第4期 2.3 分式的乘法和除法 2.4 整数指数幂-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

23.(9分)利用幂的运算法则解答下列问题： 25.(10分)已知A,B两地相距akm,甲、乙两人分别从A,B两 26.(10分)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A- (1)已知(a")”=a,(a)2÷a”=a3,求mn和2m-n的值； 地同时匀速出发.若相向而行，则经过amin后两人相遇；若同向而 (2)已知33·9m+4÷272m-1的值为729，求m的值. 行，则经过b(b>a)min后甲追上乙. B=4B,则称分式B是分式4的可存异分式”如十与，2因 (1)试用含a,b的代数式表示甲、乙两人的速度甲，"z; 1 1 为+1+2=(x+(x+2)+×+2 2)若号=子求号的值 ++2所以，+2是，的可存异分式” (3)若甲从A地到B地的时间为41min,乙的速度变为原来的2 倍，此时乙从B地到A地的时间为，min,求兰的值. (1)填空：分式1 x+2 分式十3的可存异分式”（筑 “是”或“不是”) (2)分式，”4的“可存异分式”是 2x+3 (3)已知分式x+3是分式4的“可存异分式” ①求分式A: ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值 初中数学 湘 八年 24.(9分)在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道 级同 题，计算：a+c+a+)(a+)a1),同学们 步达 都感到无从下手，小明将。-1变形为(a-),然后用平方差公 标检测卷 初中数学·湘教八年级同步达标检测卷 式很轻松地得出结论.你知道他是怎么做的吗？ 参考答案见下期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2025年7月23日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 4 期总第1148期 (湘教八年级) 0351-5271248 3期2版参考答案 2.1.1分式的概念 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F】 1.D:2.D;3.4:4.-2. 专题辅导日 5(05,2)30 A.- B.I C. D.- 分式的乘除运算 品味方法 6.(1)2a≠b; 分析：分式的分子、分母中含有多项式，应 (2)x为任意数. 简化运算 先将分子、分母中能因式分解的多项式因式分 2.1.2分式的基本性质 综合赏析 有妙招 1.A;2.②④： 解，然后根据法则进行计算 3.(1)2a2+2ab,(2)-a ©湖南李继红 4.(1)-6@:(2) ©四川郝宇轩 解：原式=x(x-y).2 b yy=故选B. 、运用乘法分配律简化运算 分式的乘法运算是通过约分化简完成的， 5.()原式=m+3 m-2 约分的理论依据是分式的基本性质.分式的除 例4十算+4x+4x±子x的古果是一 2-4 例1 化简：2m 1 m2-4+2-m)÷ m+2 当m=-3时，原式=0. 法运算是将除法运算转化为分式的乘法运算进 (2)原式= y-2y2 行的.下面将对分式的乘除运算的典型例题进 B 分析：先把除法运算转化为乘法运算，然后 当x=4,y=1时，原式= 行解析，供同学们参考 x+2 运用乘法分配律求解即可」 3 一、分式的分子、分母都是单项式的乘除运算 D.x+2 解：原式= 2m 11 2.2.1同分母分式的加减 例1计算-二.的正确结果是()） x-2 [(m+2)(m-2)+2-m 1.D;2.1. b a 分析：先把分式的除法运算转化为乘法运 2m (m+2)= 3.0x2 A.2 B.26 C.-2b D.-2ab2 算，再将分式的分子、分母因式分解后计算 (m+2m-2(m+2)+2-m 分析：根据分式的乘法法则即可求出答案。 (x+2)3 x-2 2m .-m+2 解：原式=-2ab 解：原式=e+22-2)‘xx+2) (m+2)= =2m-m-2 m-2m-2 m-2 4原式=台 =-2b.故选C ab 故选A m-2 m-2 =1. 当a=3,b=-2,c=-1 例2 时，原式=子 计算装过 三、分式的乘除混合运算 二、运用乘法公式简化运算 9ah. 分析：分式的除法运算，应把除式的分子、 21，+1.}后的 5 例5化简-2x+1-1'1+ 例2计算： 分母颠倒位置后，与被除式相乘 结果为 ( 2.2.2异分母分式的加减 (任-+等+引 1.B;2.7;3.1. 解：原式= t、B飞1 A.+1 1+x -6-3x7 分析：本题符合平方差公式的特，点，应连续 4222: x+1 C.1 D.1x 1+x 运用平方差公式后求解. 4axy 分析：按照分式的乘除运算法则从左到右依 2-2ab (3)+a+b+ab 器始 次进行 解：原式=（（+ 3期3,4版参考答案 二、分式的分子、分母中含有多项式的乘除 -、1.B;2.A;3.C 运算 解：原式=x+1)(x-).-1.1-x (x-1)2 x+1 +x xy 4.C;5.C;6.D7.B 8.C;9.A;10.A. 例3 计算 的结果是( 1-x 1+x ,故选C. 三、运用裂项相消简化运算 Y-x =、1l.a212.a≠b 入门向号 例3计算：-+(x-1)(x-2)+ 13.2;14.-6;15.-4； 分析：本题考查用科学记数法表示较小的 20 16.+mn 17.12; 科学记数法 数，一般形式为a×10",其中1≤a<10,n为正 (x-2)(x-3) 1 18.x- 整数.n的值等于将原数写成科学记数法a× 分析：观察式子的后两项，我们会发现它们 精彩再现 10”时，小数点移动的位数. 的分母都是差为1的两个因式乘积的形式，且分 三、19.(1)x≠立 解：0.0000003=3×10-7. 子为1，故可用 (2)x≠±12. D日号式子度 20.原式=4+2 应用二：将用科学记数法表示的数还原 a -26 @陕西刘 形后再计算 例2一个数用科学记数法表示为5.01× 1 当a=-2,b= 时，原式 一、理解概念 102,则这个数是 解：原式= ( x-1 6-2- x-3 1.一般地，一个小于1的正数可以表示为。 A.5.01 B.0.501 ×10"的形式，其中1≤a<10,n是正整数，这 C.0.0501 D.0.00501 x-2=x-3 21.(1) 种记数方法也是科学记数法. -yi 分析：本题考查写出用科学记数法表示的 四、运用分离整式简化运算 (2)-328 13 2.把一个小于1的正数用科学记数法表示 2(a+1)2 分两步：①确定a,1≤a<10,它是将原数小数 原数.将科学记数法a×10-”表示的数，“还原” 创4计51 x+3 22.略. 点向右移动后的结果；②确定n,n是正整数，它 成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n 分析：由于x2+4x+5=(x+2)2+1,x2+ 23.(1)是，理由略 位所得到的数.把一个数表示成科学记数法的 6x+10=（x+3)2+1,故本题的两个分式都可 (2)答案不惟一，如N 等于原数化为α后小数点移动的位数， a+6,水=+46 26-a 3.利用科学记数法表示数，不仅简便，而且 形式和把用科学记数法表示的数还原，是两个 先逆用同分母分式的加法法则，即运用+b= 更便于比较数的大小，如：2.57×105显然大于 互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法 24。+。二证明略 a+b 2.57×10-8,前者是后者的103倍 表示一个数是否正确的方法。 占，分离出一个整式和一个较简单的分式， 25.(1)分式的分子与分母 二、应用举例 解：5.01×10-2=0.0501. 合并后再通分 同时除以一个不等于0的 应用一：科学记数法 例3原子是化学变化中的最小粒子，按照 整式，分式的值不变： 解：原式=x+2)+1.+3)2+1+1 (2)略. 例1我国古代数学家祖冲之推算出π的 国际单位制的规定，质量单位是“千克”.例如1 x+2 x+3 26.(1)A=-3,B=2 个氧原子的质量是2.657×1026kg.把2.657× (2)C=1,D=5. 近似道为需它与的误差小于0.0003将10还原成数，这个小激中0的个数为 =x+2+ x+2x-3- +3+1 1 0.0000003用科学记数法可以表示为( 1=x+3-(x+2) x+2x+3=(x+2)(x+3) A.3×10-7 B.0.3×10-6 解析：由科学记数法的表示方法知这个小小 C.3×10-6 D.3×10 数中“0”的个数为26. =2+5x+6 2 素养专练升 数理极 2.3.1分式的乘除 28y(器)(- 4已知3”=272”=16，则m的值是 1.计算g·点的结果为 ( b a2 ) 5.计算： 1 A. . C. b D. b (1)32+(-2)0-17: 2关于式子÷点，下列脱法正 x2-1 确的是 ( A.当x=1时，其值为2 B.当x=-1时，其值为0 C.当-1<x<0时，其值为正数 2.4.1同底数幂的除法 D.当x<-1时，其值为正数 1.计算(-m)2÷(-m)3的结果为( 3.已知一个长方形的面积为4“，9心，它的 A.-m4 B.m C.-m D.m 2ab 2.已知a"=20,a”=30,则am-"的值为 (2)(2)'+22 长为2a+3b,则这个长方形的宽为 ( 4.计算： （①n1i6n4如 A.-10B.10 2a c- D.2 3若26-3。-1，醉的信是 4.计算： (1)(m)2÷m3; 2.4.3整数指数幂的基本性质 1.计算(a2)3+a2.a7-a2÷a3的结果是 2rf2 x2-9y2 () x+y i A.2a-a B.2a5- a (2)(-ab)6÷(-ab)2÷(-ab). C.a D.a5 2.若43×41×4°=4”，则p的值为 3.已知xm=3,y=2,则(x2my)1的值是 4.计算： (3)4 +2÷(x-2)1 (1)m3÷(m4)2: x-2 5.已知4*3×8+1÷2+7=16，求m的值. X (2)a2b2.(a2b-2)3; 2.3.2分式的乘方及乘除混合运算 1化简(-)的结果是 ( D.- 2.4.2零次幂和负整数指数幂 2若口×( =文，则“口”中的式子是 k计算号》)的结果是 ( (3)(2x3y2)-2÷(x2y)3. 3.计算： A.-9B.9 C.g D- 2.科学研究表明，新冠病毒比细菌小很多，平 均直径仅为0.000000098m.0.000000098这个 + 数用科学记数法表示为 ) A.9.8×10-8 B.0.98×10-7 C.98×10-9 D.9.8×10-9 3.将-3x2y写成只含有正整数指数幂的形 数理报社试题研究中心 式为 参考答案见下期 的计算结果为正整 20.(6分)一种被污染的液体每升含有3.6×1014个有害细菌 2.3~2.4同步达标检测卷 2a 为了测试某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂 数，则对a值的描述最准确的是 可以杀死6×10个此种细菌，要将1升被污染的该种液体中的有害 ◆数理报社试题研究中心 A.a为自然数 B.a为大于0的偶数 细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？（注：15滴=1毫升） C.a为大于1的奇数 D.a为正整数 (答题时长120分钟，满分120分) 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11.比较大小：51 (-5)(填“>”“<”或“=”) L计受·整的结果为 12.据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心 是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm.已知1nm=109 A.1 B.2 D.22 m,则28nm用科学记数法表示是 2.下列运算正确的是 ( 1ag那么4- A.(2m-1)°=1 B.0°=0 14.计算(a2)3(ab2)2,并把结果化为只含有正整数指数幂的 21.(8分)计算： C.a°=1 D.(a2+1)°=1 形式为 3.若■ 若+)÷2x+2的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能 ((到( ()÷(-a: = 是 ( 必 M 16.已知分式二Y乘以一个分式A后的结果为 B.3xy C.5y D.x+y 数 学 4.下列计算结果与(-m)2相同的是 2-2y+上，则这个分式A为 A.m2-2m2 B.m2·m 初中数学· 17.如图2，在甲、乙、丙三个袋中分别装有 丙袋 湘 C.(m1)2 D.m÷m 球29个29个、5个，先从甲袋中取出2个球放 ( 5.若m2+r2=6mn(m≠m),则(m+的值为 入乙袋，再从乙袋中取出(2”+2')个球放入丙 2+2 Am -nl 级 袋，最后从丙袋中取出2'个球放入甲袋，此时 A.1 B.2 C.3 D.4 (29 三个袋中球的个数相同，则2y的值等于 2*9 29÷2‘2x 步 6.我们知道2=2,22=4，…，210=1024，那么2-30接近于 甲袋 乙袋 图2 达 标 ( 检 A.10-10 B.10-9 C.10-8 D.10-7 18.如图3，将四张长、宽分别为a,b(a>b 湘教八年级同步达标检测养 >0)的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的 7.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是： 大正方形，已知拼成的大正方形的面积为49 每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给 下一人，最后完成化简，过程如图1所示： 中间小正方形的面积为1，则(a4-b4)÷ a2+b2 老师 丙 丁 ab ÷(6a-6b)的值为 3 r-2x -2x.1-x-2.x-1xx-2.1x-2 x-1x x-1x 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19.(6分)下面是某同学计算64"÷16”×4(m,n为整数)的过 图1 程： 接力中，自己负责的一步出现错误的是 64m÷16”×4=(43)m÷(42)”×4=43m÷42m×4=43-2m- A.只有乙 B.甲和丁 228分》先化简，再球爸：产24*千1共 你认为他计算对吗？若不对，请写出正确的计算过程 中x=10. C.乙和丙 D.乙和丁 8若代数式(v+2)产号的化简结果为2x+2,则式 M为 A.-x B.x C.1-x D.x+1 9.定义新运算x*y=2x+2,则(a$b)×[b幸(-a)]的值 x-y 是 () A. B.- C.-2 D.-4 a-b a+b八年级数学湘教第1~5期 线理橘 答案详解 2025~2026学年八年级数学湘教 第1~5期 1期2版 =4x2+4x+1 1.1多项式的因式分解 =(2x+1)2; 1.C;2.D;3.-2,2. (3)原式=-ab(1-2a2+a4) 4.解：(1)因为3x(x-2)=3x2-6x, =-ab(a2-1)2 所以因式分解3x2-6x=3x(x-2)正确； =-ab(a+1)2(a-1)2 (2)因为(x+1)(x-2)=x2-x-2≠x2-3x+2, 5.解：x2-9y2+4z2+4xz 所以因式分解x2-3x+2=(x+1)(x-2)不正确； =(x2+4z2+4z）-9y2 (3)因为(3+2x)(3-2x)=9-4x2, =(x+2z)2-(3y)2 所以因式分解9-42=(3+2x)(3-2x)正确. =(x+2z+3y)(x+2z-3y). 1.2提公因式法 因为x+2z=3y, 1.B; 所以x+2z-3y=0. 2.x(y-2);3.-5. 所以原式=6y·0=0,其值为定值. 4.解：(1)原式=3(a-7)； 1期3,4版 (2)原式=3x(x-2+4y); 一、选择题 (3)原式=(3a+b)(2a-3b+4a) 题号123456789 10 =(3a+b)(6a-3b) 答案CAD DBDAA CC =3(3a+b)(2a-b). 提示： 1.3.1公式法（平方差公式） 5.解：因为M=x2+y2,N=2, 1.A;2.D;3.D; 所以M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2. 4.(x+1)2(x-1) 因为(x-y)2≥0， 5.解：(1)原式=(x+5y)(x-5y); 所以M≥N. (2)原式=(x-y)(a2-b2) 6.解：因为关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全 =(x-y)(a+b)(a-b); 平方公式分解因式， (3)原式=(x2+9)(x2-9) 所以ax=±2×6x,所以a=±12. =(x2+9)(x+3)(x-3) 7.解：无盖的长方体纸盒的底面积为(b-2a)2, 6.解：(1)小禾的解答是从第①步开始出错的，错误的原 侧面积为4a(b-2a), 因是：去括号时，+3y未改变符号. 所以M=(b-2a)2-4a(b-2a) (2)(3x+y)2-(x+3y)2 =(b-2a)(b-2a-4a) =(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) =(b-2a)(b-6a). =(4x+4y)(2x-2y) 8.解：因为a-b=3, =8(x+y)(x-y). 所以a2-b2=(a-b)(a+b)=3(a+b), 1.3.2公式法（完全平方公式） 所以a2-62-6b+2 1.C;2.-8; =3(a+b)-6b+2 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). =3a+3b-6b+2 4.解：(1)原式=(2a+3b)2: =3a-3b+2 (2)原式=4(x2+x-6)+25 =3(a-b)+2 八年级数学湘教第1~5期 =3×3+2 所以b2+4b+4+2-6c+9=0, =11. 所以(b+2)2+(c-3)2=0, 9.解：因为2x3+x2-13x+6 所以b+2=0,c-3=0, =2x3+x2-10x-3x+6 解得b=-2,c=3, =x(2a2+x-10)-3(x-2) 所以a=-2+4=2, =x(2x+5)(x-2)-3(x-2) 所以a+b+c =(x-2)(2x2+5x-3) =2+(-2)+3 =(x-2)(2x-1)(x+3), =3. 所以2x3+x2-13x+6的因式有(x-2),(2x-1),(x+ 三、解答题 3) 19.解：(1)原式=[a+2b+(2a-b)][a+2b-(2a-b)] 10.解：因为a2(b+c)=b2(a+c)=2024, =(3a+b)(3b-a); 所以2(b+c）-b2(a+c)=0, (2)原式=ab2(62-4b+4) 即a2b+a2c-ab2-b2c=0, =ab2(b-2)2. 整理，得ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 20.解：(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)+(b+a)2 所以(a-b)(ab+ac+bc）=0. =(a+b)(a+b+a+b+a+b) 因为a≠b,所以a-b≠0， =3(a+b)2. 所以ab+ac+bc=0,即ab+bc=-ac. 因为a+b=10, 因为6(a+c)=2024, 所以原式=3×102=300（种）. 所以b(ab+bc)=2024, 答：这座商贸大楼共有商品300种. 所以abc=-2024. 21.解：因为20242024-202422 二、填空题 =202422×(20242-1) 11.3(m+1)(m-1);12.9,3;13.(x-3); =20242×(2024+1)×(2024-1) 142+2x+1,(+1;15.-6:169 =202420m×2025×2023 =2023×2024"×2025, 17.(x+2)(x+8);18.3. 所以n=2022. 提示： 22.解：(1)原式=(m-2)(4x-3x) 16解：了方y =x(m-2）. 1 当x=1.5,m=6时，原式1.5×(6-2)=6. =-3x+y) (2)原式=(x-1)2+(2x+1)(x-1)+3(x+1)(x-1) =-3[(x+)2-2] =(x-1)(x-1+2x+1+3x+3) =3(x-1)(2x+1). =-号×(-5)×[2-2×(-5] 当x=-分时，原式=3×(-方-(-方×2+)=0 =亨x4=9 23.解：B-A=a2+a-7-a-2 17.解：因为(x+4)2=x2+8x+16, =a2-9=(a+3)(a-3). 所以b=16. 因为a>2,所以a+3>0. 因为(x+1)(x+9)=x2+10x+9, 当2<a<3时，a-3<0,此时A>B; 所以a=10, 当a=3时，a-3=0,此时A=B; 则x2+10x+16 当a>3时，a-3>0,此时A<B. =x2+(2+8)x+2×8 24.解：(1)图中的面积可以表示为 =(x+2)(x+8). (2a+b)(a+b)或2a2+3ab+b2: 18.解：因为a-b=4, 表示因式分解的等式为 所以a=b+4. 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 因为ab+c2-6c+13=0, (2)图略.2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 所以b(b+4)+c2-6c+13=0, 所以这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b. -2 八年级数学湘教第1~5期 所以此长方形的周长为2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 所以b+ac=11-30=-19. 25.解：(1)①25x2+10x-y2+1 8.解：因为边长为a,b的长方形周长为12，面积为5， =(25x2+10x+1)-y月 所以a+b=6,ab=5, =(5x+1)2-y2 所以(a+b)2=36, =(5x+1+y)(5x+1-y); 即a2+2ab+b2=36, ②x2-4y2+2x+4y 所以a2+62=36-2×5=26. =(x2-4y2）+(2x+4y) 则a3b+ab3=ab(a2+b) =(x+2y)(x-2y)+2(x+2y) =5×26 =(x+2y)(x-2y+2). =130. (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0, 9.解：将m2=4n+a与n2=4m+a相减，得 所以(a2-4ab+462)+(62-6b+9)+(2-10c+25)=0, m2-n2=4n-4m, 所以(a-2b)2+(b-3)2+(c-5)2=0, 即(m+n)(m-n)=-4(m-n), 所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0, 移项，合并同类项，得(m-n)(m+n+4)=0. 所以a=6,b=3,c=5. 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+n+4=0, 所以三角形ABC的周长为6+3+5=14. 即m+n=-4, 26.解：(1)提公因式法，2； 所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-4)2=16. (2)(1+x)225; 10.解：因为mn-2m-3n-20=0, (3)1+x+x(x+1）+x(x+1)2+…+x(x+1)9 所以m(n-2)-3n+6-6-20=0, =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-1] 所以m(n-2)-3(n-2)-26=0, =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)"-2] 所以(m-3)(n-2)=26. =…=(1+x)" 因为m,n均为正整数， 2期检测卷 所以m-3为不小于-2的整数， 一、选择题 n-2为不小于-1的整数. 题号12345678910 因为26=1×26或26=-1×(-26)或26=2×13或 答案AAC CCDD CA A 26=-2×(-13), 提示： 所以m-3=1或m-3=26。 5.解：3a(x2-1)-36(x2-1) ln-2=26ln-2=1 =(3a-3b)(x2-1) 或m-3=2或m-3=1B, =3(a-b)(x+1)(x-1), ln-2=13ln-2=2, 因为x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应六个字：青，学， 所以m+n=32或m+n=20, 我，数，爱，高， 所以m+n的最小值是20. 所以将3a(x2-1)-36(x2-1)因式分解，结果呈现的密 二、填空题 码信息可能是：我学高青。 11.x(x+y)(x-y);12.4;13.72;14.6: 6.解：对于A.x2+2x+1=(x+1)2,可以； 15令；16,4或-4：17.6：18-1012. 对于B.x2-2x+1=（x-1)2,可以； 提示： 对于C+2+1=(分+)，可以： 16.解：将题目中的两个式子相加，得 a2-ab+b2-ab=16, 对于D.2+1加上-子，无法构成完全平方式，故选D 即(a-b)2=16, 7.解：因为77x2-13x-30 所以a-b=±4. =(7x+a)(bx+c) 17.解：因为a2+2ab+b2=c2+24, =7bx2 abx +7cx ac, 所以(a+b)2=c2+24, 7bx2+(ab +7c)x+ac, 所以(a+b)2-c2=24, 所以7b=77,ab+7c=-13,ac=-30, 所以(a+b+c)(a+b-c)=24. 解得b=11, 因为a+b-c=4, 一3 八年级数学湘教第1~5期 所以a+b+c=24÷4=6, 23.解：(1)(2m+n)(m+2n); 即△ABC的周长为6. (2)由题意，得m+n=20÷2=10, 18解：由题意，得m2-7=之， 1 m2-n2=(m+n)(m-n)=40, 所以m-n=4, 即(m+(m-)=-方(m-. 所以m=7,n=3, 所以2m+n=17,m+2n=13, 因为m≠，所以m-≠0，所以m+2=一分 所以这张长方形纸板的面积为 所以m3-mn+n3=m·m2-mn+n·n (2m+n)(m+2n)=17×13=221(cm2). =m(+2024)-m+n(2m+202个 24.解：设另一个因式为(2x+n. 根据题意，得2x2+3x+k=（x-1)(2x+n). =2nn+2024m-m+2n+2024n 展开，得2x2+3x+k=2x2+(n-2)x-n. =2024(m+n) 所以-2=3解得=5， lk =-n, lk=-5. =2024×(-7)=-1012 所以另一个因式为(2x+5),k的值为-5. 三、解答题 25.解：(1)原式=x2-4x+4-1 19.解：(1)原式=(x-3)(x+2); =(x-2)2-1 (2)原式=9a2-6a+1-462 =(x-2+1)(x-2-1) =(3a-1)2-(2b)2 =(x-1)(x-3). =(3a-1+2b)(3a-1-2b). (2)原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 20.解：(n+7)2-(n-5)2 =(x2+2x-1)2-4 =(n+7+n-5)(n+7-n+5) =(x2+2x-1+2)(x2+2x-1-2) =(2n+2)×12 =(x2+2x+1)(x2+2x-3) =24(n+1). =(x+1)2(x-1)(x+3). 因为n为正整数，所以n+1为正整数， (3)原式=x+4x2+4-4x2 所以24(n+1)能被24整除， =(x2+2)2-(2x)2 即(n+7)2-(n-5)2能被24整除. =(x2+2+2x)(x2+2-2x). 21.解：(1)原式=40×(31.52-2×31.5×18.5+18.52) 26.解：(1)52+22. =40×(31.5-18.5)2 (2)k=13.理由如下： N=x2-6x+4y2+8y+k =40×169 =6760. =x2-6x+9-9+4y2+8y+4-4+ =(x-3)2+(2y+2)2+k-13. (2)原式=号×[(27)-(52] 因为N是“和数”， =寸×(2分+5号27分-5) 所以k-13=0, 解得k=13. =分×3x2 (3)因为m,n都是“和数”，设m=a2+2,n=2+d, 所以mn=(a2+b2)(c2+） =242. =a2c2+a2+b2c2+b 22.解：(1)(x-2); a c2+bd 2abed -2abed a'd +b2c2 (2)设x2+6x=y =(ac +bd)2+(ad-be)2, 原式=y(y+10)+25 所以mn也是“和数”. =y2+10y+25 3期2版 =(y+5)2 2.1.1分式的概念 =(x2+6x+5)2 1.D;2.D;3.4;4.-2. =[(x+1)(x+5)]2 =(x+1)2(x+5)2. 5.(0,252)300 a 一4 八年级数学湘教第1~5期 6解：(1)要使-±的值存在， 62-2 2a-b 4.解：a-b)(a-c)+(a-b)(a二 则2a-b≠0，即2a≠b, a2-c2 a+b =(a-b)(a-c) 所以当2a≠6时，-2a-2的值存在 =(a+c)(a-c) (a-b)(a-c) (2)要使+的值存在， =atc 则21x1+1≠0. a-b 因为21x1+1≥1， 当a=36-2e-1时碧光=+号=号 所以x为任意数21+的值都存在。 5解：根超题在，得兰日-地二=。 -U 2.1.2分式的基本性质 40 1.A;2.②④； 3.(1)2a2+2ab,(2)-a-b. 答：飞机比船舰先到390h 4解：(1)24a2:-4ah:60=-6a 2.2.2异分母分式的加减 -4ab 4ab 1.B;2.73.1. (2)2a3-6 2a2-ab 1 2a2b-ab2 6(2a2-ab)=b 4.解：(1)1-1 xx+2 5.解：(1)m+5m+6 m2-4 龙+2 x(x+2)x(x+2) =(m+2)(m+3) (m+2)(m-2) =龙+2-x x(x+2) =m+3 2 m-2 =2+2 当m=-3时只号=号=0 m-2 2子+ x2-2xy (2)y-4y+4 2(x-1) 2x =(x+1(x-1)+x+i =x(x-2y) xy(x-2y)2 2 2x = +i+x+ 1 -y(x-2y） =2(x+1) x+1 1 xy-2y2 =2. 当x=4,y=1时，1。 1 1 1 y-27=4x1-2×1下=2 ()+a++6(。++ 2.2.1同分母分式的加减 =1+6+1+a-a(1+b)+b(1+m) (1+a)(1+b)(1+a)(1+b) 1.D;2.1. 2+a+b a +b+2ab 3解：)22 1 =(1+a)(1+b)(1+a)(1+b 1 1 =2+a+6-a-b-2ab =2x-+2x- (1+a)(1+b) 2-2ab 2 =2x-T =I+a+b+ab (2)a-1-1 3期3,4版 a2-2aa2-2a 一、选择题 a-2 = 题号12345678910 a2-2a 答案BA CCCDBC AA a-2 =a(a-2) 提示： 1 3 =d 9.解：因为x2+x-3 A 5 八年级数学湘教第1~5期 A(x-3) 3(x-2) 1 =x-2)(x-3)+(x=2)(x-3) y3= 1 1 =2-x, =4(x-3)+3(x-2) x-2x-2 （x-2)(x-3) 1 1 =A+3)x-(3A+6) 4=1-(2-0=x-五 (x-2)(x-3) 所以这列式子的结果以十产二2-×为-个循环，反 2+3- 6x+B 复出现. 所以4±324=g-- 6x+B 因为2026÷3=675…1， (x-2)(x-3) 1 所以A+3=6, 所以y2s=1=x- 1-(3A+6)=B, 三、解答题 解得A3, LB=-15. 19解：1)要使号的值存在。 0因为+=1山， 则2x-3≠0，解得x≠之， 3 所以1+，+1+。+1+=14， 'x+y 所以当大子时，号的值在在 x+y+2++y+2+x+y+区=14， (2)要使6(x+3》的值存在， x+y y+z z+x 1x|-12 所以a+++,+4, 则1x1-12≠0，解得x≠±12， 所以1+11 14 (x+3的值存在 所以当x≠±12时，x-12 以x+y+y+:+z+xx+y+云 a-4ab2 而1+ 1+ 7 20.解。-4a6+4ab “x+yy+zz+x6 a(a2-4b2) 所以石 7 a(a2-4ab+4b2) =a(a+2b)(a-2b) 所以x+y+z=12. a(a-2b)2 二、填空题 =4+26 a-2b l212a≠6：13.2：4-6：5-4 当a=-2.6=宁时， 16. n0 17.12；18.1 m mn .x-1 1 1 提示： a+26 a-26 -2+2×立-2出 1 以解3+与己+8 -2-2×2 =-21=3 x2-9 4y 5x 2(x-3) 2(x+3) 2x+18 (x+3(x-3）-(x+3)(x-3)+(x+3)(x-3) = 21.解：(Dx+x-刀+7+- 4y 5x 2x+6 =(x+3)(x-3) =(x+y)(x-y)+(x+y)(x-)(x+)(x-) 4y+4x =x-3 =(x+y)(x-y） 由于x为整数，且原式为整数， 、4 x-Y 所以x-3=±1或±2， a-32a+4 所以x=4或2或5或1， 2+2。+8+2n+14+2 所以4+2+5+1=12. a(a-3) 2aa++a0+22a+2 = a+2 18解：因为=1 =2a品+-2 a-3 所以归= 1 1 1- =(a-3)(a+1)+2(a-3)-4(a+1)2 x-1x-1 2(a+1)2 —6 八年级数学湘教第1~5期 =-302-8a-13 2(a+1)2 所以原式=3×(，2)=5=-1 -2+6 4 22.解：因为abc=1, 26.解：(1)将等号右边通分，得 1 所以b+b+=ab+b+abe=a++e ac A B x+6+4-3x 1 A(4-3x)+B(x+6) be+c+l=a(be+e+1)=abe+ac+a=I+ac+a (x+6)(4-3x) 23.解：)-2×-4与2 2-4与，一2是一对整合分式.理由如 =-3A+B)x+(4A+6B) -3x2-14x+24 下： 11x 因为2-4+ -3x2-14x+24 2-4+x-2 所以3A+B=11, =-2-4x+2(x+2) l4A+6B=0, x2-4 x3-4x 解得1=-3， lB=2. x2-4 (2)在已知等式中取x=3,有C+D=6. =x, 所以2x-4与2 取x=1,有-C+D=4. 2-4与一2是一对整合分式 解6+D=6,得C= ②)答案不惟一如N=的后牛+尝 l-C+D=4,lD=5. a +b 4期2版 2解+若亚明如下 2.3.1分式的乘除 a3+63 1.A;2.D;3.20-36 2ab a3+(a-b) a2-16 2a (a+b)(a2-ab+b2)】 =[a+(a-b)][a2-a(a-b)+(a-b)] 4.解：0。-80+16+4a (a+b)(a2-ab+b2) =a+4)(a-4).2a =a+(a-b)](a2-ab+6) (a-4)2a(a+4) a +b =（a+4)(a-4).2a (a-4)2·a(a+4) a+(a-b) 25.解：(1)“方法二”中运用的分式的基本性质是分式的 2 a-4 分子与分母同时除以一个不等于0的整式，分式的值不变. x2-92 故答案为：分式的分子与分母同时除以一个不等于0的整 2+2+二3 x+y 式，分式的值不变 =x+3y)(x-3y.x+y (2)因为xy≠0， (x+y)2 x-3y 所以原式=(3x-5xy-3y)÷y =(x+3y)(x-3y）·(x+2 (x+6xy-y）÷y (x+y)2·(x-3y) =+3y x+y 1+6-工 y u-2 =(x+2)(x-2).1,1 x-2x-2 11+6 (x+2) y x (x+2)(x-2) 因为二”=2， =(x+2)(x-2)(x-2 xy 1 =x-2 所以-↓=2， x y 2.3.2分式的乘方及乘除混合运算 所以人、1 y元=-2， 1B:2宁 -7 八年级数学湘教第1~5期 3解：(2.g 2.4.3整数指数幂的基本性质 -8· 1D2-435 4.解：(1)m3÷(m4)2 =m3÷m8 8y3·x 三m3-(-8) =m3. (2)a262·（a2b-2)3 2()+() =a262·a66 =8y 器( =a2(-6).b2+6 =a8·b =8y.9x2(-2 16y·x2y 、93 (3)(2x3y2)2÷(x2y)3 3 1 1 2.4.1同底数幂的除法 =2x7)‘x) 1 1.C;2.D;3.2. =4y·xy 4.解：(1)(m4)2÷m 1 =m3÷m3 =4x y 三m8-3 =m. 4r7 4期3,4版 (2)(-ab)6÷(-ab)2÷(-ab) =ab÷a2b2÷(-ab) 一、选择题 =-a6-2-1·66-2-1 题号12345678910 =-a3b3 答案BDBDBBDB D C 5.解：因为43×8m1÷2m+7 提示： =22(m+3)×23(m+0÷24m+7 10.解：原式= 2a .(a-1)2(a+1)2 a-1(a+1)(a-1) 4a2 =22m+6X23咖3÷24m+7 2a2 .(a-1)2(a+1)2 =2m+2=16=24, =(a-1)产(a+1) 4a2 所以m+2=4, =a+1 2 解得m=2. 2.4.2零次幂和负整数指数幂 由于户生是正整数.(a-1a+)≠0，a≠0. 1B:2:3-琴：47 所以a为大于1的奇数描述最准确。 二、填空题 5.解：(1)3+(-2)°-17 1.<；122.8×10m;13.±(g+0；140 1 =9+1-17 =-7. 154,16-7.2:1814 2()+22 提示： =士+ 17.解：最后甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2+ 2',29+2-(2+2）=29-2,5+(2+2)-2'=5+2. 2 因为一共有29+29+5=63（个）球，且最后三个袋子中 =2+4 的球的个数相同， 9 所以最后三个袋子中的球都是21个， 二4 所以29-2=21,5+2=21， —8 八年级数学湘教第1~5期 所以2=8,2=16， =x.+1 所以2-y=2÷2=16÷8=2. x-1x 18.解：因为大正方形的面积为49， +1 x-1 所以(a+b)2=49. 又因为a>b>0,所以a+b=7. 当=10时出8出号 因为中间小正方形的面积为1， 23.解：(1)因为(a")”=a, 所以(a-b)2=1, 所以am“=a, 所以(a+b)2-(a-b)2=48, 所以mn=6. 所以a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=48, 因为(a)2÷a=a3, 所以ab=12, 所以a2m=a23, 所以(0-6)s“÷(6a-6) 所以2m-n=3. (2)因为33·9m4÷272m-1=729, =(a2+b)(a-b)(a+b)·d+B‘6(a- ab 1 所以33·32m+8÷36m-3=36, =ab(a+b) 所以33+2+8-6m3=36, 6 所以3+2m+8-6m+3=6, =2×7 解得m=2. 6 24.解：原武=(a-合(a+(+子(d+)(a+) =14. 三、解答题 =a(a-a(a2+(c+(a+) 19.解：他的计算不对.正确过程如下： =a(a-c+(+) 64m÷16"×4 =(43)m÷(42)”×4 =a(a-(+） =43m÷42×4 =a(a6-) =43m-2n+1 20.解：依题意，得(3.6×104)÷(6×101)=(3.6÷6) =a-六 ×104-1=600(滴)， 25解：(1)根据题意，得(p+z)=a, 所以需要这种杀菌剂600÷15=40（毫升）. b(v甲-Uz)=a. 21解：1（会）÷(-) 所以仰=a+b, 26 =品() (2)因为里=4+b=7 为2=6-=3, =-62.64 9a6 所以a+6=子6-子， 2 =-3a26 所以号=， 2 所以号=号 2 -2x+32x-3》.(4-2)‘2x-3 1 a 2x-1 26 2×6 =2(2x+3) ab =4x+6. 2ab Fa+b÷6-a =2ab.b-4 atb ab -【别奇 =26-2a a +b =( 1 1 26.解：(1)因为x+3x+2=(x+2)(x+3 9 八年级数学湘教第1~5期 1 x+3×x+2=（x+2)（x3 检验：把x=头代入原方程，得左边=-4=右边， 4 1 1 1 x+3-x+2子x+2X、 因此x=号是原方程的解 所以分式，十2不是分式+3的“可存异分式” (2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得 4(x-1)-3(x+1)=0. 故答案为：不是 解得x=7. (2)设4的可存异分式”为N, 4 3 检验：把x=7代人原方程，得左边=7+77之一70 则，4-N=产4×N, =右边， 所以（产4+xN=产4 因此x=7是原方程的解。 (3)方程两边同乘最简公分母3x-6,得 所以N=x之4(4+ 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 解得x=2. 4 2x-4 检验：把x=2代人原方程，方程两边的分式的分母都为0， =.x-4 这样的分式没有意义， x-42x-4 因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解 x =2x-4 2.5.2分式方程与实际问题 1.D;2.C;3.B;4.200;5.甲. 故答案为：2x-4 6.解：设从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需 (3D因为分式号是分式A的可作异分式， 时间为x小时 根据题意，得30=2.8×530 所以4-号=A×牛号 x+3 3x+3 5 所以A1-)-0+号 2x+3 解得x=子 经检验，x=弓是原分式方程的解，且符合题意。 5 所以A= 号(1-别 答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 2x+3.3x+3-2x-3 -3x+5 3x+3 为号小时 2x+3,3x+3 7.解：(1)设甲加工服装x件，乙加工服装y件， 3x+3 =2x+3 根据题意，得：+y=280, ly=2x-80, ②分式A的值为1,3,5. 解得120， 因为整数使得分式A的值是正整数，A=2红+3=2+ y=160. 所以甲加工服装120件，乙加工服装160件. 故答案为：120,160. (2)设乙每天加工服装m件， 所以x=1时，A=5;x=3时，A=3;x=-3时，A=1, 则甲每天加工服装(m-5)件 所以分式A的值是1,3,5. 5期2版 根据题意，得120=160 m-5=m 2.5.1分式方程及其解法 解得m=20. 1.B;2.C;3.4;4.2y2-3y+1=0: 经检验，m=20是原分式方程的解，且符合题意. 5.m≥3且m≠6. 答：乙每天加工服装20件 6.解：(1)方程两边同乘最简公分母(x-3)(x-2),得 8.解：(1)设乙图书每本价格为x元， x-2=-3(x-3). 则甲图书每本价格为2.5x元. 解得x=号 根据题意，得00-0=24 x2.5x -10