专题08 动角问题的五种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题08 动角问题的五种考法 类型一、求角度的值 1．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）画出符合的两种图形，再根据平角等于，列方程求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：30； （2）解：平分， ， ， ，， ， 所在射线是的平分线； （3）解：设，则， 有两种情况：①如图1，在内部时， ，，， ， 解得， 即． ； ②如图2，在的内部时，如图2， ，，，，， ， 解得：， 即， ， ， 的度数为或． 2．如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平面内直角三角板在直线上旋转．熟练掌握余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． （1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 3．在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)105 (2) (3)画图见解析， 【分析】本题考查了角的平分线的性质、角的和差运算及几何探究问题，解题的关键是通过设未知数表示相关角的度数，结合角平分线定义和已知条件建立等量关系求解． （1）由的度数得的度数，设和的度数，结合角的和差得两角之和；利用角平分线性质表示相关角，进而通过和差计算的度数． （2）设和的度数，再设和的度数，由角的和差得关系；结合角平分线定义表示，通过和差推出与的数量关系并证明． （3）设的度数，结合角平分线定义表示和的度数；分的两种位置情况，根据建立方程，求解得的度数． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 设， ∵、、、顺时针顺次排列， ∴，即， ∴． ∵平分平分， ． 故答案为：． （2）解：，证明如下： 设，则． 设， ∵， ∴，即． ∵平分，且， ． ∵， ． 又， ∴， ， ∴，即． （3）解：∵为的平分线， ∴设，则． ∵为的平分线，， ． 分两种情况： ①当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ②当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴此时点A、E、D三点重合，不符合题意． 综上，． 4．【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】 （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 【答案】（1）①，；②；（2）证明见解析；（3）的大小为，， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先求得的值，再结合角平分线的定义即可确定的度数；求得，结合角平分线的定义易得，然后由求解即可；结合和的值直接求解即可； （2）结合题意即角平分线的定义可得，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可； （3）设，在绕着点旋转一周过程中，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； ②； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴； （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即； ③如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 综上所述，的大小为，，． 5．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 6．【特例感知】（1）如图1，线段，．线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），C、D分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则 ． ②请直接写出，和三个角的数量关系 ； 【类比探究】（3）如图3，在内部转动，若，，，求的度数． 【答案】（1）线段的长度不会发生变化，为，理由见解析；（2）①；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． （）由线段中点得到，再根据线段的和差关系即可求解； （）①由角平分线得到，再根据角的和差关系即可求解； ②．根据①的方法即可求解； （）根据，代入已知条件即可求解． 【详解】解：（）线段的长度不会发生变化， ∵、分别是的中点， ，， ， ，， ， ， ； （）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：和分别平分和， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 即； （）， ， ， ， ， ，． 类型二、求动角运动时间 1．如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为30、50、60 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的性质、动态角度的表示及方程思想的应用，解题的关键是通过设未知数表示角度（尤其是动态问题中用时间t表示角度变化），利用角之间的等量关系建立方程求解． （1）设，则，根据列方程，求出x后，由计算结果． （2）用时间t表示、，分别推导和，得出两者的倍数关系． （3）用t表示、、的位置角度，分三种情况、、为角平分线），根据角平分线性质列绝对值方程，求解并筛选符合的解． 【详解】（1）解：设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：依据题意可知：， ∴， ， ∴． （3）解：设射线定为旋转时的初始位置，即，按顺时针旋转一周：， 则射线：从（）顺时针运动，速度，位置为：（单位为度，顺时针角度随运动增大）． 射线：从（）顺时针运动，由“是的角平分线”推导： 为顺时针位置，设） ， 由，得 ，即，射线的位置为：（单位为度）． 射线：从 （）逆时针运动，速度（逆时针即顺时针角度减小），位置为：（单位为度）， 当时，下面分三种情况讨论： 情况1：平分 ∵， ∴ ，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与N重合，不合题意，舍去）． 情况2：平分，则， ∴，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与M重合，不合题意，舍去）， 情况3： 平分 ， （同上）， ∴，解得（如图是角平分线）（另一解时，N与M重合，不合题意，舍去）， 综上，t的值为、、． 2．如图1，点是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，求的度数； (2)当在的左侧且平分时，求的值： (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分，当射线，，中，其中一条射线是另两条射线所形成夹角的平分线时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为10或25或40 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据平角的定义可进行求解； （2）由题意易得度，度，则有度，然后可得方程，进而问题可求解； （3）由题意可分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，然后根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：当时，，， 因为， 所以； （2）解：因为度， 所以度， 因为平分， 所以度， 因为度，， 所以， 所以； （3）解：①如图2，当是的角平分线时，， 所以， 因为平分， 所以， 因为度，度，， 所以， 解得， ②如图，当是的角平分线时，， 因为平分， 所以，与重合， 因为度，度，， 所以， 解得， ③如图，当是的角平分线时，， 因为平分， 所以， 因为度，度，， 所以， 解得， 综上得，的值为10或25或40． 3．已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)3或15 【分析】（1）先根据当在内部时，当在内部时，求出的度数，再根据角平分线的定义求出，然后根据角的和差即可得； （2）设，先根据角平分线的定义得出，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得； （3）先依题意，找到两个临界位置：在AO的反向延长线上；与重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得． 【详解】（1）解：如图1，当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 综上，的度数为或； （2）解：设， 则， ∴， ， ， ， ， 故的值为2； （3）解：，旋转速度为， 射线旋转到即停止转动， 由题意得，， 平分， ， 因， 则有两个临界位置：在的反向延长线上，此时； 与重合，此时， 因此，分以下三种情况分析： 如图，当时， 则， ， 解得，符合题设， ②如图，当时， 则， ，解得，符合题设， ③如图，当时， 则， ，解得或，均不符题设，舍去， 综上，t的值为3或15． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，一元一次方程的应用，较难的是题（3），依据题意，找出两个临界位置，从而分三种情况讨论构造方程是解题关键． 4．如图①，O为直线上一点，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转．若三角板的边恰好平分（如图②），求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转，当射线在内部时，请判断与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线绕着点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转，当射线回到原处时均停止运动，设运动时间为．求时，t的值． 【答案】(1) (2) (3)20，40或 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义； （1）求解，结合角的和差可得答案； （2）设，表示，，再结合角的和差可得答案； （3）①当C在的右上方时，如图，，，②当C在的右下方时，如图，，，③当C在的左下方时，如图，，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，平分， ， ， ． （2）解：如图， 设， ， ， ， ， ． （3）解：①当C在的右上方时，如图， ，， ， ． ②当C在的右下方时，如图， ，， ， 即， ． ③当C在的左下方时，如图， ，， ， 即， ． 综上所述，当时，t的值为20或40或． 类型三、角度之间的数量关系 1．如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】探究一： 平分，理由见解析；探究二：（1），理由见解析；（2）或 【分析】考查角平分线的，与三角板有关的角度计算． 探究一：由平分，，可求出，再根据，可得，进而得出结论； 探究二：（1）由，，可求出，再根据角的和差之间的关系得出； （2）分两种情况进行探究，即：当在的内部，且在直线的上方时；当在的内部，且在直线的下方时；得或． 【详解】解：探究一、平分，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， 平分； 探究二、（1）， ， ， ， ， ， 即：， （2）分以下两种情况： 当在的内部，且在直线的上方时，如图④所示： ， ； 当在的内部，且在直线的下方时，如图⑤所示： ， 即 ， ． 综上所述，或． 2．已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了角三等分线定义，求一个角度的余角、补角，数形结合是解题的关键； （1）根据得出，进而根据得出，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）同（1）的方法求解； （3）①同（1）的方法求解； ②设，，由①可得：，，，进而可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，∴； ②设，， 由①可得：，，， ∴， ∵，∴， 整理得， 即． 3．如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②，， 即， ，． 4．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由：∵， ， ， ． 类型四、角度定值问题 1．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 2．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）60；（2）的度数不会发生变化，始终为，理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 故答案为：60． （2）的度数不发生变化，理由如下： 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为． （3）为或，分析如下： 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得，； 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得， 所以， 综上所述，所以为或． 3．如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②存在；时，为定值 【分析】（1）先求出，根据，求出，求出，得出，即可证明结论； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在左侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据，，得出一定在内部，得出，，表示出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． （2）解：设度，则度， ， ①当在左侧时，如图所示：    则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在左侧时，如图所示：   ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知，或； ②存在； ∵，， ∴一定在内部，如图所示：    ∵，， 又∵平分， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 4．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 类型五、动角中新定义问题 1．如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)75 (2) (3)①60；②或 【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算； （2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解； （3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解． 【详解】（1）是的平分线，， ， 是的平分线， ， ． （2）如图1， 设，则， 若，则，，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ，解得， ． （3）①平分， ， 为的“分余线”， 或， 又， ， 解得． ②设，则， 在的内部作射线，使， ， 为的平分线， ， ， 当为的“分余线”时，或， 或， 解得或， 或． 2．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 3．新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 4．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角） (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________；若，则_________（用含的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角_________； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”、并说明理由； ②如图3，若绕点逆时针旋转（），当是的“倍补角”时，请直接写出的取值范围_________． 【答案】(1)，；或 (2)是的“倍角”， 理由见解析； (3)①是的“倍补角”， 理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差关系，掌握“倍角”， “倍补角”的定义是解题的关键； （1）根据题意得出，进而求得，当时，同理根据角度的和差关系可得；然后根据“倍角”定义写出一组“倍角”即可求解； （2）设，分别表示出和，即可求解； （3）①设，分别表示出和，即可求解； ②分四种情况讨论，分别画出图形，同理求得和，结合新定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵射线平分， ∴ ∴； 若，则 ∵射线平分， ∴， ∴ 又∵，， ∴ ∴ 故答案为：，． 图1中的一组存在“倍角”关系的角可以是：或 （2）是的“倍角”，理由如下， 设 ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即是的“倍角” （3）①是的“倍补角”，理由如下； 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴，即是的“倍补角”； ②如图所示，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线未过射线的反向延长线， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 如图所示，当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于等于，且射线已经过射线的反向延长线，由①可得，是的“倍补角” 当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 当时，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 综上所述，时，是的“倍补角” 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 动角问题的五种考法 类型一、求角度的值 1．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 2．如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 3．在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 4．【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】 （3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 5．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 6．【特例感知】（1）如图1，线段，．线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），C、D分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则 ． ②请直接写出，和三个角的数量关系 ； 【类比探究】（3）如图3，在内部转动，若，，，求的度数． 类型二、求动角运动时间 1．如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 2．如图1，点是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，求的度数； (2)当在的左侧且平分时，求的值： (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分，当射线，，中，其中一条射线是另两条射线所形成夹角的平分线时，求的值． 3．已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 4．如图①，O为直线上一点，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转．若三角板的边恰好平分（如图②），求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转，当射线在内部时，请判断与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线绕着点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转，当射线回到原处时均停止运动，设运动时间为．求时，t的值． 类型三、角度之间的数量关系 1．如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 2．已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 3．如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 4．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 类型四、角度定值问题 1．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 2．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 3．如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 4．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 类型五、动角中新定义问题 1．如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 2．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 3．新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 4．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角） (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________；若，则_________（用含的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角_________； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”、并说明理由； ②如图3，若绕点逆时针旋转（），当是的“倍补角”时，请直接写出的取值范围_________． 1 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