专题09 整式化简求值整体代入专项（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦整式化简求值整体代入专项，系统梳理去括号法则、合并同类项等基础技能，衔接直接代入与整体代换两类求值方法，通过构造整体、利用相反数倒数条件等变形策略，以整体思想突破无法单独求解字母的难点，搭建从基础到综合压轴题的学习支架。 资料以“基础知识点—变形方法—核心思想—分层题型”为框架，配套典型例题及程序框图示，通过整体代换等题型培养学生抽象能力与运算能力，如典例2利用已知等式变形代入求值，强化推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺，提升综合解题能力。

专题 09 整式化简求值整体代入专项 1. 熟练去括号、合并同类项化简整式，掌握直接代入、整体代换两类求值方法； 2. 利用相反数、倒数条件简化计算； 3．依托整体思想代换多项式，突破无法单独求解字母的求值难点； 4. 综合解决多层嵌套、多条件复合型求值压轴题。 （一）基础核心知识点 去括号法则：括号前“”，去括号各项不变号；括号前“”，全部变号；括号外有系数，系数乘括号内每一项。 合并同类项：同类项系数相加减，字母与指数保持不变。 基础求值步骤：先化简整式，再代入数字计算；不化简直接代入易出错。 整体代换定义：已知，化简式中出现代数式，直接用替换，无需解单个字母。 （二）整体代换变形方法 构造整体：对已知等式移项、变形，凑出化简式中的完整多项式； 特殊条件代换：互为相反数则；互为倒数则，直接整体代入。 （三）核心数学思想 整体思想：把多项式当作完整整体直接替换，避开求解单个未知数。 题型 01直接代入常规求值 【典例1】已知a＝2，b＝﹣3，则代数式a2﹣b的值是（　　） A．1 B．7 C．﹣1 D．﹣7 B【解析】由条件可得：22﹣（﹣3）＝4+3＝7， 故选：B． 【变式】当x＝﹣1，y＝2时，代数式x2﹣2xy+y2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 C【解析】当x＝﹣1，y＝2时，原式＝9． 故选：C． 题型 02 整体代换求值 【典例2】已知x2﹣3x﹣4＝0，则2x2﹣6x+5的值是（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 C【解析】∵x2﹣3x﹣4＝0， ∴x2﹣3x＝4， ∴当x2﹣3x＝4时，原式＝2（x2﹣3x）+5＝2×4+5＝13． 【变式】若m2+m﹣1＝0，则2026﹣2m2﹣2m的值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 D【解析】∵m2+m﹣1＝0， ∴m2+m＝1， ∴当m2+m＝1时，原式＝﹣2（m2+m）+2026＝﹣2×1+2026＝2024． 题型 03 程序框代入求值求值 【典例3】任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为　　 ． 24【解析】因为x＝5，（x﹣3）2×6＝（5﹣3）2×6＝4×6＝24．故答案为：24． 【变式】按如下程序进行运算： 并规定：程序运行到“结果是否大于49”为一次运算，若输入的x为整数，且运算进行4次才输出，则输入的最小整数x为　　 ．（写出所有满足条件的整数x） 3【解析第四次的结果为2（8x+7）+1＝16x+15，16x+15＝49，解得：x＝2， ∵x为整数，∴符合条件的整数x为3． 【巩固训练】 1. 若2a﹣b＝﹣4，则4a﹣2b+5的值为（　　） A．﹣3 B．13 C．﹣13 D．3 A【解析】当2a﹣b＝﹣4时，原式＝2（2a﹣b）+5＝2×（﹣4）+5＝﹣3． 故选：A． 2. 如果x+2y＝1，那么代数式（3x+y）﹣（2x﹣y﹣5）的值是（　　） A．1 B．5 C．6 D． C【解析】∵x+2y＝1， ∴原式＝3x+y﹣2x+y+5 ＝x+2y+5 ＝1+5 ＝6． 故选：C． 3. 若代数式2y2﹣y的值为3，则代数式6y2﹣2y+（4﹣y）的值等于（　　） A．﹣7 B．8 C．13 D．﹣3 C【解析】∵2y2﹣y＝3， ∴原式＝6y2﹣2y﹣y+4＝6y2﹣3y+4＝3（2y2﹣y）+4＝3×3+4＝13． 故选：C． 4. 已知mn＝2，m+n＝4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）＝（　　） A．﹣4 B．﹣14 C．34 D．无法计算 B【解析】∵mn＝2，m+n＝4， ∴2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn） ＝2mn﹣6m﹣6n+3mn ＝2mn+3mn﹣6m﹣6n ＝5mn﹣6（m+n） ＝5×2﹣6×4 ＝10﹣24 ＝﹣14． 5. 若2a﹣b﹣3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为　　 ． 6【解析】∵2a﹣b﹣3＝0， ∴2a﹣b＝3， ∴2（2a+b）﹣4b ＝4a+2b﹣4b ＝4a﹣2b ＝2（2a﹣b） ＝2×3 ＝6，故答案为：6． 6. 在地球某地，气温T（单位：℃）与海拔d（单位：m）之间的关系可以近似地用表示，根据这个关系式，将d＝300时记为T1，d＝900时记为T2，求T1﹣T2的值． 解：T1＝1010﹣2＝8， T2＝1010﹣6＝4， T1﹣T2＝8﹣4＝4． 7. 先化简，再求值：5x2y﹣2（2x2y﹣xy2），其中x＝﹣2，y＝1． 解：5x2y﹣2（2x2y﹣xy2） ＝5x2y﹣4x2y+2xy2 ＝x2y+2xy2， 当x＝﹣2，y＝1时， 原式＝（﹣2）2×1+2×（﹣2）×12 ＝4+（﹣4） ＝0． 8. 化简并求值： （1）3（2a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a＝1，b＝﹣2； （2）（3x2﹣xy+y）﹣2（5xy﹣4x2+y），其中x＝﹣2，y＝1． 解：（1）原式＝6a2b﹣3ab2﹣2ab2﹣6a2b ＝﹣5ab2； ∵a＝1，b＝﹣2， ∴原式＝﹣5×1×（﹣2）2＝﹣20； （2）原式＝3x2﹣xy+y﹣10xy+8x2﹣2y ＝11x2﹣11xy﹣y， ∵x＝﹣2，y＝1， ∴原式＝11×（﹣2）2﹣11×（﹣2）×1﹣1＝65． 【强化训练】 1. （2026春•皇姑区校级月考）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … 2 … 那么，当输入数据8时，输出的数据是（　　） A． B． C． D． C【解析】∵，...， ∴当输入数据为n时，输出的数据为：， ∴当输入数据为8时，输出数据为：，故选：C． 2. （2025秋•东营期末）如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则代数式2（a﹣b2）﹣3（b2+c）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18 A【解析】观察正方体展开图可知：a与3是对面，c与4是对面，b与0是对面， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴a＝﹣3，b＝0，c＝﹣4， ∴2（a﹣b2）﹣3（b2+c） ＝2a﹣2b2﹣3b2﹣3c ＝2a﹣5b2﹣3c ＝2×（﹣3）﹣5×02﹣3×（﹣4） ＝﹣6﹣0+12 ＝6， 故选：A． 3. （2025秋•霸州市期中）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择a的一个值，求5a3﹣（a2﹣3a+3a3）+（a2﹣a﹣2a3）﹣2a+2035的值． 甲说：“当a＝0时，原式＝2035．”乙说：“当a＝1时，原式＝2035．” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式＝2035．” 对于这三位同学的说法，下列判断正确的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙不正确 D．甲、乙、丙都正确 D【解析】原式＝5a3﹣a2+3a﹣3a3+a2﹣a﹣2a3﹣2a+2035 ＝（5a3﹣3a3﹣2a3）+（﹣a2+a2）+（3a﹣a﹣2a）+2035 ＝0+0+0+2035 ＝2035， ∴原式的值恒为2035，与a的取值无关， 因此，当a＝0、a＝1或a为任何有理数时，原式都等于2035，故甲、乙、丙的说法都正确． 故选：D． 4. （2025秋•二道区期末）如图，四边形ABCD是一个长方形． （1）根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S； （2）当a＝5，b＝4，c＝3时，求S的值． 解：（1）根据图形可知，阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S△BEFab2c ； （2）当a＝5，b＝4，c＝3时，． 5. 有这样一道题：“计算：（2x4﹣4x3y﹣2x2y2）﹣（x4﹣2x2y2+y4）+（﹣x4+4x3y﹣y4）的值，其中x，y＝﹣1”，甲同学把“x”错抄成“x”，但他计算的结果也是正确的．请说明理由，并求出正确的结果． 解：（2x4﹣4x3y﹣2x2y2）﹣（x4﹣2x2y2+y4）+（﹣x4+4x3y﹣y4） ＝2x4﹣4x3y﹣2x2y2﹣x4+2x2y2﹣y4﹣x4+4x3y﹣y4 ＝﹣2y4， 因为结果与x无关，所以错抄不影响结果， 当y＝﹣1时， 原式＝﹣2×（﹣1）4＝﹣2． 6. （2025秋•邹城市期末）已知多项式A＝6x2﹣4y﹣12，B＝2x2﹣3y﹣6． （1）化简：A﹣2B； （2）当x＝4，y＝﹣3时，求A﹣2B的值； （3）若A﹣kB的值与y的取值无关，求此时常数k的值． 解：（1）∵A＝6x2﹣4y﹣12，B＝2x2﹣3y﹣6， ∴A﹣2B ＝6x2﹣4y﹣12﹣2（2x2﹣3y﹣6） ＝6x2﹣4y﹣12﹣4x2+6y+12 ＝2x2+2y； （2）当x＝4，y＝﹣3时， A﹣2B ＝2x2+2y ＝2×42+2×（﹣3） ＝2×16+2×（﹣3） ＝32﹣6 ＝26； （3）∵A＝6x2﹣4y﹣12，B＝2x2﹣3y﹣6， ∴A﹣kB ＝6x2﹣4y﹣12﹣k（2x2﹣3y﹣6） ＝6x2﹣4y﹣12﹣2kx2+3ky+6k ＝6x2﹣2kx2+3ky﹣4y+6k﹣12 ＝（6﹣2k）x2+（3k﹣4）y+6k﹣12， ∵A﹣kB的值与y的取值无关， ∴3k﹣4＝0， 3k＝4， ． 7. （2026•通州区二模）已知P＝﹣2m2+4m，Q＝﹣2（m2﹣2m+2），其中m为实数． （1）求P﹣Q的值； （2）若整式A满足A+6＝P﹣2Q，求证：A≥0．(提示：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2) （1）解：∵P＝﹣2m2+4m，Q＝﹣2（m2﹣2m+2），其中m为实数， ∴P﹣Q＝（﹣2m2+4m）﹣[﹣2（m2﹣2m+2）] ＝﹣2m2+4m+2（m2﹣2m+2） ＝﹣2m2+4m+2m2﹣4m+4 ＝4； （2）证明：∵A+6＝P﹣2Q， ∴A＝P﹣2Q﹣6 ＝（﹣2m2+4m）﹣2[﹣2（m2﹣2m+2）]﹣6 ＝﹣2m2+4m+4（m2﹣2m+2）﹣6 ＝﹣2m2+4m+4m2﹣8m+8﹣6 ＝2m2﹣4m+2 ＝2（m2﹣2m+1） ＝2（m﹣1）2． ∵不论m为任何实数，都有2（m﹣1）2≥0， ∴A≥0． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 09 整式化简求值整体代入专项 1. 熟练去括号、合并同类项化简整式，掌握直接代入、整体代换两类求值方法； 2. 利用相反数、倒数条件简化计算； 3．依托整体思想代换多项式，突破无法单独求解字母的求值难点； 4. 综合解决多层嵌套、多条件复合型求值压轴题。 （一）基础核心知识点 去括号法则：括号前“”，去括号各项不变号；括号前“”，全部变号；括号外有系数，系数乘括号内每一项。 合并同类项：同类项系数相加减，字母与指数保持不变。 基础求值步骤：先化简整式，再代入数字计算；不化简直接代入易出错。 整体代换定义：已知，化简式中出现代数式，直接用替换，无需解单个字母。 （二）整体代换变形方法 构造整体：对已知等式移项、变形，凑出化简式中的完整多项式； 特殊条件代换：互为相反数则；互为倒数则，直接整体代入。 （三）核心数学思想 整体思想：把多项式当作完整整体直接替换，避开求解单个未知数。 题型 01直接代入常规求值 【典例1】已知a＝2，b＝﹣3，则代数式a2﹣b的值是（　　） A．1 B．7 C．﹣1 D．﹣7 【变式】当x＝﹣1，y＝2时，代数式x2﹣2xy+y2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 题型 02 整体代换求值 【典例2】已知x2﹣3x﹣4＝0，则2x2﹣6x+5的值是（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式】若m2+m﹣1＝0，则2026﹣2m2﹣2m的值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 题型 03 程序框代入求值求值 【典例3】任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为　　 ． 【变式】按如下程序进行运算： 并规定：程序运行到“结果是否大于49”为一次运算，若输入的x为整数，且运算进行4次才输出，则输入的最小整数x为　　 ．（写出所有满足条件的整数x） 【巩固训练】 1. 若2a﹣b＝﹣4，则4a﹣2b+5的值为（　　） A．﹣3 B．13 C．﹣13 D．3 2. 如果x+2y＝1，那么代数式（3x+y）﹣（2x﹣y﹣5）的值是（　　） A．1 B．5 C．6 D． 3. 若代数式2y2﹣y的值为3，则代数式6y2﹣2y+（4﹣y）的值等于（　　） A．﹣7 B．8 C．13 D．﹣3 4. 已知mn＝2，m+n＝4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）＝（　　） A．﹣4 B．﹣14 C．34 D．无法计算 5. 若2a﹣b﹣3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为　　 ． 6. 在地球某地，气温T（单位：℃）与海拔d（单位：m）之间的关系可以近似地用表示，根据这个关系式，将d＝300时记为T1，d＝900时记为T2，求T1﹣T2的值． 7. 先化简，再求值：5x2y﹣2（2x2y﹣xy2），其中x＝﹣2，y＝1． 8. 化简并求值： （1）3（2a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a＝1，b＝﹣2； （2）（3x2﹣xy+y）﹣2（5xy﹣4x2+y），其中x＝﹣2，y＝1． 【强化训练】 1. （2026春•皇姑区校级月考）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … 2 … 那么，当输入数据8时，输出的数据是（　　） A． B． C． D． 2. （2025秋•东营期末）如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则代数式2（a﹣b2）﹣3（b2+c）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18 3. （2025秋•霸州市期中）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择a的一个值，求5a3﹣（a2﹣3a+3a3）+（a2﹣a﹣2a3）﹣2a+2035的值． 甲说：“当a＝0时，原式＝2035．”乙说：“当a＝1时，原式＝2035．” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式＝2035．” 对于这三位同学的说法，下列判断正确的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙不正确 D．甲、乙、丙都正确 4. （2025秋•二道区期末）如图，四边形ABCD是一个长方形． （1）根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S； （2）当a＝5，b＝4，c＝3时，求S的值． 5. 有这样一道题：“计算：（2x4﹣4x3y﹣2x2y2）﹣（x4﹣2x2y2+y4）+（﹣x4+4x3y﹣y4）的值，其中x，y＝﹣1”，甲同学把“x”错抄成“x”，但他计算的结果也是正确的．请说明理由，并求出正确的结果． 6. （2025秋•邹城市期末）已知多项式A＝6x2﹣4y﹣12，B＝2x2﹣3y﹣6． （1）化简：A﹣2B； （2）当x＝4，y＝﹣3时，求A﹣2B的值； （3）若A﹣kB的值与y的取值无关，求此时常数k的值． 7. （2026•通州区二模）已知P＝﹣2m2+4m，Q＝﹣2（m2﹣2m+2），其中m为实数． （1）求P﹣Q的值； （2）若整式A满足A+6＝P﹣2Q，求证：A≥0．(提示：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $