专题03 勾股定理与全等三角形综合（B卷解答题）（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题03 勾股定理与全等三角形综合（B卷解答题） 类型一、勾股定理与倍长中线模型结合 1．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 2．（1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 3．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 4．问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是． (1)问题：请利用图1说明与的位置关系； 感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． (3)学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？ 类型二、勾股定理与截长补短模型结合 1．综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，是的中线，，，求的取值范围． 问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题． 【问题变式】 如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接． （1）求证：； （2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 （3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．          2．[问题提出]（1）如图1，与都是等边三角形，点C在边上，求的度数； [尝试探究]（2）如图2，在四边形中，，， M是边上一点，E是边上一点，且．过点E作，交AM的延长线于点F，连接．求证：； [迁移创新]（3）如图3，在中，，，D为的中点，E为线段上一点．若，直接写出的值． 3．在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点． (1)当点P在线段上时，如图①，求证：； (2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 类型三、勾股定理与一线三等角模型结合 1．（1）在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出、、之间的数量关系：______． （2）在（1）的条件下，当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． （3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，求的长． 2．（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 3．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 4．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 5．综合与探究． 在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）当点在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，过点作于点，连接，请直接写出的值． 类型四、勾股定理与手拉手模型结合 1．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 2．【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 3．如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 4．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 5．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 6．已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理与全等三角形综合（B卷解答题） 类型一、勾股定理与倍长中线模型结合 1．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 2．（1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等；平行     （2）①，详见解析；② 【分析】（1）由中点的定义可得，，然后可证，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可解答； （2）①延长到T，使得，连接．先说明、，平行线公理得出，由勾股定理可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后运用等量代换即可解答；②长到T，使得，连接，延长交于点J．再证可得，再说明是等腰直角三角形，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：结论：，理由如下：． 如图1中，∵点O是线段的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：相等；平行． （2）解：①结论：． 理由：延长到T，使得，连接． ∵， ∴同理（1）可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3中，延长到T，使得，连接，延长交于点J． ∵， ∴同理可证，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即． ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解答本题的关键． 3．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 4．问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是． (1)问题：请利用图1说明与的位置关系； 感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． (3)学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？ 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)13 【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，即可得出结论； （2）延长到点Q，使，连接，延长交于P，同（1）的方法可证得，进而可证得，可知，由等腰直角三角形可知，进而可知，得，由，，得，可证的，得，，由，得，可证得，由，得，即可证得结论； （3）延长到点G，使，连接，，同（1）的方法可证得，得，，结合，可得，由题意可知垂直平分，可得，在中，由勾股定理得． 【详解】（1）由题知：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2），，理由如下： 如图2，延长到点Q，使，连接，延长交于P， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，； （3）延长到点G，使，连接，， ∵为斜边得中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 在中，，则 ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，勾股定理，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键． 类型二、勾股定理与截长补短模型结合 1．综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，是的中线，，，求的取值范围． 问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题． 【问题变式】 如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接． （1）求证：； （2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 （3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．          【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定即性质，勾股定理，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的关键． （1）延长至，使，证出得到，再证出，得到，再根据三角形的三边关系求解即可； （2）根据全等的性质进行角的等量代换求出，再利用勾股定理求解即可； （3）延长至，使，证出得到，，通过角的等量代换得到，推出后即可求解． 【详解】解：（1）证明：延长至，使，连接，，如图所示： ∵是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）猜想：， 证明：由（1）可知，， 又∵， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴； （3）答：， 证明：延长至，使，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴在和中： ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 2．[问题提出]（1）如图1，与都是等边三角形，点C在边上，求的度数； [尝试探究]（2）如图2，在四边形中，，， M是边上一点，E是边上一点，且．过点E作，交AM的延长线于点F，连接．求证：； [迁移创新]（3）如图3，在中，，，D为的中点，E为线段上一点．若，直接写出的值． 【答案】（1）°  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可解题； （2）延长至，使，先证明得到，然后证明即可得到结论； （3）作交的延长线于，作于，设，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解:∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 又∵ ∴°； （2）证明:延长至，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴      ∴ 又∵, ∴，   ∴且 又∵ ∴； （3）解:作交的延长线于，作于， ∵为中点， 设，   ∴ ，     ∴， ∵， ∴， 又∵ ， 在中，    ∴， 在中 ∵ ∴， ,在中 在中, ∴. ∴， ∴ ， ∴． 3．在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点． (1)当点P在线段上时，如图①，求证：； (2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)如图②，如图③ 【分析】（1）在上截取，连接，可先证得，则，，进而可证得为等腰直角三角形，即可得证； （2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的，，与 之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取， ， ，． ， ． 又， ， ，． ． 在中，， ； （2）解：如图2，． 在上截取，连接， 由（1）可知， ，， ， 在中，， ， ， ． 如图3，． 延长至点，使得，连接， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 类型三、勾股定理与一线三等角模型结合 1．（1）在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出、、之间的数量关系：______． （2）在（1）的条件下，当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． （3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，求的长． 【答案】（1）；（2）不成立，理由详见详解；（3）或． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定以及性质，勾股定理的应用． （1）由已知推出，因为，推出，根据可证明，进而得出，，然后由可得到问题的答案． （2）与（1）的解法类似可证出，能推出，得到，，最后得出． （3）作于，作于，同（1）的解法类似可证出，再推出，进而求出，再利用勾股定理推出．进而再利用勾股定理求出． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）不成立，， 理由：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． （3）解：作于，作于， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得或． 2．（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 【答案】（1）5；（2）点到的距离为3；（3）的周长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰直角三角形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（型全等)． （1）由，得，可证明，即得，，利用勾股定理求出即可； （2）过作交延长线于，由，得，即得，可证明，得，据此求解即可； （3）过作于，过作交延长线于，由，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图：    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为3； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 3．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 【答案】【模型学习】见解析；【模型应用】（1）；（2），；（3）1或3 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类思想讨论解决问题是解题的关键． 模型学习：由可证； 模型应用：（1）由勾股定理可求的长，即可求解； （2）由路程速度时间可求解； （3）分和两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】模型学习，， ， ， ， ， ， ， ； 模型应用（1）， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动， ， 动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向点运动， 当点在线段上运动时，线段的长度为， 故答案为：；； （3）当时，， ， 则， 解得； 当时，， ， 则， 解得， 综上所述：的值为或． 4．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         5．综合与探究． 在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）当点在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，过点作于点，连接，请直接写出的值． 【答案】（1）（2）见解析（3）或 【分析】（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点，如图， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，可得或． 【点睛】本题考查旋转的性质、三角形全等的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、垂直定义等知识，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． 类型四、勾股定理与手拉手模型结合 1．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 2．【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）由，根据勾股定理得，，，，则； （2）由四边形ABDE和四边形都是正方形，得，，，则，即可证明，得，而，则，即可证明； （3）由（2）得，则，由，，，得，由勾股定理求得，由，，得，由，，得，则，即可求得结论． 【详解】（1）证明： 于点O， ， ，，，， ，， （2）证明：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图3，连接， 由得， ， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理的应用等知识，此题综合性强，难度较大，根据勾股定理证明是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①它们的关系为．证明见解析；②当秒时周长为，当时，不存在；当秒时，周长为 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由勾股定理直接求解； （2）①如图1，延长到点G，使，连结，先证明，再证明，即可求解；②依题意得，记的周长，则，故（I）当秒时，点在线段上，点在上，由①知，II）当时，点与点重合，不存在；III）当时，点在延长线上，点在延长线上，如图2，在上取点G，使，连结，同理可得，，． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：①它们的关系为．理由如下 如图1，延长到点G，使，连结， 又， ，， ， 又， 即 ②依题意得，记的周长， ，， ， （I）当秒时，点在线段上，点在上， 由①知 ， II）当时，点与点重合，不存在. III）当时，点在延长线上，点在延长线上， 如图2，在上取点G，使，连结， 同理可得， 综上所述，当秒时周长为， 当时，不存在. 当秒时，周长为． 4．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 5．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用， （1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ②由①得：△， ∴； 故答案为：①；②． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，=， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 6．已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，证明即可得到； ②由全等可得，，从而得出，再由勾股定理即可得到答案； （2）连接，，证明即可得到，，从而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）分两种情况：当点在点的左侧时，连接；当点在之间时，连接，类比（2）证明，分别利用三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，   ∴， 故答案为：； （3）解：如图，当点在点的左侧时，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在之间时，连接，    同理可证得：， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $