精品解析：湖南省长沙市浏阳市浏阳河中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级第一次阶段性练习（数学） 总分：120分；考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴以及增减性是解题的关键． 【详解】解：对于二次函数的图象的开口向上，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，顶点坐标为，则选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意． 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：， ，，， ， 方程由两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 5. 已知是一元二次方程的两根，且，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴． ∵， ∴-k-1=-3， 解得：k=2． 故选：B． 【点睛】一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两个实数根，则有： =， =． 6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 7. 已知二次函数的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（ ） A. a＞0，c＞0 B. a＞0，c＜0 C. a＜0，c＞0 D. a＜0，c＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向可得的符号，根据对称轴在轴的哪侧可得的符号，根据抛物线与轴的交点可得的符号． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴的左侧， ， 抛物线与轴交于负半轴， ． 故选：B． 【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向上，；对称轴在轴左侧，，同号；抛物线与轴的交点即为的值． 8. 关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　 A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，根据题意得出，，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项是0， ∴，， 解得：， 故选：C． 9. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 10. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案． 【详解】由二次函数的图象可知， ，， 当时，， 的图象经过二、三、四象限， 观察可得D选项的图象符合， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，利用一元二次方程的定义判断即可，利用一元二次方程的定义判断即可 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， ∴， 故答案为： 13. 抛物线与轴交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标的交点，理解抛物线与坐标轴的交点坐标特征是解题关键． 根据抛物线与轴交于点，得到点的横坐标为0，代入抛物线解析中进行计算求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ， ． 故答案为：． 14. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程，同时要注意方程的解是否满足实际问题的情境．设这次聚会的同学共人，则每人需和除自己外的个人握手，而两个人之间仅握手一次，因而共握手次，然后列方程求解即可． 【详解】解：设这次聚会的同学共有人， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，， ， ，即这次参加聚会的人数为． 故答案为：． 15. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： 0 1 0 4 6 6 下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式，先根据待定系数法求出抛物线的解析式为，由可判断①；令，则，解得，，以此可判断③；将抛物线解析式根据配方法化为顶点式得，以此可判断②、④． 【详解】解：把点，，代入中得：， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的开口向下，故①正确； 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，，故③错误； ， 抛物线的对称轴为直线， 当，该二次函数取得最大值，最大值为， 故②、④正确． 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 16. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将变形为，再利用“降次法”将转化为，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴． ∴ ， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴ ∴， ∵， ； ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 用配方法把二次函数转化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点为，开口向下 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点为， ∵， ∴开口向下． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 20. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽米，涵洞顶点O到水面的距离为米，建立如图所示的直角坐标系． （1）试写出涵洞所在抛物线的解析式； （2）当水面上涨了米时，求水面的宽． 【答案】（1）涵洞所在抛物线的函数表达式； （2）河面的水宽为米. 【解析】 【分析】（1）根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为，根据米，涵洞顶点O到水面的距离为米，那么A点坐标应该是，利用待定系数法即可求解； （2）当水面上涨了米时，，求出当时，x的值再求差即可． 【详解】（1）设此抛物线所对应的函数表达式为：， ∵米，涵洞顶点O到水面的距离为， ∴A， 把A点代入得：， 解得：， 故涵洞所在抛物线的函数表达式； （2）当水面上涨了米时，， 即：， ∴ 所以河面的水宽为米. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是能利用待定系数法求出抛物线解析式，并能求出对应点的坐标． 21. 如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽． 【答案】通道的宽为5米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，表示出花圃的长和宽，再由“花圃所占面积是整个长方形空地面积的”列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：通道的宽为5米． 22. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点为． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）抛物线的对称轴上存在点C，使的面积为3，且或 【解析】 【分析】（1）设抛物线对应的函数解析式为，把代入确定a值即可． （2）设，则，又点，抛物线的对称轴为直线，可得点A到对称轴的距离为1，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，对称轴的意义，熟练掌握待定系数法，对称轴的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由顶点为， 不妨设抛物线对应的函数解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：故抛物线的对称轴上存在点C，使的面积为3， 且或， 理由如下： 由顶点为， 故抛物线的对称轴为直线， 由抛物线的对称轴上一点C，使的面积为3， 设， 则， 又点，抛物线的对称轴为直线， 故点A到对称轴的距离为1， 根据题意，得， 故或， 解得或， 故或， 故抛物线的对称轴上存在点C，使的面积为3， 且或． 23. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 24. 阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）利用换元法解方程得到方程的解为______． （2）若，求的值． （3）利用换元法解方程：． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，； （2）设，代入得到． 解得，，根据，得到； （3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得． 【小问1详解】 设，则， 于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，， 移项得：， ∵， ∴此方程无解， 当时，， 解得，； 故答案为：，； 【小问2详解】 设，则该方程变为． 解得：，． ∵ ∴，即 【小问3详解】 设，则， 原方程变形为：， 去分母，得， 即 解得，． 经检验，是分式方程的根． ∴ 即 解得：，． 经检验，是分式方程的根． ∴原分式方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根． 25. 如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为 （1）是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）设 的面积为 求S与t之间的函数表达式． （3）是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，再根据当时，，由勾股定理得，即，求解即可； （2）根据，代入化简即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，，， 由题意，得，， 则，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 当时，， ∴ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴存在，当时，使得． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：当时，则， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴； 当时，则， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，则， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上，存在，当或时，使得 是等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，三角形的面积，矩形的面积，求函数关系式，解一元二次方程，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次阶段性练习（数学） 总分：120分；考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知是一元二次方程的两根，且，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（ ） A. a＞0，c＞0 B. a＞0，c＜0 C. a＜0，c＞0 D. a＜0，c＜0 8. 关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　 A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 9. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是　　 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根为__________ 12. 若关于的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 13. 抛物线与轴交于点，则点的坐标为_____． 14. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人． 15. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： 0 1 0 4 6 6 下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是______（填序号）． 16. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 用配方法把二次函数转化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 20. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽米，涵洞顶点O到水面的距离为米，建立如图所示的直角坐标系． （1）试写出涵洞所在抛物线的解析式； （2）当水面上涨了米时，求水面的宽． 21. 如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽． 22. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点为． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 24. 阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）利用换元法解方程得到方程的解为______． （2）若，求的值． （3）利用换元法解方程：． 25. 如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为 （1）是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）设 的面积为 求S与t之间的函数表达式． （3）是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $