第8期 轴对称 综合测评-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

《轴对称》综合测评卷 班级： 姓名： 学号： 满分：120分 题号 二 三 四 五 总分 得分 郑 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 9 10 答案 1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 A B 2.如图1，△ABC与△DEF关于直线I对称，△ABC的周长为24cm,若AB=6cm,EF= 8cm,则AC的长是 A.6 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 图1 图2 图3 3.如图2所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,AD⊥BC于点D, 若BC=44cm,则BD的长为 C.22 cm 解 A.44 cm B.40 cm D.20 cm 4.点M(-2,-1)关于x轴的对称点的坐标为 ( A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 5.如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠ADC=2∠B,AC=3,AD=2,则BC的 长为 A.7 B.6 C.5 D.4 6.如图4，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB于点E,F,若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ( A.7 B.8 C.10 D.11 图4 图5 图6 7.如图5，在△ABC中，AB=AC,尺规作图：(1)分别以点B,C为圆心，BC为半径作弧，两 弧交于点D;(2)作射线AD,连接BD,CD.则下列结论中错误的是 ( A.S四边形BDc=AD·BC B.∠BAD=∠CAD C.△BCD是等边三角形 D.AD垂直平分BC 8.如图6，△ABC中，BA=BC,D是边AC上一点，连接BD,作BA关于BD的对称线段BE, 连接CE并延长，交BD的延长线于点F,若∠ABC=50°，则∠F的大小为 () A.25° B.40° C.50 D.65° 9.如图7，△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,若∠ABC与∠ACD互补，CD=8,则BC的 长为 A.12 B.14 C.16 D.18 图7 图8 10.如图8，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB平分线上的一个定点，点E,F分别在射线OA 和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是 个定值；③当DE∥OB时，DF也平行于OA.其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.命题“正方形是轴对称图形”的逆命题是 12.如图9，在△ABC中，∠B=∠C=75°，△AB'C'与△ABC关于直线EF对称，∠CAF= 10°，则∠CAB′的度数是 42日5E% D P 图9 图10 图11 图12 13.如图10是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 14.如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于点D,DE是AB的垂直平 分线，垂足为E.若DE=1,则BC的长为 15.如图12，△ABC是等边三角形，AB=4,点P是BC上一动点，BP=m,PD∥AC,交AB 于点D,连接CD.过点P作PE∥AB交AC于点E,连接BE,交CD于点F.当BE+CD的值最 小时，m的值为 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分）》 16.指出如图13所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它所有的对 称轴. (1) (2) (3) 图13 17.如图14，在直角坐标系中，A(-1,5),B(-3,0),C(-4,3) (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△AB,C1; (2)写出点C1的坐标 个 B 图14 18.如图15，在锐角△ABC中，AB=AC,BD1AC,垂足为点D. (1)尺规作图：求作AB边上的高CE,垂足为点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的基础上，若两条高BD与CE相交于点O,求证：0B=OC. 图15 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图16，在△ABC中，∠A=60°，AC=2AB.求证：△ABC是直角三角形， 图16 20.如图17，∠ABN=60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE= AB=I2,点A关于射线BN的对称点为D,连接BD,CD,DE. (1)求证：∠BAC=∠BDC; (2)若P为直线BC上一个动点，当△PDE周长最小时，判断点P所在的位置，并求出 △PDE周长的最小值， 图17 21.如图18，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°，过点C作CE∥BA, 交AD于点E,交BD于点F,连接AC,交BD于点H. (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)求证：AC平分∠DAB; (3)若AD=12,CE=8,求CF的长， H 图18 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22.定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一 个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”. 已知在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上. (1)如图19，如果BD=BC,求证：BD是△ABC的“等角分割线”； (2)如图20，如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； (3)BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F.如果DF=DC,那么 ∠BAC的度数为 图19 图20 23.在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁.桥梁的主结构由多个三角形支撑构 成，以确保其稳定性.为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度 和角度 (1)等边三角形支撑的初步计算： 如图21，桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形ABC,其边长为5米，为了加强支撑， 工程师在AC边上选择了一个点D,并从D点平行于BC方向铺设了一根长度为1米的加固杆 DF,同时从B点向外延伸1米到E点，连接DE与AB相交于点P,请计算PF的长度； (2)可变尺寸的等边三角形支撑： 如图22，现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为α米.同样地，从D点平 行于BC铺设长度为b米的加固杆DF,并延长CB至点E,使得BE=b米.为了进一步加固，从 P点垂直(PG⊥AB)设置一根支柱，与BC交于点G,请计算FG的长度； (3)非等边三角形支撑的特殊条件： 如图23，在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在AC边上选择D点，并从D 点垂直向下(DF⊥BC)设置测量杆DF.他们发现主梁AB与斜拉索DE的长度相等(AB=DE), 并且∠A+∠E=∠C,求证：BE=2CF 图21 图22 图23 些 数理报社试题研究中心 (参考答案见10期)初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期(2025年8月) 第5期综合测评卷 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中， 题号 1 2345678910 AC BD. 所以Rt△AEC≌Rt△BFD(HL).所以∠A=∠B. 答案CBACACDD CD CE DF, 二、11.4；12.70°；13.35cm;14.1；15.①②③. (2)由(1)得∠CE0=∠DFO=90°.因为Rt△AEC≌ 三、16.因为AD∥BE,所以∠A=∠B.在△ADC和△BCE Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- .AC BE. CE DF 中，∠A=∠B,所以△ADC≌△BCE(SAS).所以CD=CE. BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中， ∠CE0=∠DFO,所 AD BC OE OF, 17.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF 以△CEO≌△DFO(SAS) AB DE. 21.(1)因为AE是△ABD的的角平分线，所以∠BAD= 在△ABC和△DEF中， AC=DF,所以△ABC≌ 2∠BAF.因为AD为BC边上的高，所以∠ADB=90°.所以 BC EF, ∠BAD+∠ABD=90°，即∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.又 △DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为∠A=88°，所 因为∠BFE=∠FBA+∠BAF=45°，所以∠EBF+∠BAF= 以∠ACF=∠A+∠B=153°. 45°.所以∠EBF=∠FBA,即BF平分∠ABE. 18.(1)图略. (2)如图2，过点F作FM1 (2)①两直线平行，同位角相等；②∠DFE;③同位角相 BC于点M,FN⊥AB于点N.因为 等，两直线平行 BF平分∠ABE,所以FM=FN. 四、19.如图1，过点D作DH⊥BC 因为SaBF=SAa,即2AB·FN 于点H.所以∠EHD=90°.因为DE1 图2 =2BC·FM,所以AB=BC.在△ABF和△CBF中， 1 AC,所以∠AFD=90°.因为∠BAC= BA BC. 90°，所以AB∥DE.所以∠B=∠DEH. 图1 ∠ABF=∠CBF,所以△ABF≌△CBF(SAS).所以∠AFB ∠BAC=∠EHD BFBF 在△ABC和△HED中 ∠B=∠DEH, 所以△ABC兰 =∠CFB.因为∠BFE=45°.所以∠AFB=135°.所以∠CFB BC ED =135.所以∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=90° △HED(AAS).所以HD=AC=4.因为SE=6,所以2CE 五、22.(1)因为∠ABC=60°，所以∠BAC+∠BCA= 120°.因为AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,所以∠PAC+ ·HD=6.所以CE=3. 20.(1)因为点0是线段AB的中点，所以0A=OB.因为 ∠PCA=(∠BAC+∠BCA)=60e所以∠APC=I20 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 (2)在AC上截取AF=AE=3,连接PF,图略.因为AD平△DCA(AAS).所以EN=AC,AN=CD=6.所以CN=AN- 分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.又因为AP=AP,所以△APE AC=2.因为AC=CB,所以BC=NE.在△BCP和△ENP中， ≌△APF(SAS).所以∠APE=∠APF.因为∠APC=120°，所 ∠BPC=∠EPW, 以∠APE=∠CPD=60°.所以∠APF=60°.所以∠CPF= ∠BCP=∠ENP,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP= ∠APC-∠APF=60°=∠CPD.因为CE平分∠ACB,所以 BC EN. ∠ACP=∠BCP.又因为CP=CP,所以△CPF≌ EP,CP=PN=1.所以AP=AC+CP=5.所以S△ABE=2S△BP △CPD(ASA).所以CF=CD=4.所以AC=AF+CF=7. =AP·BC=20 23.(1)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 第6期2版 ∠ACB=90°.所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 15.1图形的轴对称 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中， 15.1.1轴对称及其性质 ∠AFE=∠DCA, ∠EAF=∠ADC,所以△AFE≌△DCA(AAS).所以AC= 基础训练1.C;2.B;3.1;4.10;5.18 6.图略. EA =AD. EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC-AF=2 7.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 (2)如图3，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M.因 △ACF和△ADF关于直线AE对称.所以∠ACD=∠ADC.因为 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 1 ∠CAB=36°，所以∠ADC=2(180°-∠CAB)=72° 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以∠ACB=180°- ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中， ∠B-∠CAB=96°.因为△ACE和△ADE关于直线AE对称， ∠AME=∠DCA, ∠EAM=∠ADC,所以△AME≌△DCA(AAS).所以EM= 所以∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE-∠B= AE DA, 48°. AC.因为BC=AC,所以BC=ME.在△BCP和△EMP中， 15.1.2线段的垂直平分线 ∠BPC=∠EPM, 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. ∠BCP=∠EMP,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= 5.(1)逆命题为无限小数是无理数，它是假命题； BC EM, (2)逆命题为等腰三角形有两边上的高相等，它是真命 EP.所以BE=2BP. 题 Ma---- E 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ =2 图3 图4 15.2画轴对称的图形 (3)如图4，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, 基础训练1.B;2.B;3.上，5；4.(-6-m,n). AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC 5.图略. +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. 6.(1)图略. ∠ANE=∠DCA, (2)(-a,b). 在△ANE和△DCA中， ∠EAN=∠ADC,所以△ANE≌ (3)△ABC的面积为6. EA AD 能力提高7.B. 2 初中数学·人教八年级(GDY) 第5~8期 第6期3版 附加题1.(1)因为 $$A _ { 1 } \left( 2 ， - 5 \right)$$ 向左平移5个单位长度后 一、 的坐标为 (-3，-5)，(-3，-5) 关于 y 轴的对称点的坐标为 (3，-5)，(3，-5) 与 $$A _ { 1 }$$ 不重合，所以点 $$A _ { 1 } \left( 2 ， - 5 \right)$$ )不是不动 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 点； 答案 A C D B B C B C 因为 $$A _ { 2 } \left( 2 . 5 ， 0 \right)$$ 向左平移5个单位长度后的坐标为 二、9.①；10.如果两个图形全等，那么这两个图形成轴 (-2.5，0)，(-2.5，0) 关于y轴的对称点的坐标为(2.5，0)， 对称，假； $$1 1 . 2 6 ； 1 2 . \left( 5 . 5 ， 4 \right) ； 1 3 . 4 5 ^ { \circ } ； 1 4 . 1 0 ^ { \circ }$$ 或 $$7 0 ^ { \circ } .$$ (2.5，0)与 $$A _ { 2 }$$ 重合，所以 $$A _ { 2 } \left( 2 . 5 ， 0 \right)$$ 是不动点. 三、15.(1)图略； (4，0)，(-1，-4)，(-3，-1). (2)点 A(a，3) 向左平移5个单位长度后的坐标为 (a-5，\right. (2)△A'B'C' 的面积为： $$\frac { 1 } { 2 } \times \left( 3 + 4 \right) \times 7 - \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 3 - \frac { 1 } { 2 }$$ 3)，(a-5，3) 关于y轴的对称点的坐标为 (5-a，3). .因为点 A(a，3)为不动点，所以 a=5-a. .解得 a=2.5. ×5×4=11.5. 2.(1)因为 $$A M \parallel B N ， \angle A = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle A B N = 1 8 0 ^ { \circ } -$$ 16.(1)图略.因为点P与点M关于OA对称，所以 ME= $$\angle A = 1 2 0 ^ { \circ } .$$ .因为 BC 平分 ∠ABP，BD 平分 ∠PBN， ，所以 ∠CBD PE.因为点P与点N关于OB对称，所以 FN=FP. 所以 △PEF 的周长为： EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=15. $$= \angle C B P + \angle P B D = \frac { 1 } { 2 } \angle A B P + \frac { 1 } { 2 } \angle P B N = \frac { 1 } { 2 } \left( \angle A B P +$$ (2)因为点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对 $$\angle P B N \right) = \frac { 1 } { 2 } \angle A B N = 6 0 ^ { \circ } .$$ 称，所以OA垂直平分 MP，OB 垂直平分PN.因为 PN=PM， ，所 (2)因为 AM∥BN， ，所以 ∠ACB=∠CBN. .因为 ∠ACB= 以 $$Q P = \frac { 1 } { 2 } P M = \frac { 1 } { 2 } P N = P R .$$ 所以OP平分 ∠AOB. ∠ABD， ，所以 ∠ABD=∠CBN. .所以 ∠ABD-∠CBD=∠CBN 17.(1)图略. -∠CBD， ，即 ∠ABC=∠DBN. 因为BC平分 ∠ABP，BD 平分 (2)因为点D关于直线AB的对称点是E， 所以 ∠DAB= ∠PBN， ，所以 $$\angle A B C = \frac { 1 } { 4 } \angle A B N = 3 0 ^ { \circ } .$$ ∠EAB，∠D=∠AEB. 因为 ∠DAB=∠ABC， ，所以 ∠BAE= (3)分两种情况： ∠ABC. 所以 AE∥BC. 所以 $$\angle A E B + \angle E B C = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ 所以 ∠D ①当点 C' 位于 BN V上时，如图2，因为BC为 ∠ABP 的平分 $$+ \angle E B C = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ 线，所以 ∠ABC=∠CBP， ，因为 BC 与 BC' 关于 BP 对称，所以 18.(1)因为 $$\angle P A B = 1 5 ^ { \circ } ， \angle A B C = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ，所以 ∠APC= ∠CBP=∠PBC'， ，所以 $$\angle A B C = \angle C B P = \angle P B C ' = 4 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle P A B + \angle A B C = 6 0 ^ { \circ } .$$ 因为点 C 关于直线 PA 的对称点为D， $$\angle N B D = \frac { 1 } { 2 } \angle P B C ' = 2 0 ^ { \circ } ，$$ 因为 AM∥BN， ，所以 ∠ADB= 所以 $$\angle A P C = \angle A P D = 6 0 ^ { \circ } .$$ .所以 $$\angle B P D = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A P C -$$ $$\angle N B D = 2 0 ^ { \circ } ；$$ $$\angle A P D = 6 0 ^ { \circ } .$$ D' E P D (2)如图1，过点A作 BD，DP 的垂 A C C D M M 线，垂足分别为G，F. 因为 ∠APC= D -N ∠APD， ，所以 AH=AF. 因为 ∠BDP= B C' B c B N P H 图2 图3 $$3 0 ^ { \circ } ， \angle B P D = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle D B P = 9 0 ^ { \circ } .$$ 图1 ②当点 D' 位于射线BA上时，如图3，同①可得 ：∠DBN= 因为 $$\angle A B C = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle G B A = \angle D B P - \angle A B C = 4 5 ^ { \circ } =$$ $$\angle P B D = \angle A B P = 4 0 ^ { \circ } ，$$ ，因为 AM∥BN， ，所以 ∠ADB=∠DBN ∠CBA. 所以 AG=AH. 所以 AG=AF. 所以点 A 在 ∠GDP 的平 $$= 4 0 ^ { \circ } .$$ 分线上.因为 $$\angle B D P = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle G D P = 1 5 0 ^ { \circ } .$$ 所以 ∠ADP= 综上所述， $$2 0 ^ { \circ } < \angle A D B < 4 0 ^ { \circ } .$$ $$\frac { 1 } { 2 } \angle G D P = 7 5 ^ { \circ } .$$ .因为点C关于直线PA的对称点为D，所以 第7期2版 15.3等腰三角形 $$\angle C = \angle A D P = 7 5 ^ { \circ } .$$ .因为AH为 △APC 的高，所以 ∠AHC= 15.3.1.1等腰三角形的性质 $$9 0 ^ { \circ } .$$ 所以 $$\angle C A H = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 1 5 ^ { \circ } .$$ 所以 ∠BAP=∠CAH. 基础训练 1.C；2.C；3.3cm； $$4 . 4 0 ^ { \circ } .$$ 一3 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 4.(1)如图1，等边三角形CEF即为所求作， 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= 2∠BAD=50° 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC.在 图2 .AC CB. (2)CD=CE+CF.理由如下： △ECA和△DBC中. ∠ECA=∠DBC,所以△ECA≌ 如图2，在CD上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC是等 CE BD, 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH为等边三角形.所以 △DBC(SAS).所以AE=CD EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- ∠FAB=∠EAC+∠CAB=1O7°，所以∠DCB+∠CAB= ∠FEH,即∠CEF=∠HED.在△CEF和△HED中， 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC EF ED =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- ∠CEF=∠HED,所以△CEF≌△HED(SAS).所以CF= EC EH ∠BAC-∠ABC=34°. HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF 15.3.1.2等腰三角形的判定 第7期3版 基础训练1.C;2.B;3.16. 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 ∠ABC=∠ACB=7(180°-∠BMC)=64因为BG1AC, 题号12345678 答案C ADBBCBD 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；10.2； (2)因为AB=AC,AD为中线，所以∠BAD=∠CAD,AD 11.75°；12.5；13.5；14.18. ⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.因为 三、15.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， ∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC=∠DAB.因为 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB=∠CBG+ 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. ∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 15.3.2.1等边三角形的性质 ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(I)得EA 基础训练1.B;2.B;3.15 =ED.所以AE=CE. 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.因为 16.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A= BC CA, CD是△ABC的中线，所以∠BCD=∠ACD= 7ACB=30. 60°，BC=CA.在△BCE和△CAD中 ∠BCE=∠CAD,所以 因为BE∥CD,所以∠E=∠ACD=30. CE AD, (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD=30°.所以 △BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD, ∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为△ABC是等边三角形，所以 (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 AC=BC.所以AC=CE.所以BC是△ABE的中线. ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=60°. 15.3.2.2等边三角形的判定 17.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= 基础训练1.C;2.B;3.30° DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, 4 初中数学·人教八年级(GDY) 第5~8期 即∠ABE=∠CED.因为AE=BE,所以∠A=∠ABE.由对顶所以HD=HC.所以BD=HC.因为AC=AH+CH,所以AC= 角相等，得∠AEF=∠CED.所以∠A=∠AEF.所以△AEF是 AB BD. 等腰三角形 2.因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°，BC= (2)由(1I)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE 号4B因为BD平分LABC,所以∠DBA=7∠ABC=30°= ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： ∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60° ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= 180°，解得∠A=36°； (I)因为DE⊥AB,所以4E=BE=4B所以BC=BE ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= 所以△EBC是等边三角形 180°，解得∠A=45. (2)AD=DG+MD.理由如下： 综上所述，∠A的度数为36°或45° 如图4，延长ED至点P,使得DP P M 18.(1)因为∠ACB=90°，∠CAD=60°，所以∠B=90° =MD,连接MP.因为DE⊥AB,所以 -∠CAD=30°.所以AB=2AC.因为AC=BD,所以AD=AC. ∠AED=90°.因为∠A=30°，所以 所以△ADC是等边三角形.因为P是CD的中点，所以AP⊥ ∠ADE=90°-∠A=60°.所以 图4 CD. ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以△PDM是等边三角形. (2)连接BE,图略.因为P是CD的中点，所以CP=DP.因 所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD.因为∠BMG=60°，所以 为DE∥AC,所以∠CAP=∠DEP.在△CPA和△DPE中， ∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG,即∠PMG=∠DMB.在 ∠CAP=∠DEP, ∠P=∠MDB, ∠CPA=∠DPE,所以△CPA≌△DPE(AAS).所以AP= △PGM和△DBM中， MP MD 所以△PGM≌ CP DP, ∠PMG=∠DMB. EP 分AE,AC=ED.因为BD=AC,所以BD=DE.因为DE △DBM(ASA).所以PG=DB.因为PG=DP+DG=MD+ DG,所以AD=DG+MD. ∥AC,所以∠BDE=∠CAD=6O°.所以△BDE是等边三角 第8期综合测评卷 形.所以BD=BE,∠EBD=6O°.所以AC=BE.在△CBA和 AC BE, △EAB中，{∠CAB=∠EBA,所以△CBA≌△EAB(SAS).所 题号12345678910 答案C D C BCDA D CC AB BA. 以BC=AE=2AP. 二、11.轴对称图形是正方形；12.50°；13.3265； 附加题1.(I)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE. 14.3:15.2. 所以∠B=∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE, 三、16.(1)有2条对称轴，(2)有一条对称轴，(3)有一条 所以AE=CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC 对称轴.图略. =2∠C.所以∠B=2∠C. 17.(1)图略。 (2)如图3，过点D作DH⊥AC于点 (2)点C1的坐标为(4,3) H.所以∠AHD=∠CHD=90°.因为AD是 18.(1)如图1，CE即为所求. △ABC的角平分线，所以BD=HD.在 (2)因为CE为AB边上的高，所以 「AD=AD ∠BEC=90°.因为BD⊥AC,所以 Rt△ABD和Rt△AHD中， 所以 BD HD. ∠CDB=90°.因为AB=AC,所以 Rt△ABD≌Rt△AHD(HL).所以AB=AH.因为△ABC是等腰 ∠EBC=∠DCB.所以9O°-∠EBC= 直角三角形，所以∠C=45°.所以∠HDC=90°-∠C=45°. 90°-∠DCB,即∠BCE=∠CBD.所以OB=OC -5 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 四、19.如图2，在AB上截取AD=AC, =90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C.因为BD是 连接CD.因为∠A=60°，所以△ACD是等 △ABC的“等角分割线”，所以 边是三角形.所以CD=AD,∠ADC= ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 ∠ACD=60.因为AC=AB,所以AD= ∠C=67.5°； 图2 ②若∠A=∠DBC,则180°-2LC=90°-∠C,解得∠C 分1B所以BD=AD=CD所以∠B=∠BCD=30所以 =90(舍去). ∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC是直角三角形. 综上所述，∠C的度数为67.5. 20.(1)因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAC (3)45°或180 7 ≌△BDC.所以∠BAC=∠BDC. 23.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠C= (2)连接AP,如图3.因为△BAC≌ ∠A=60°.因为DF∥BC,所以∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF △BDC,所以AB=DB=12,∠DBN= =∠C=60°.所以△AFD是等边三角形.所以AF=DF=1米 ∠ABN=60°.所以∠EBD=180°- =BE.所以BF=AB-AF=4米.因为DF∥BC,所以∠FDP ∠DBN-∠ABN=60°.所以△BDE为等 ∠FPD=∠BPE, 边三角形.所以DE=12.因为点A关于 图3 =∠BEP.在△DPF和△EPB中， ∠FDP=∠BEP,所以 射线BN的对称点为D,所以△BAP≌△BDP.所以PA=PD. DF EB, 所以PE+PD=PE+PA.因为PE+PA≥AE,所以当点P运 动到点B时，PE+PA的值最小，为24.此时△PDE周长最小， △DPF≌△EPB(AAS).所以PF=PB=2BF=2米 为36. (2)同理(1)得，△DPF≌△EPB,FD=AF=b米.所以 21.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： PF=PB.因为PG⊥AB,所以FG=BG.因为∠ABC=60°，所 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形. 以△BGF是等边三角形.所以FG=BF=AB-AF= 所以∠ABD=∠ADB=60°.因为CE∥AB,所以∠CED= (a-b)米. ∠DAB=60°，∠DFE=∠ABD=60°.所以△DEF是等边三角 (3)如图4，延长AC至点G,使 形 AB=BG,过点G作GH⊥BC,交BC (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分 的延长线于点H.所以∠H=90°.因 P E 线.所以AC平分∠DAB. 为AB=BG,AB=DE,所以∠A= (3)因为AC平分∠DAB,∠DAB=60°，所以∠BAC= ∠BGA,BG=DE.因为∠A+∠E= 图4 ∠DAC=30°.因为CE∥AB,所以∠ACE=∠BAC=30°= ∠ACB,∠BGA+∠CBG=∠ACB,所以∠E=∠GBH.因为DF ∠CAD.所以AE=CE=8.所以DE=AD-AE=4.因为 ⊥BC,所以∠DFE=∠DFC=90°.在△DEF和△GBH中， △DEF是等边三角形，所以EF=DE=4.所以CF=CE-EF ∠DFE=∠H=90°， =4. ∠E=∠GBH, 所以△DEF≌△GBH(AAS).所以DF 五、22.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD= DE GB, BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC.因为∠ABC= =GH,EF=BH.所以EF-BF=BH-BF,即BE=FH.在 ∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD,所以∠A=∠DBC. ,∠DCF=∠GCH, 所以BD是△ABC的“等角分割线” △CFD和△CHG中， ∠DFC=∠H,所以△CFD≌ (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠A=180°- DF GH. 2∠C.因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90°.所以∠ABD: △CHG(AAS).所以FC=HC.所以BE=2CF 6