专题02 勾股定理与全等三角形综合（B卷填空）（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02勾股定理与全等三角形综合 （B卷填空) 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=8,点D为AB上一点，连接CD,将△BCD沿CD翻 折得到△B'CD,过点A作AF∥BC交DB于点E,交CB于点F,若AE=B'E,则BD的长为 B E 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD,，连接BD.若AB4,BC=√2，则 BD的长为 D 3.如图，在Rt△ABC中，LBAC=90°，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,连接BE,AB=6,AC=8,则 △ABE的面积是一 4.如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=30,BC=40.点P是边AB上一点，连接CP,将△BCP沿 CP对折，点B落在点B处，CB与AB交于点M.当B'P∥AC时，若aBCP的面积是24O,则重叠部分 △MCP的面积为. 1/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 5.ABC中，BD⊥AB,AD=BC,∠DCB=∠ADB,CD=4,AB=2V10,BC= D 6.如图，在ABC中，D是边BC的中点，E,F分别是边AB,AC上的点，连接DE,DF,EF,使 DE⊥DF,若∠A=45°，BE=1,CF=32,则EF的长为一· D 44450 B 7.如图为作业本横格线的一部分，三条线互相平行（即a∥b∥c),且相邻两横线间的距离为1cm,若一等 腰直角三角形的三个顶点分别在三条平行线上.则这个三角形的斜边长为cm. a b 8.如图，∠ABC=90°，AD∥BC,E为BC上一点·以B为圆心，BE长为半径画弧，与射线AD相交于点F, 连接BF.过点E作EG⊥BF,垂足为G.若AB=1.2,BE=2,则GF的长为 G B EC 9.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落 在边BC上的点P处，则AE的长是 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D、F为边AB上的点，连接CD、CF,将△BCD沿CD翻折， 使点B的对称点落在边AB上的点E处；再将△ACF沿CF翻折，使点A的对称点落在CE的延长线上的点 A处.若AC=8,AB=10,则EF的长为· B D 11.如图，在ABC中，D为BC边上一点，连接AD,将△ABD沿AD折叠至ABC所在平面内，得到 ADE,AE与BC交于点F,连接CE,若AD∥CE,∠BAC=∠AFC=I20°，AC=2√3，则AB的长为- B D 12.如图，ABC是等边三角形，点D、E在ABC外，∠DAE=150°，CE∥BD,BD=3,CE=5,则 DE= E D B 13.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2,E为射线CB上一点，将△AEB沿着AE翻折， 点B的对应点为点B,且B落在ABC的对称轴上，则CE=一· 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，点E在AB上，点F在AC上，且∠EDF=90°，连接EF, EF-CF=4.若CF=y,BE=x,则y与x的数量关系为· B D 15.在ABC中AH⊥BC,∠ACB=2LBAC,E为AB上一点，连接EC交AH于D,EG⊥AC交AH于F ,若AD=DC,CG=8,HC=5,则AH=一 E B H 16.如图，在三角形纸片ABC中，AC=5,AB>AC,点E是AB上一点，连接CE,将BEC沿CE折叠， 点B的对应点B落在CA的延长线上，展开铺平.过点A作AD⊥BC于D.若AD=3,∠BEC=135°，则 BE的长为一， B B 17.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=3，,BC=4,P为斜边AB上的一动点（不包含A,B两端点）， 以CP为对称轴将△ACP翻折得到△A'CP,连结BA',当AP⊥AB时，BA'的长为 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.如图，矩形ABCD中，AD=BC=6,AB=CD=I0,点E为射线DC上的一个动点，ADE与△AD'E 关于直线AE对称，当△AD'B为直角三角形时，DE的长为 E B 19.如图，在ABC中，点D是边BC的中点，连接AD,将△ACD沿着直线AD翻折.得到ADE,连接 BE,若BC=6,AD=4,BE=2,则ABC的面积为 D E 20.如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC, DB=DE=2,连结CE,则CE的长为 21.如图，在ABC中，AD为中线，∠BAD=60°，AE=AB,AD=CE,AB=3,则线段BC的长度为 E B D 22.如图，在ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD中BD边上的中线，若∠CBD=60°， ∠AEB=150°，BD=4,则AB= 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D C 23.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=I50°，以AB为边作等边△ABD,连接DC,若AE 平分∠DAC交BC于点E,则BE的长为 A C E B D 24.如图，在ABC中，∠ACB=60°，BC=3,分别以AB,AC为边在ABC外作等边△ABD和等边 △ACE,连结BE,CD B (1)若∠BEC=25°，则∠CBE=—°； (2)若AC=4,则CD的长为 25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是ABC外一点，连接AD,BD,CD,若 ∠CDB=90°，BD=3,AD=√65，则AC的长为一 B D 26.如图，在ABC中，AB=AC,点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP,∠PBC=LBAC, ∠APB+2LPAB=90°，当BC=8,PB=5时，则AB的长为一· 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 27.如图，在ABC中，AD为中线，点F在AD上，满足AF=BD=6,连接BF并延长交AC于点E,若 AE=ER,DF=名AF,则AC的长为一 A 28.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM平分∠ACB,点N为线段BM上一点，连接CN,过点N作 DN⊥AB交BC于点D,连接DM.若LA=∠CDM,CN=5,DN=√2，则AN= B 29.如图，在ABC中，BC=8,AD是BC边上的中线，AD=AB,若在射线AD上存在点G,满足 CG=AB,且DG=4D,则B=— D 30.如图，己知在四边形ADBC中，连接AB,AB=AC,∠BAC=90°，以AC为斜边构造直角△AEC,若 AD=AE,∠DAB=∠ACE,CE-2AD=2,BD=V74,则BC=— 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 8/8品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02勾股定理与全等三角形综合(B卷填空) 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=8,点D为AB上一点，连接CD,将△BCD沿CD翻 折得到△B'CD,过点A作AF∥BC交DB于点E,交CB于点F,若AE=B'E,则BD的长为 B E 【答】9 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.作FG⊥BC于点G,证明 △DEA≌△FEB'(ASA,得到AD=B'F,DE=EF,设BD的长为x,在Rt△FGC中，FG=5,CF=x+3, CG=8-x,利用勾股定理列式计算即可求解 【详解】解：作FG⊥BC于点G, B ∠B=90°，AF∥BC, B G C :四边形ABGF是长方形，∠BAF=90°， .FG=AB=5, 由折叠的性质得∠B'=∠B=90°，D'B=DB,B'C=BC, :∠DAE=∠B'=90°，∠DEA=LB'EF=90°，AE=B'E, △DEA≌△FEB'ASA, .AD=B'F,DE=EF, 设BD的长为x,则B'F=AD=5-x,CF=B'C-B'F=8-(5-x=x+3,B'D=BD=x, .AF=AE +EF=B'E +DE B'D =x, 1/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△FGC中，FG=5,CF=x+3,CG=BC-BG=BC-AF=8-x, FG2+CG2=CF2,即52+(8-x)2=(x+32, 解得x=0 1 ·BD=40 11 故答案为： 40 11 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD,连接BD.若AB=4,BC=√2，则 BD的长为」 【答案】√7+1/1+√7 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用 这些知识点是解题关键， 延长BA到点P,使得AP=BC,连接DP.根据全等三角形的判定和性质得出aBCD≌aPAD(SAS), BD=DP,∠BDC=∠ADP,结合图形再由勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，延长BA到点P,使得AP=BC,连接DP D :∠ABC=∠ADC=90°， ∴.∠BAD+∠BCD=180°， .∠PAD=∠BCD. :BC=AP,CD=AD, △BCD≌aPAD(SAS, ∠/41 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD=DP,∠BDC=∠ADP, ∠BDP=∠BDA+∠ADP=∠BDA+LCDB=90°， BD2+DP2=BP2, 2BD=(4+2 BD=4+5-万+1. 2 故答案为：√7+1. 3.如图，在Rt△ABC中，LBAC=90°，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,连接BE,AB=6,AC=8,则 △ABE的面积是 B 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判 定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键 延长AE交BC于点F,过A作AH⊥BC于点H,先由勾股定理求得BC=I0,根据三角形的面积公式求出 AH=4.8,再证明△AEC和aFEC全等得AE=FE,AC=FC=8,进而得BF=2,则 S.ar=2BF,4H=4.8,然后根据AE=FE得SaE=Sa=2SasF,由此即可得出答案. 【详解】解：延长AE交BC于点F,过点A作AH⊥BC于点H,如图所示： D B 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8, BC=AB2+AC2=10, 由三角形的面只公式得：Sc-号8C4H-号44C AH AB.AC 6x8 =4.8, BC 10 :CD是ABC的角平分线， 3/41 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ACE=∠FCE, AE⊥CD, :∠AEC=∠FEC=90°， 在△AEC和△FEC中， ∠AEC=∠FEC=90° CE=CE LACE=∠FCE :△AEC≌AFEC(ASA, :AE=FE,AC=FC=8, BF=BC-FC=10-8=2, Sm-号8F.A=5x2x48=48, 1 2 AE=FE, ×48=2.4, 1 Sw-S.r-S.F- 故答案为：2.4. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=30,BC=40.点P是边AB上一点，连接CP,将aBCP沿 CP对折，点B落在点B处，CB与AB交于点M.当B'P∥AC时，若△BCP的面积是240，则重叠部分 △MCP的面积为 B' 【答案】144 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键： 延长B'P交BC于F,则易得∠PFC=90°；由折叠的性质可证明aPCF≌aPCM,则可得PM=PF, ∠CMP=90°；利用面积相等可分别求出PF,CM的长，从而求得△MCP的面积， 【详解】解：如图，延长B'P交BC于F, ∠ACB=90°，AC=30,BC=40, 4/41 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC2+BC2=50: :B'P∥AC,∠ACB=90°， .∠PFC=90°： 由折叠的性质知：∠FCP=∠MCP,∠BPC=LB'PC; :∠BPF=∠B'PM, ∴LFPC=LMPC; CP=CP, ∴.△PCF≌△PCM(ASA), PM=PF,LCMP=∠PFC=90°； PB0 4--AC.BC,S号8C所240 2 ÷CM=4C:BC=24,PF-2x240-12, AB BC .PM=12, SMcp=CM.PM=×24×12=144 2 A M B 故答案为：144， 5.ABC中，BD⊥AB,AD=BC,∠DCB=LADB,CD=4,AB=2N10,BC= 【答案】√89 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，过B作BE⊥CD,交CD延长线于点E,证明 △ABD≌△BEC(AAS),则AB=BE=2V10,BD=EC,设BD=EC=x,则ED=x-4,然后通过勾股定理 5/41 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 得BE2+ED2=BD2,即(210+(x-4)2=x2，求得x=7,最后再由勾股定理即可求解，掌握知识点的应 用是解题的关键。 【详解】解：如图，过B作BE⊥CD,交CD延长线于点E, 86 .∠BEC=90°， :BD⊥AB, ∠ABD=∠BEC=90°， :AD=BC,∠DCB=∠ADB, ∴△ABD≌△BEC(AAS), AB=BE=210,BD EC, 设BD=EC=x,则ED=x-4, 由勾股定理得：BE2+ED2=BD2, (210+(x-42=x2, 解得：x=7, EC=7, 由勾股定理得：BE2+EC2=BC2, (210+72=BC2, .BC =89, 故答案为：√89， 6.如图，在ABC中，D是边BC的中点，E,F分别是边AB,AC上的点，连接DE,DF,EF,使 DE⊥DF,若∠A=45°，BE=1,CF=3V2,则EF的长为一· 6/41 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A45 B E 【答案】5 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理， 正确地添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的 关键， 延长ED到H,使DH=DE,连接FH,过点F作FP⊥CH,交HC的延长线于点P,证明△CDH和△BDE 全等得CH=BE=1,∠DCH=∠B,再根据三角形内角和定理得∠B+∠ACB=∠DCH+∠ACB=135°，进 而得∠FCP=45°，则aPCF是等腰直角三角形，由勾股定理得PC=PF=5CF=3,则PH=4:在 2 RtaPFH中，由勾股定理得FH=5,证明DF是线段HE的垂直平分线，再根据线段垂直平分线性质即可得 出答案。 【详解】解：延长ED到H,使DH=DE,连接FH,CH,过点F作FP⊥CH,交HC的延长线于点P,如 图所示： H ∠P=90°， A45° B E :点D是边BC的中点， :CD =BD, 在aCDH和△BDE中， DH=DE ∠CDH=∠BDE, CD=BD .△CDH≌△BDE(SAS, ∴.CH=BE=l,∠DCH=∠B, 7/41 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC中，∠A=45°， :∠B+∠ACB=180°-∠A=135°， ∠DCH+∠ACB=135°， ∠FCP=180°-∠DCH+∠ACB=45°， ∠P=90°， “△PCF是等腰直角三角形， :PC=PF, 由勾股定理得：CF=VPC2+PF2=√2PC, CF =32, .PC=PF=CF= 2x32=3, 2 在RtPFH中，PH=PC+CH=3+1=4, 由勾股定理得：FH=√PF2+PH2=V32+42=5, :DH=DE,DE⊥DF, :DF是线段HE的垂直平分线， :EF=FH=5. 故答案为：5 7.如图为作业本横格线的一部分，三条线互相平行（即a∥b∥c),且相邻两横线间的距离为1cm,若一等 腰直角三角形的三个顶点分别在三条平行线上.则这个三角形的斜边长为cm, a 【答案】√0 【分析】过B作BE⊥直线a于E,过C作CD⊥直线a于D,根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB, 根据全等三角形的性质得出AE=CD=2cm,AD=BE=1cm,求出DE=AE+AD=3cm,则BF=3cm, 根据勾股定理求出答案即可. 【详解】解：如图，过B作BE⊥直线a于E,过C作CD⊥直线a于D, 8/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ▣a Bb 则∠CDA=∠AEB=90°， :a∥b∥c,相邻两条平行线间的距离为1cm, :CD 2cm,DF=CF BE 1cm, :∠CAB=90°，∠CDA=90°， ∠DCA+∠DAC=90°，∠EAB+∠DAC=90°， :∠DCA=∠EAB, 在△CDA和△AEB中， ∠DCA=∠EAB ∠CDA=∠AEB AC=BA ACDA≌△4EB(AAS, :AE =CD 2cm,AD BE =1cm, :DE AE AD =2+1=3(cm), .BF =3cm, 在RtaBCF中，BC=√BF2+CF2=V32+1P=V0(cm). 故答案为：√10. 【点晴】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线间的距离，勾股定理等知识点， 能正确作出辅助线是解此题的关键， 8.如图，∠ABC=90°，AD∥BC,E为BC上一点·以B为圆心，BE长为半径画弧，与射线AD相交于点F ,连接BF.过点E作EG⊥BF,垂足为G.若AB=1.2,BE=2,则GF的长为 F D EC 【答案】0.4 9/41 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】通过证明三角形全等得到BF的长度，再利用三角形面积公式求出BG的长度，最后用BF-BG得 出GF的长.本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定 理是解题的关键 【详解】解：：AD‖BC, :∠AFB=∠FBE. :以B为圆心，BE长为半径画弧，与射线AD相交于点F, :BF=BE=2. :∠ABC=90,EG⊥BF, ∴.∠A=∠BGE=90°. 在△ABF和△GEB中， ∠A=∠BGE ∠AFB=∠GBE BF=EB .△ABF≌AGEB(AAS), .AB=GE=1.2. 设GF=x,则BG=BF-GF=BE-GF=2-x, EG⊥BF, .BE2=BG2+GE2即22=(2-x+1.22 解得x=0.4或x=3.6(舍去). .GF=0.4. 故答案为：0.4. 9.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落 在边BC上的点P处，则AE的长是 B 【答案】3/2 6 6 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键 10/41