2.5 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法 第 2 章 分 式 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1. 理解分式方程的概念； 2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； （重点） 3. 掌握检验分式方程的解的方法.（难点） 学习目标 为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种 9 600 棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的 倍，结果提前 4 天完成任务. 设原计划每天种 x 棵树，试用含 x 的等式表示问题中的等量关系. 分析：上述问题存在以下等量关系： 原计划的天数－实际天数＝4. 情境导入 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ 由于原计划每天种 x 棵树，则实际每天种 x 棵树. 根据上述等量关系，可以得到含有未知数 x 的等式： 即 定义： 像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程. 分式方程的概念 1 知识要点 探究新知 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 由于最简公分母为 x，于是将方程两边同乘 x，得 方程左边的值为 ，右边的值也是4，从而左边的值＝右边的值， 9 600 - 7 200 = 4x， 解得 x = 600. x = 600 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x 用 600 代入原分式方程中， 因此 x = 600 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 归纳总结 例1 解方程： 解 ：由于最简公分母为 x(x - 2)，于是将方程两边同乘 x(x - 2)，得 解得 x = -3. 检验：把 x 用 -3 代入原方程，方程左边的值为 因此， x = -3 是原分式方程的解. 典例精析 5x - 3(x - 2) = 0， 右边的值也是0， 从而左边的值＝右边的值， 解：由于最简公分母为 (x - 2)(x + 2)，于得将方程两边同乘 (x - 2)(x + 2)，得 x + 2 = 4， 解得 x = 2. x = 2 是原分式方程的解吗？ 例2 解方程： . 检验：将 x 用 2 代入原分式方程，方程左边的值为 ， 不存在这种数，因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原分式方程无解. 典例精析 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 9 600 - 7 200 = 4x 两边同乘 x 当x=600时，x≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 2 = 4 两边同乘(x-2)(x+2) 当x=2时，(x-2)(x+2)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个解；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的解. 例3 解方程： 解：由于最简公分母为 3x - 2，于是将方程两边同乘 3x - 2，得 x + (-2) = 5(3x - 2)， 解得 x = . 经检验，x = 是原分式方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. 第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程； 第二步，解所得到的一元一次方程； 第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下： 归纳总结 1.解方程： 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 典例精析 解：由于最简公分母为 x(x - 3)，于是将方程两边同乘 x(x - 3)，得 经检验，x = 9 是原分式方程的解. 2.解方程： x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，(x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 解：由于最简公分母为 (x - 1)(x + 2)，于是将方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 用框图总结为： 可化为一元一次方程的分式方程 一元一次方程 方程两边同乘最简公分母 求解 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 x = a 不是分式 方程的解 当x = a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ） D A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 ) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 课堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( ) A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8 C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8 A 4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( ) A. －1 或 5 B. 1 C. －1.5 或 2 D. －0.5 或－1.5 D 7. 解方程： 解：方程两边同乘 ，得 解得 经检验 是原分式方程的解 分式 方程 误区 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘； 步骤 (去分母法) 一化(分式方程转化为整式方程)； 二解(整式方程)； 三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零) (2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)； (3)忘记检验. 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 课堂小结 $