第08讲 整式的加减与探索与表达规律（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（北师大版2024）

第08讲 整式的加减与探索与表达规律（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.同类项 2.合并同类项 3.去括号法则 4.整式的加减 5.整式的化简求值 6.探索规律的一般方法 题型巩固 一、同类项的判断 二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 三、合并同类项 四、去括号 五、添括号 六、整式的加减运算 七、整式的加减中的化简求值 八、整式加减中的无关型问题 九、整式加减的应用 十、带有字母的绝对值化简问题 十一、数字类规律探索 十二、图形类规律探索 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.同类项 1. 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项 . 所有的常数项都是同类项 . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”：① 所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关.如 3mn 与 －nm 是同类项 . 知识点2.合并同类项 定义 把同类项合并成一项叫作合并同类项 . 法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 一般步骤 一找：找出同类项 .(可用“____”“_____”等做标记)二结合：利用加法的交换律与结合律将同类项结合 .三合并：运用合并同类项法则进行合并 . 知识点3.去括号法则 1. 去括号法则 (1)括号前是“ +”号，把括号和它前面的“ +” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； (2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变. 简言之：括号前“－”变“ +”不变 . 2. 去括号时的注意事项 (1) 去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉. (2) 需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时，括号里的各项都不变号 . 知识点4.整式的加减 整式的加减，实质就是去括号和合并同类项的综合应用，如果有括号应先去括号，再合并同类项 . 注意： 整式的加减的最后结果中： ① 结果要最简， 即结果中不含有同类项，不含括号；②一般按照某一字母降幂(或升幂) 排列； ③当含字母的项的系数出现带分数时， 要把带分数转化为假分数 . 知识点5.整式的化简求值 整式的化简求值的步骤如下： 图示 去括号 合并同类项 求值 整式 代入数值 知识点6.探索规律的一般方法 1. 探索特殊规律的一般方法和步骤 善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点 从具体的实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律 归纳小结 对比分析 特例引路 由此及彼，合理联想，大胆猜想，总结规律 通过特例验证结论正确与否，在总结规律的过程中，变换思维方式常会起到事半功倍的效果 反思验证 2. 常见规律类问题 (1) 对于有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式 入手，观察 数与数 之间的规律及算式本身存在的规律，把算式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分、数与算式的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律 . (2)探索图形变化的规律，要注意观察图形，分析图形特点，特别是相邻两个图形间的关 系，从不同的角度 探索，最后用代数式表 示出一般规律，不同代数式表 达的结果可根据去括号和合并同类项法则化简，最终结果是一致的 . 题型巩固 题型一、同类项的判断 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）写出的一个同类项： ． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）生活中处处有分类现象，我们可以把具有相同特征的事物归为一类，利用好分类将会给我们的生活和学习带来很大的便利．观察下列式子，哪些可以分为同一类？你能说出理由吗？，，，，，，，0，，． ___________，___________，___________，___________分别是同一类． 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（22-23七年级上·全国·期中）若与是同类项，则m、n的值分别是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·全国·期中）若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知与是同类项，求的值． 题型三、合并同类项 7．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）下列各式的计算，正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如果单项式与的和仍是单项式，则 ． 9．（23-24七年级上·青海西宁·期中）合并同类项： (1) (2) 题型四、去括号 10．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列式子去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）去括号得 ． 12．（25-26七年级上·全国·随堂练习）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五、添括号 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（22-23七年级上·吉林·期中）在等式的括号内填上恰当的项：（____________），括号内应填入 ． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察这两个式子；．我们发现了什么？ 题型六、整式的加减运算 16．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三个连续的整数，中间一个是，则三个数的和为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·全国·期中）如果，，且，那么 ． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型七、整式的加减中的化简求值 19．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）已知，，则的值为 ． 21．（25-26七年级上·全国·期中）化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 题型八、整式加减中的无关型问题 22．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·福建漳州·期中）当k＝ 时，代数式中不含项． 24．（24-25七年级上·全国·期中）七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 题型九、整式加减的应用 25．（25-26七年级上·全国·期中）一根绳子长为m米，第一次剪去它的多2米，第二次剪去剩下的少 1 米，还剩下（   ）米． A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·福建漳州·期中）长方形的一边长为，另一边比第一边大，则长方形的周长为 ． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）学习《整式及其加减》后，在一次数学活动中，乐乐对东东说：“你在心里想好一个两位数，将十位数字乘5，然后加4，再将所得新数乘2，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．”通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你说明原因． 我的结果是85．   你心里想的是77．   我的结果是27．    你心里想的是19．            题型十、带有字母的绝对值化简问题 28．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）当时， 30．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）求的最小值． 题型十一、数字类规律探索 31．（24-25七年级上·福建漳州·期中）现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 32．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知每相邻三数之和为，则 ． 33．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）观察下面各数：1，，3，，5，，7，，9…… (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)是否在这列数中？若在，请写出是第几个数；若不在，请说明理由． 题型十二、图形类规律探索 34．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是（    ）． A．109 B．85 C．72 D．66 35．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）棱长为1厘米的正方体，按如图所示方式层层重叠放置． （1）第3个图形的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． （2）照这样摆下去，第5个图形的体积是 立方厘米． （3）如果要将摆成的第5个图形补成一个正方体，最少还需要补上 个这样的小正方体． 36．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，大正方形的边长是4米，把它平均分成两份得到一个长方形①，剩下的再平均分，得到一个正方形②，按照这个方法一直分下去……把图形①至⑤都涂成阴影， (1)求阴影面积的和； (2)根据此题的简便思路，计算下题：． 强化训练 一、单选题 1．下列去括号正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．把的后两项放入带有“”号的括号里，得到（    ） A． B． C． D． 3．式子的值（    ） A．与，都无关 B．只与有关 C．只与有关 D．与，都有关 4．若，，则为（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．210 B．171 C．191 D．190 6．定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（    ） A．（n＋1）！－1 B．n！－1 C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1 7．某学校老师分别住在A，B，C三个住宅区，A区有15人，B区有20人，C区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点，要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．B区 B．C区 C．B区或C区 D．B，C两区之间任何一点（含B，C两点） 8．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 二、填空题 9．观察下列式子的规律：、、、、…，则第个式子为 ． 10．若，则多项式的值是 ． 11．有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 12．若式子的值与字母的取值无关，则式子的值为 ． 13．如图正方形ABCD边长为2，若图中阴影两个部分的面积分别为S1、S2．则S1﹣S2= ． 三、解答题 14．化简下列各式： （1）2a2b﹣3ab﹣a2b+4ab （2）2（2a﹣b）+3（2b﹣a） 15．去括号：． 16．先化简，再求值：，其中． 17．一位同学做一道题，“已知两个多项式A、B，计算”，他误将看作，求得，若，求出的正确答案． 18．在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当，时，求多项式的值．”解完这道题后，小明指出是多余的条件．师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的． (1)请你说明小明的说法正确的理由； (2)接着王老师又出示了一道题：“设，，为常数，关于，的多项式，关于，的多项式，并且所得的差是关于，的一次多项式，求代数式的值”请你解决这个问题． 19．先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，，，那么 ， ，用含有（为正整数）的式子表示你发现的规律： ，并依此完成以下计算： （1）． （2）． 20．数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 21．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 整式的加减与探索与表达规律（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.同类项 2.合并同类项 3.去括号法则 4.整式的加减 5.整式的化简求值 6.探索规律的一般方法 题型巩固 一、同类项的判断 二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 三、合并同类项 四、去括号 五、添括号 六、整式的加减运算 七、整式的加减中的化简求值 八、整式加减中的无关型问题 九、整式加减的应用 十、带有字母的绝对值化简问题 十一、数字类规律探索 十二、图形类规律探索 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.同类项 1. 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项 . 所有的常数项都是同类项 . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”：① 所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关.如 3mn 与 －nm 是同类项 . 知识点2.合并同类项 定义 把同类项合并成一项叫作合并同类项 . 法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 一般步骤 一找：找出同类项 .(可用“____”“_____”等做标记)二结合：利用加法的交换律与结合律将同类项结合 .三合并：运用合并同类项法则进行合并 . 知识点3.去括号法则 1. 去括号法则 (1)括号前是“ +”号，把括号和它前面的“ +” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； (2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变. 简言之：括号前“－”变“ +”不变 . 2. 去括号时的注意事项 (1) 去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉. (2) 需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时，括号里的各项都不变号 . 知识点4.整式的加减 整式的加减，实质就是去括号和合并同类项的综合应用，如果有括号应先去括号，再合并同类项 . 注意： 整式的加减的最后结果中： ① 结果要最简， 即结果中不含有同类项，不含括号；②一般按照某一字母降幂(或升幂) 排列； ③当含字母的项的系数出现带分数时， 要把带分数转化为假分数 . 知识点5.整式的化简求值 整式的化简求值的步骤如下： 图示 去括号 合并同类项 求值 整式 代入数值 知识点6.探索规律的一般方法 1. 探索特殊规律的一般方法和步骤 善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点 从具体的实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律 归纳小结 对比分析 特例引路 由此及彼，合理联想，大胆猜想，总结规律 通过特例验证结论正确与否，在总结规律的过程中，变换思维方式常会起到事半功倍的效果 反思验证 2. 常见规律类问题 (1) 对于有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式 入手，观察 数与数 之间的规律及算式本身存在的规律，把算式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分、数与算式的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律 . (2)探索图形变化的规律，要注意观察图形，分析图形特点，特别是相邻两个图形间的关 系，从不同的角度 探索，最后用代数式表 示出一般规律，不同代数式表 达的结果可根据去括号和合并同类项法则化简，最终结果是一致的 . 题型巩固 题型一、同类项的判断 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义逐项分析即可得解，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合同类项的定义，是同类项，符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； C、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； D、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）生活中处处有分类现象，我们可以把具有相同特征的事物归为一类，利用好分类将会给我们的生活和学习带来很大的便利．观察下列式子，哪些可以分为同一类？你能说出理由吗？，，，，，，，0，，． ___________，___________，___________，___________分别是同一类． 【答案】2和0，和和，和，和 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了整式，同类项的定义，熟记同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义解答即可． 【详解】解：在，，，，，，，0，，中．和0，和和，和，和分别是同一类， 理由是它们同类项． 故答案为：2和0；和和；和；和． 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．（22-23七年级上·全国·期中）若与是同类项，则m、n的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项．熟练掌握同类项定义是解题的关键．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值即可． 【详解】解：与是同类项， ， 故选：C． 5．（22-23七年级上·全国·期中）若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【答案】25 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】此题主要考查了同类项的定义．根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x的指数要相等，y的指数也要相等，即可得到m，n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故答案为：25． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知与是同类项，求的值． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫同类项，求代数式的值；根据同类项的概念求得m与n的值，再代入所求代数式中即可求值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴． 题型三、合并同类项 7．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）下列各式的计算，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则对各选项计算后利用排除法求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如果单项式与的和仍是单项式，则 ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据单项式的和仍然是单项式，得到两个单项式为同类项，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：单项式与是同类项， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（23-24七年级上·青海西宁·期中）合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键． （1）先找出同类项，再根据合并同类项法则，进行计算即可； （2）先找出同类项，再根据合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四、去括号 10．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列式子去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号 【分析】本题主要考查去括号法则，注意括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号，直接利用去括号法则判断得出即可． 【详解】解：A．，原变形错误； B．，原变形错误； C．，原变形正确； D．，原变形错误； 故选：C． 11．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）去括号得 ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式的加减—去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·随堂练习）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号的法则，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变．运用这一法则去掉括号．根据去括号的法则直接求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型五、添括号 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添括号 【分析】本题主要考查了添括号．熟知添括号法则是解本题的关键．添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 根据添括号法则求解判断即可． 【详解】解：A． ，A不正确； B． ，B不正确； C．，C正确； D．，D不正确． 故选：C． 14．（22-23七年级上·吉林·期中）在等式的括号内填上恰当的项：（____________），括号内应填入 ． 【答案】/ 【知识点】添括号 【分析】本题考查了添括号法则，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据添括号法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察这两个式子；．我们发现了什么？ 【答案】整式的加减过程中一样可以使用加法结合律 【知识点】添括号 【分析】本题考查整式的加减，根据加法结合律判断即可． 【详解】解：观察这两个式子；．我们发现整式的加减过程中一样可以使用加法结合律． 题型六、整式的加减运算 16．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三个连续的整数，中间一个是，则三个数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据中间一个整数表示出其他两个整数，进而表示出它们的和． 此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【详解】解：根据题意得：另两个整数为， 则：； 故选：B． 17．（24-25七年级上·全国·期中）如果，，且，那么 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减． 将变为，再将，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型七、整式的加减中的化简求值 19．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后，将已知等式整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 故选：B． 20．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减与化简求值，去括号，合并同类项后，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 21．（25-26七年级上·全国·期中）化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 【答案】(1)，2； (2)，． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式加减中的化简求值及去括号，解题的关键是化简过程中注意符号选取． （1）去括号根据多项式加减法则化到最简，代入求解即可得到答案； （2）先将化到最简，然后代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 题型八、整式加减中的无关型问题 22．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式的相关概念解答即可． 【详解】解：项系数为，项合并同类项后系数为， ∵多项式不含项和项， ∴， ∴，， 则． 故选：D． 23．（24-25七年级上·福建漳州·期中）当k＝ 时，代数式中不含项． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题． 先合并同类项，再根据“不含项”得到，进而计算即可． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴， 解得k． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·全国·期中）七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的无关问题， 先整理，再根据题意得，，求出答案，然后求出代数式的值即可. 【详解】解：原式， 由题意可知，, 解得, ∴. 题型九、整式加减的应用 25．（25-26七年级上·全国·期中）一根绳子长为m米，第一次剪去它的多2米，第二次剪去剩下的少 1 米，还剩下（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的实际应用，第一次剪去它的多2米，还剩下米，第二次剪去剩下的少 1 米，还剩下计算即可得到答案． 【详解】解：第一次剪去它的多2米， 还剩下米， 第二次剪去剩下的少 1 米， 还剩下米． 故选：A． 26．（24-25七年级上·福建漳州·期中）长方形的一边长为，另一边比第一边大，则长方形的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了整式加减的实际应用，根据题意先求出长方形的另一边长，然后根据长方形的周长（长宽）计算即可． 【详解】解：根据题意知：矩形的另一边为， 所以这个长方形的周长为， 故答案为：． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）学习《整式及其加减》后，在一次数学活动中，乐乐对东东说：“你在心里想好一个两位数，将十位数字乘5，然后加4，再将所得新数乘2，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．”通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你说明原因． 我的结果是85．   你心里想的是77．   我的结果是27．    你心里想的是19．            【答案】说得对，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确表示出原两位数及新两位数．设所想两位数的十位数字为a，个位数字为b，表示出原两位数及新两位数，通过作差可得两者的差为常数，再进行验证即可． 【详解】解：乐乐说得对，理由如下： 设所想两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原两位数为，根据题意得：， 所以，即结果比原数大8，把计算结果减去8就是心里所想的数， 所以当结果是85时，心里所想的数为， 当结果是27时，心里所想的数是． 题型十、带有字母的绝对值化简问题 28．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、当时，，故A错误； B、当时，，故B错误； C、当时，，故C错误； D、以上说法都不对，故D正确． 故选：D． 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）当时， 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；熟练掌握去绝对值的方法是解题关键； 根据的取值范围，先判断和与0的大小关系，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行化简． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ， ； 故答案为：． 30．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）求的最小值． 【答案】5 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键．根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为． 故答案为：． 题型十一、数字类规律探索 31．（24-25七年级上·福建漳州·期中）现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索． 根据题意可知，则，再求解即可． 【详解】解：∵任意相邻三个数的和为同一个常数， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 32．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知每相邻三数之和为，则 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据每相邻三数之和为，可得表格中的数是以循环排列，进而列出等式即可求解，找出数列的排列规律是解题的关键． 【详解】解：设数列如下： ∵每相邻三数之和为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴表格中的数是以循环排列， ∴， 解得， 故答案为：． 33．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）观察下面各数：1，，3，，5，，7，，9…… (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)是否在这列数中？若在，请写出是第几个数；若不在，请说明理由． 【答案】(1)第100个数为，第2023个数为 (2)正数有1012个，负数有1012个 (3)不在，理由见解析 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）先分别从奇数项和偶数项，符号和绝对值方面进行找规律，分析，即可作答； （2）利用规律进行求解； （3）根据这列数中奇数项是正数，偶数项是负数，这列数的绝对值等于其项数，且结合如果在这列数中，它必然是第2025个数，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：观察数据，得这列数中奇数项是正数，偶数项是负数，这列数的绝对值等于其项数， ∴这列数中的第100个数为，第2023个数为； （2）解：依题意，（个） ∴在前2024个数中，正数有1012个，负数有1012个． （3）解：不在这列数中，理由如下： 观察这列数据，这列数中奇数项是正数，偶数项是负数，这列数的绝对值等于其项数， ∴如果在这列数中，它必然是第2025个数， ∴第2025个数应为，故不在这列数中． 题型十二、图形类规律探索 34．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是（    ）． A．109 B．85 C．72 D．66 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为个点，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第1个图中共有 点， 第2个图中共有点， 第3个图中共有点， …， ∴可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为点， ∴第8个图中共有点的个数为个点， 故选：A. 35．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）棱长为1厘米的正方体，按如图所示方式层层重叠放置． （1）第3个图形的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． （2）照这样摆下去，第5个图形的体积是 立方厘米． （3）如果要将摆成的第5个图形补成一个正方体，最少还需要补上 个这样的小正方体． 【答案】 36 10 35 90 【知识点】图形类规律探索 【分析】题目主要考查小正方体的体积和表面积，结合图形求解即可． （1）先求出每个面的面积，再求表面积即可； （2）先求出每个立方块的体积，再结合图形求解即可； （3）根据正方体结合图形求解即可． 【详解】解：（1）表面积为：平方厘米， ∴平方厘米； （2）立方厘米， ∴立方厘米； （3）个， ∴最少需要补上90个这样的小正方体． 36．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，大正方形的边长是4米，把它平均分成两份得到一个长方形①，剩下的再平均分，得到一个正方形②，按照这个方法一直分下去……把图形①至⑤都涂成阴影， (1)求阴影面积的和； (2)根据此题的简便思路，计算下题：． 【答案】(1)平方米 (2) 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题考查了数形结合思想的应用，准确找规律是关键； （1）先计算出大正方形的面积，然后依次求出图形①至⑤的面积，然后结合图形找规律求和即可； （2）根据（1）的结果找规律计算即可． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积：（平方米） ①的面积：（平方米） ②的面积：（平方米） ③的面积：（平方米） ④的面积：（平方米） ⑤的面积：（平方米） ①至⑤的面积和： （平方米） 答：阴影面积的和为平方米 （2） 强化训练 一、单选题 1．下列去括号正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】根据去括号的法则逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则——如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反是解题的关键． 2．把的后两项放入带有“”号的括号里，得到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添括号 【分析】根据添括号的规则，添括号后,括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号；添括号后,括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号，求解即可． 【详解】解：， C选项正确，符合题意，A、B、D选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了添括号规则，解题的关键是掌握去括号的规则． 3．式子的值（    ） A．与，都无关 B．只与有关 C．只与有关 D．与，都有关 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是正确合并同类项，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴多项式的值与，都无关． 故选：A． 4．若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5．我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．210 B．171 C．191 D．190 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形规律，观察并应用发现的规律是解题的关键． 观察“杨辉三角”中的第三列，发现其规律为连续自然数之和；接着基于此规律，推导出的第三项系数的计算公式；最后，根据公式计算 的第三项系数，并选择正确答案. 【详解】解： 观察“杨辉三角”中的第三列，可以发现规律为连续自然数之和： 的第三项系数为 ； 的第三项系数为 ； 的第三项系数为 ； ...... 的第三项系数为. 故选：D. 6．定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（    ） A．（n＋1）！－1 B．n！－1 C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】利用乘法分配律计算求值即可； 【详解】解：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n =1！×1＋2！×（3-1）＋3！×（4-1）＋…＋n！×（n+1-1） =1！＋3！-2！＋4！-3！＋…＋（n+1）！-n！ =1！ -2！＋（n+1）！ =（n＋1）！－1 故选： A． 【点睛】本题考查了数字规律的探索，利用乘法分配律变形求值是解题关键． 7．某学校老师分别住在A，B，C三个住宅区，A区有15人，B区有20人，C区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点，要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．B区 B．C区 C．B区或C区 D．B，C两区之间任何一点（含B，C两点） 【答案】D 【知识点】线段的和与差、整式加减的应用 【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、C各点和B区、C区之间时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是： 20×300+35×(300+500)=34000m， 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×300+35×500=22000m， 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×(300+500)+20×500=22000m， 当停靠点在B、C区之间时， 设在B区、C区之间时，设距离B区x米， 则所有员工步行路程之和=20x+15（300+x）+35（500-x）， =20x+4500+15x+17500-35x， =22000， 综上，当停靠点在B，C两区之间任何一点（含B，C两点） 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用，比较简单． 8．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【详解】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 二、填空题 9．观察下列式子的规律：、、、、…，则第个式子为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字规律，理解式子中系数，字母指数的数量关系是关键． 根据式子中系数，字母指数的数字规律即可求解． 【详解】解：、、、、…， 系数依次是，字母的指数依次是， ∴第个式子为， 故答案为： ． 10．若，则多项式的值是 ． 【答案】2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】根据整式加减混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了整式加减的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． 11．有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的化简，整式的加减，有理数的乘法，数轴，熟练根据题意判断出数轴原点的位置是解题的关键．由图可知，由，得，再结合，则可知原点的大致位置，则可知，，，再化简绝对值，再进行整式的加减即可． 【详解】解：由图可知， ∵， ∴， 又∵， 则可知原点的位置大致为： 则可知，，， ∴ ， 故答案为：． 12．若式子的值与字母的取值无关，则式子的值为 ． 【答案】1 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】先将原代数式化简，再根据代数式的值与字母x的取值无关，可得式子的值与字母的取值无关，，，从而解得a，b，再将式子化简后代入，即可求解． 【详解】解： ， ∵式子的值与字母的取值无关， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，根据代数式的值与字母x的取值无关，得到，是解题的关键． 13．如图正方形ABCD边长为2，若图中阴影两个部分的面积分别为S1、S2．则S1﹣S2= ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】由图形可以得出：，计算即可得出结果． 【详解】由图形可以得出：， ， ． 【点睛】本题考查扇形的面积计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题 14．化简下列各式： （1）2a2b﹣3ab﹣a2b+4ab （2）2（2a﹣b）+3（2b﹣a） 【答案】（1）a2b+ab；（2）a+4b 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【分析】（1）根据合并同类项法则计算求解即可； （2）先去括号，然后根据合并同类项法则计算求解即可． 【详解】解：（1）2a2b﹣3ab﹣a2b+4ab （2）2（2a﹣b）+3（2b﹣a） 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 15．去括号：． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查的知识点是去括号法则，解题关键是正确去括号． 直接利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而判断得出答案． 【详解】解：原式， ． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】利用合并同类项的知识即可化简，再代入计算即可． 【详解】 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了多项式的化简求值，掌握合并同类项的知识，是解答本题的关键． 17．一位同学做一道题，“已知两个多项式A、B，计算”，他误将看作，求得，若，求出的正确答案． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【详解】方法一： 方法二： 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当，时，求多项式的值．”解完这道题后，小明指出是多余的条件．师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的． (1)请你说明小明的说法正确的理由； (2)接着王老师又出示了一道题：“设，，为常数，关于，的多项式，关于，的多项式，并且所得的差是关于，的一次多项式，求代数式的值”请你解决这个问题． 【答案】(1)见解析 (2)0 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）把多项式去括号后，合并同类项可得代数式的值与无关，即可得结论； （2）先化简，根据的差是关于和的一次多项式可求出、、的值，再代入计算即可． 【详解】（1）小明说法正确，理由如下： 原式. 因为化简后不含， 所以与无关， 所以小明的说法正确． （2） . 因为所得的差是关于，的一次多项式， 所以，，， 解得，，. 所以． 【点睛】本题考查求代数式的值，涉及去括号法则及合并同类项的法则，了解与无关或有“关于，的一次多项式”可得出对应的项的系数为0是解题关键． 19．先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，，，那么 ， ，用含有（为正整数）的式子表示你发现的规律： ，并依此完成以下计算： （1）． （2）． 【答案】，，；（1）；（2） 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据分数的乘法与加减法法则可得，，据此归纳类推出一般规律即可； （1）先将原式改写成，再将每一项拆分成两项，然后计算加减法即可； （2）先将原式变形为，再将括号内的每一项拆分成两项，然后计算括号内的加减法，最后计算乘法即可． 【详解】解：由题意得：，， 用含有（为正整数）的式子表示你发现的规律：， 故答案为：，，． （1） ． （2） ． 20．数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3)同意，理由见解析 【知识点】整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 21．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【知识点】图形类规律探索、乘方的应用 【分析】本题考查了图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可； 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为： 第③部分的面积为： …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为， 设， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； ②令① 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $