以该集合不具有性质P； 由于2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6都属于集合{0，2，4，6}， 所以该数集具有性质P．…（4分） （Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a8}具有性质P，所以a8+a8与a8﹣a8中至少有一个属于A， 由0≤a1＜a2＜…＜a8，有a8+a8＞a8，故a8+a8∉A，∴0=a8﹣a8∈A，故a1=0． ∵0=a1＜a2＜…＜a8，∴a8+ak＞a8，故a8+ak∉A（k=2，3，…，8）． 由A具有性质P知，a8﹣ak∈A（k=2，3，…，8）． 又∵a8﹣a8＜a8﹣a7＜…＜a8﹣a2＜a8﹣a1， ∴a8﹣a8=a1，a8﹣a7=a2，…，a8﹣a2=a7，a8﹣a1=a8，即ai+a9﹣i=a8（i=1，2，…，8）．…① 由a2+a7=a8知，a3+a7，a4+a7，…，a7+a7均不属于A， 由A具有性质P，a7﹣a3，a7﹣a4，…，a7﹣a7均属于A， ∴a7﹣a7＜a7﹣a6＜…＜a7﹣a4＜a7﹣a3＜a8﹣a3 ， ∴a7﹣a7=0，a7﹣a6=a2，a7﹣a5=a3，…，a7﹣a3=a5，即 ai+a8﹣i=a7（i=1，2…7）．…② 由①②可知ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣（a7﹣ai﹣1） （i=1，2…7，8）， 即ai﹣ai﹣1=a8﹣a7（i=2，3，…，8）． 故a1，a2，…a8构成等查数列．…（10分） 【详解】试题分析：（Ⅰ）由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质； 由于、、、、、、、、、都属于集合，所以该数集具有性质． 4分 （Ⅱ）具有性质，所以与中至少有一个属于， 由，有，故，，故． ，，故． 由具有性质知，，又， ，即 ……① 由知，，，…，，均不属于， 由具有性质，，，…，，均属于， ，而， ，，，…，即……② 由①②可知，即（）． 故构成等差数列． 10分 考点：本题主要考查集合的概念，等差数列的证明． 点评：难题，本题属于新定义问题，关键是理解好给予的解题信息，并灵活地进行应用．（2）证明数列是等差数列的方法，不同于常见方法，令人难以想到． 3.已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合． （1）当，时，用列举法表示集合； （2）设，，，其中证明：若，则． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）当时，采用列举法可得集合；（2）先由已知写出及的表达式：，，再作差可得，放缩法化为最后利用等比数列前项和公式求和，判断出差式的符号，证得结果． 【详解】（1）当时，可得，； （2）由，及， 可得 ． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 集合、含参数集合之间关系 目录 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 基于解不等式对集合的考察（★★） 3 题型二 含参集合的包含关系（★★★） 4 03 实战检测・分层突破验成效 5 检测Ⅰ组 重难知识巩固 6 检测Ⅱ组 创新能力提升 7 1、 集合常用结论 1、子集： （1）子集的定义：一般地，对于两个集合，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记做或， 读做“A包含于B”，或“B包含A”. （2）子集的表示：用符号“”表示子集，读作“包含于”，用符号“”表示不是子集，读作“不包含于”； 规定：空集是任何集合的子集，即对任意的集合A，都有A； 2、真子集： （1）真子集的定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做AB. （2）真子集的表示：用符号“”表示真子集，读作“真包含于”，用符号“”表示不是真子集，读作“不真包含于”； （3）真子集与子集的关系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。 3、集合与集合的相等关系： ① 集合与集合相等的定义： 如果集合A、B满足：AB,且BA,则称集合A与集合B相等； ②集合与集合相等的表示： 用符号“=”表示集合与集合的相等关系，例如集合A与集合B相等可表示为A=B 4、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 二、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型一 基于解不等式对集合的考察 【技巧通法·提分快招】 解不等式在集合的考察的能力要求 （1）能基于作图解出指数、对数不等式，基于因式分解解出二次不等式 （2）认清常见数集如N、R、Z、Q （3）根式、对数的定义域 （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 1．（2025·天津·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河西·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·天津和平·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（高三数学重组全真卷·天津卷）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·天津四中·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 含参集合的包含关系 【技巧通法·提分快招】 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 考点分布 集合间的交集、并集和补集的运算,不等式的解法,集合间的包含关系，函数定义域及指数不等式的求解，函数的单调性、不等式的性质 1．不等式的解集是，关于x的不等式的解集是. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. (3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 2．设函数的定义域为A，集合. （1）； （2）若集合是的子集，求实数a的取值范围. 3．已知全集，集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 4．已知集合，． （1）分别求A∩B，A∪B； （2）已知集合，若C⊆A，求实数a的取值范围． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·模拟预测）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数a的取值范围为 ． 5．已知集合，，若，，则 . 6．已知函数，若集合中恰有个元素，且各元素之和为，则实数的取值范围是 ． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1.（24·高三·南开中学模拟）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. (1)写出，并求； (2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； (3)若2024是数列中的某一项，求及的值. 2.已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质． （Ⅰ）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由； （Ⅱ）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由． 3.已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合． （1）当，时，用列举法表示集合； （2）设，，，其中证明：若，则． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$