第6期 11.3 乘法公式; 11.4 整式的除法-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

初中数学·华东师大八年级第6~9期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级第6~9期(2025年8月】 第6期2版 三、13(10+4y+4；(2)-3x+2y-石： 11.3乘法公式 (3)a2-462+4bc-c2. 11.3.1两数和乘以这两数的差 基础训练1.B;2.A;3.-2;4.0. 14(1)3592:(2)10609 59w-4;(2)-+80 15.(1)原式=(a2+3a)(a2-3a)-(16a-8a)÷(2a) =a-9a2-(16a3-8a)÷8a3=a4-9a2-2a2+a=a- 6.(11:(2)39号 11a2+a. 11.3.2两数和（差）的平方 (2)当a=-2时，原式=(-2)4-11×(-2)2+(-2) 基础训练1.A;2.C;3.19. =-30. 4.(1)16a2-24ab+962; 16.(1)因为a-b=1,2+62=17,(a-b)2=a2+62- (2)5x2-42x+16;(3)9980.01; 2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8. (4)a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2. (2)根据题意，得S影=。-2×宁b(a-6)=心+68 5.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 ab. 0g=+P-x-门=子×5-9)=4 因为a+b=7,所以(a+b)2=72,即a2+2ab+b2=49. (2)+y=(x+y2+(x-y月]=7×(25+9) 因为ab=9,所以a2+62+2×9=49,即2+b2=31. 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. =17; (3)令2025-x=m,x-2024=n,则m+n=2025- (3)x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=(2+y2)2-2(y)2= x+x-2024=1, 172-2×42=289-32=257. 因为(2025-x)(x-2024)=-6,所以mn=-6. 11.4整式的除法 所以(2025-x)2+(x-2024)2=m2+n2=(m+n)2 11.4.1单项式除以单项式 -2mn=12-2×(-6)=13. 基础训练1.D;2.A;3.3b2. 附加题1原武=2x×[1-)1+2)1+)1+ 4.(1)-4x3;(2)12xy2. 11.4.2多项式除以单项式 2是1+2]+2品 基础训练1.B;2.-2ay3+3y;3.92-6x+1 4.(1)-x2+2x;(2)2x-4. =2×[1-京)1+)1+1+)]+0 5.原式=-8xy =2×[1-是)1+)(1+0]+2品 当x=3y=分时，原式=12 =2×[(1-是1+)]+品 第6期3版 -题号12345678 =2×1-动)+京=2-品+京=2 答案C AA D C B D B 2.(1)①4；②4. 二、9.16-9x2；10.18x3y2;11.4；12.6. (2)设AC=x,BC=y 初中数学·华东师大八年级第6~9期 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2=64 b). 因为S1+52=44,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2y=4 (2)图略.2a2+5ab+26=(2a+b)(a+2b).所以这个 +2y=64,解得y=10.所以S△c=2y=5 长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b.所以此长方形的周长 为：2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 第7期2版 16.(1)①25x2+10x-y2+1=(25x2+10x+1)-y2= 11.5因式分解 (5x+1)2-y2=(5x+1+y)(5x+1-y). 11.5.1因式分解的概念与提公因式法 ②x2-4y2+2x+4y=(x2-4y2)+(2x+4y）=(x+ 基础训练1.C;2.C;3.2(a-2); 2y)(x-2y）+2(x+2y)=(x+2y)(x-2y+2). 4.x2+6x+8=(x+4)(x+2);5.-5. (2)因为a2+562+c2-4ab-6b-10c+34=(a-4ab 6.(1)a(a+b+2);(2)4xy2(xy+2xz-3z): +462)+(b2-6b+9)+(c2-10c+25)=(a-2b)2+(b- (3)3(x-y)2(9x-4y). 3)2+(c-5)2=0,所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0.解得 能力提高7.答案不惟一，略 a=6,b=3,c=5.所以三角形ABC的周长为：6+3+5=14. 11.5.2公式法(1) 附加题1.(1)提公因式法； 基础训练1.C;2.A; (2)(1+x)26: 3.(am+5)(am-5);4.9或-7. 5.(1)(x+2y)(x-2y);(2)-(x-2y)2; (3)原式=子×4×(5+52+5+…+5) (3)(x+2;(4(4r+9)2+32-3). =子×4×5+4×5+4×5++4×5) 6.因为(a+2b)2-2a-4b+1=(a+2b)2-2(a+2b) =×(1+4+4×5+4×5+4×5+…+ +1=(a+2b-1)2=0, 4×5225-5) 所以a+2b=1.所以(a+2b)2o6=1. 11.5.2公式法(2) =(1+4)2-5 4 基础训练1.C;2.2m(m+3)2;3.64. =52w-5 4.(1)-4a(x-y)2;(2)3(x+y)(x-y）); 4 (3)a(x+2)2(x-2)2. 2.(1)是. 5.(1)由题意得M=3x2-4x-20-3x(x-3)=3x2-4x (2)由题意，得P=(x2+y)2-(x2)2=(x2+y+x2)(x2 -20-3x2+9x=5x-20; +y-x2)=y(2x2+y)=2x2y+y2. P=3x2-4x-20+(x+2)2=3x2-4x-20+x2+4x+ (3)N=4x2-9y2+8x-18y+k=(4x2+8x+4)-(9y2 4=4x2-16. +18y+9)+k+5=(2x+2)2-(3y+3)2+k+5. (2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2). 因为V是“明礼崇德数”，所以k+5=0.所以k=-5. 能力提高6.x2-9y2+42+4xz=(x2+42+4xz)-9 第8期综合测评卷 =(x+2z)2-(3y)2=(x+2z+3y)(x+2z-3y).因为x+2z 题号12345678910112 =3y,所以x+2z-3y=0.所以原式=6y·0=0,其值是定值. 答案CD C D B CC CA B BD 第7期3版 二、13.-18x3;14.0;15.25cm2;16.10或-10. 题号 12345 67 8 三、17.(1)-y；(2)-6x3y2z+42y2z-2x2y: 答案ACCD (3)4m2-n2-6n-9. A B DC 18.(1)-y(3x-y)2; 二、9.(m-6)2；10.5；11.4；12.-3. (2)(a-b)(m+n)(m-n);(3)5000. 三、13.(1)2m(2x-3y+1);(2)(x-1)(x+4)(x-4); (3)(2a-b)2 19(1(5+36)(4a+2b)-4×2(2a+6-(3a+2b2 14.(1)10000;(2)147. =20a2+22ab+662-2(4a2+4ab+b2)-(9a2+12ab+ 15.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a+b)或2a2+ 462) 3ab+b2;表示因式分解的等式为：2a2+3ab+b=(2a+b)(a+ =20a2+22ab+6b2-8a2-8ab-2b2-9a2-12ab- 2 初中数学·华东师大八年级第6~9期 463 义).所以∠1=∠3（等量代换） =3a2+2ab, 因为∠A0D+∠2+∠3=180°（平角的定义）， 所以绿化地带的面积为(3a2+2ab)平方米. 所以∠AOD+∠2+∠1=180°（等量代换）.所以OE与 (2)当a=5,b=20时，3a2+2ab=3×52+2×5×20 OF在同一条直线上 =75+200=275,即绿化地带的面积为275平方米. 12.2三角形全等的判定 20.(1)25; 12.2.1全等三角形的判定条件 (2)设202404=x.所以A-B=(x-3)(x+3)-(x- 基础训练1.A;2.C;3.A;4.1; 1)(x+1)=x2-9-2+1=-8<0.所以A<B. 5.35;6.①3④. 21.(1)原式=x3-x2+x2+9x-10=x2(x-1)+(x-1)(x 7.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF.所以AC-CF +10)=(x-1)(x2+x+10); =EF-CF,即AF=CE. (2)原式=x2-3x2+x2-5x+6=x2(x-3)+(x-2)(x (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF -3)=(x-3)(x2+x-2)=(x-3)(x+2)(x-1) 因为∠ADE=2∠B, 22.【问题探究】方法1：(m+n)2-4mn; 所以∠ADF=∠ADE-∠EDF=∠B. 方法2：(m-n)2. 因为∠DAF=∠AFD=2∠B, 【得出结论】(m+n)2-4mn=(m-n)2. 所以在△ADF中，根据三角形内角和定理，得∠DAF+ 【应用结论】(1)因为(x+y)2=x2+y2+2xy,x+y=4, ∠AFD+∠ADF=5∠B=180°.解得∠B=36°. 2+y=0,所以y=方[x+y2-(2+y)]=7×(6 所以∠AFD=72°，∠EDF=36°.所以∠E=∠AFD- -10)=3. ∠EDF=36° (2)①±2： 12.2.2边角边 ②22. 基础训练1.B;2.C；3.B;4.1或7. (3)由题意，得ED=AD-AE=2x-44,DG=DC-CG 5.因为AC∥DE,所以∠ACB=∠E. =x-30.所以MT=M0=(2x-44)+2(x-30).因为长方 在△ABC和△CDE中，因为BC=DE,∠ACB=∠E,AC= 形EFGD的面积是200，所以(2x-44)(x-30)=200.所以2(x CE, -30)(2x-44)=400. 所以△ABC≌△CDE(SAS). 令a=2x-44,b=2(x-30) 所以∠B=∠D. 所以ab=400,a-b=16. 能力提高6.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= 所以(a-b)2=a2+b2-2ab=256. 180°，以∠2=∠ACB. 所以a2+b2=256+2ab=1056. 因为AD=CE,所以AD+CD=CE+CD,即AC=DE. 所以四边形M0RT的面积=MT=(a+b)2=a2+b2+ 在△ACB和△DEF中，因为CB=EF,∠ACB=∠2，AC= 2ab=1056+800=1856. DE, 第9期2版 所以△ACB≌△DEF(SAS). 12.1命题、定义、定理与证明 所以AB=DF 基础训练1.C;2.B; 第9期3版 3.三个角是三角形的内角，它们的和等于180°； 题号1 2345678 4.答案不惟一，如14； 答案CA C B C A DC 5.∠1，∠2（或∠2，∠1）；∠C;两直线平行，内错角相等； 二、9.两个角是同位角，这两个角相等；10.40°； ∠C:同位角相等，两直线平行 11.120°；12.64. 6.因为AB,CD相交于点O(已知)，所以∠AOC= 三、13.(1)假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角。 ∠D0B(对顶角相等). (2)假命题，反例：121=1-21，但是2≠-2. 因为OE,OF分别是∠AOC,∠D0B的平分线（已知）， (3)假命题，反例：20°与50°都是锐角，但是20°+50°≠ 所以L1=∠A0C,∠3=∠D0B(角平分线的定 90°，两个锐角不互余。 3 初中数学·华东师大八年级第6~9期 14.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB=105° 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B. 因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= 因为a+∠B+∠ACB=180°， 50° 所以a+B=180°. 因为∠CAD=10°， 2.(1)EF BE DF. 所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. 如图1所示，延长EB到点G,使BG= 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45°. DF,连结AG, 15.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC. 因为∠ABC=∠D=90°，所以 G B E 因为CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, ∠ABG=180°-∠ABC=90°.所以 图1 所以∠ACD=∠DCE=∠ECB=60° ∠ABG=∠D. 在△ACD和△BCE中，因为AC=BC,∠DCA=∠ECB, 在△ABG和△ADF中，因为AB=AD,∠ABG=∠D,BG= CD =CE, DF, 所以△ACD≌△BCE(SAS). 所以△ABG≌△ADF(SAS), (2)因为△ACD≌△BCE, 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF. 所以∠E=∠D=40°. 因为∠BMF=子∠BMD, 所以∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 16.(1)因为∠EAB=∠DAC=60° 所以∠BME+∠DAF=之∠BAD.所以∠BG+∠BAE= 所以∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,即∠EAC= ∠BAD. ∠BAD=LEAF,即∠GAE=∠EAE 2 在△AEC和△ABD中，因为AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC 又因为AE=AE, AD. 所以△AEG≌△AEF(SAS), 所以△AEC≌△ABD(SAS). 所以EG=EF: (2)设AB与EC交于点G, 因为EG=BE+BG, 因为△AEC兰△ABD,所以∠AEC=∠ABD. 所以EF=BE+DF 因为∠AGC=∠AEC+∠EAB=∠AEO+60°=∠GFB (2)(1)中的结论仍然成立. +∠ABD=∠GFB+∠AEC. 如图2所示，延长EB到点G,使BG 所以LAEC+60°=∠GFB+∠AEC. =DF,连结AG 所以∠GFB=60°. 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ 图2 所以∠DFC=∠GFB=60°. ∠ABC=180°，所以∠ABG=∠D. 附加题1.(1)①因为∠BAC=∠DAE, 在△ABG和△ADF中，因为AB=AD,∠ABG=∠D,BG= 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= DF, ∠CAE. 所以△ABG≌△ADF(SAS) 又因为AD=AE,AB=AC, 所以AG=AF,∠1=∠2. 所以△ABD≌△ACE(SAS). 因为∠EP=宁∠BAD, ②BC⊥EC,理由如下： 因为△ABD≌△ACE,所以∠B=∠ACE. 所以∠2+∠3=号∠BMD, 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE. 所以∠1+∠3=∠BAD=∠EA,即∠GAE=∠EA 又因为∠BAC=90°， 所以∠B+∠ACB=90° 又因为AE=AE, 所以∠BCE=90°. 所以△AEG≌△AEF(SAS). 所以BC⊥EC 所以EG=EF. (2)a+B=180°，理由如下： 因为EG=BE+BG, 由(1)得∠B=∠ACE. 所以EF=BE+DF 一44 素养·拓展 A 数理极 专题辅导 乘法公式的题型多 题 完全平方公式变形记 种多样、精彩万分，下面 让我们一起参观乘法公 式的题型展吧！ 法 间 一、纠错型 ©陕西王文也 例1小红在计算 在解题时，可以对完全平方公式进行灵活 解：因为a+b=7,a2+b2=25, a(1+a)-(a-1)2时， 刘 解答过程如下： 式 变形，使它的应用更加广泛.下面举例加以说 所以b=(a+b2-(a+6】=12 英 a(1+a)-(a-1 题 明，供同学们参考. -a+ad2(2-1）…第一步 变式4：ab=[(d2+6)-(a-b)2]. =a+d2-d2-1 …第二步 变式1：a2+b2=(a+b)2-2ab. =--1. …第三步 十十+十十+十十十+十十+十++十十 展 例1已知a+b=2,ab=1,求a2+的值 小红的解答从第 例4已知a2+b2=8,a-b=3,求ab的 步开始出错，请写出正确的解答过程。 解：因为a+b=2,ab=1, 值 解：一 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=2. 解：因为a2+b2=8,a-b=3, 原式=a+a2-(a2-2a+1)=a+a2 x十+十+++十十十十十十十十 a2+2a-1=3a-1. 1变式2：a2+b2=(a-b)2+2ab. 所以a=+)-a-0]= 2 二、求值型 例2若关于x的多项式x2-ax+36=(x 例2若x-y=5,xy=2,则x2+y2= 变式5：ab=[(a+b)2-(a-b) +b)2,则a+b的值是 解：因为(x+b)2=x2+2bx+b2=x2-ax +36,所以2b=-a,b2=36. 解：因为x-y=5,xy=2, 例5设M=2x+y,N=2x-y,P=xy 所以a=12,b=-6或a=-12,b=6. 所以x2+y2=(x-y)2+2xy=52+2×2若M=4,N=2,则P= 所以a+b=6或-6. =29. 解：因为M=2x+y=4,N=2x-y=2, 故填6或-6. 三、实际应用型 故填29 所以2g=[(2+2-(2x-]=3 例3重庆某植物园中现有A,B两个园 区，已知A园区为长方形，长为(4x+2y)米，宽 变式3：a6=[(a+6)2-(2+) 3 所以P=x灯= 为(3x-5y)米；B园区为正方形，边长为(x+ 3y)米. 故 (1)请用代数式表示A,B两园区的面积之 例3已知a+b=7,a2+b2=25,求ab的值 和并化简； 十十十十+十十十十十十十+十十十十十十十+十十+十十十十十十十十十十十十十+十十十 (2)为增加植物园收益，现对园区进行改 第5期2版参考答案 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-7)(x 造，对于A园区，若宽增加(x+5y)米，长减少 11.2整式的乘法 -3)(x-5)=(x2-8x+7)(x2-8x+15). (4x-2y)米，则A园区面积将变为3200平方 11.2.1单项式与单项式相乘 把2-8x=3代入，得原式=(3+7)×(3+15) 米；对于B园区，若边长减少6y米，则B园区面 基础训练1.B;2.B;3.-4,15;4.22a2 =180. 积将会是A,B两园区改造完成后总面积的子， 5.(1)2x3y;(2)-18xy; 第5期3版参考答案 求B园区改造前的面积！ (3)3x4y4z4:(4)3a3b6. -、题号12345678 解：(1)由题意，得(4x+2y)(3x-5y)+ 能力提高6.yang8888. 答案DACCA BCA (x+3y)2 11.2.2单项式与多项式相乘 =12x2-14xy-10y2+x2+6xy+9y2 二、9.6x2-2x;10.-4xy;11.-7; 基础训练1.C;2.A;3.1; =13x2-8xy-y2, 12.1或4或9. 即A,B两园区的面积之和为(13x2-8xy 4.72m2n+45mn2. 三、15.(1)-24xy4；(2)12x3y+8x2y2-4xy; y2)平方米 5.(1)-6ab-36;(2)-2x2+4xy+2y2; (3)13a2b-4ab2;(4)7x2+29x-6. (2)改造后A园区的宽为：3x-5y+x+5 (3)-2xy4+6x3y5-x2y6 16.小明的发现是正确的.理由如下： =4x(米)，长为：4x+2y-(4x-2y)= 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2)=x2- 原式=3x3+2x2-3x3-8x2+6x2-8=-8.因为 4y(米)，所以4x·4y=3200,即xy=200.改造 2x+1+3x2=4x2-2x+1: 计算结果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的， 后B园区的边长为：x+3y-6y=(x-3y)米， (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)·(-3x2) 因此面积为(x-3y)2平方米. 17.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a+1)= =-12x4+6x3-3x2. 24ab-36a+2b-4. 由题意，得(x-3y)2=号[3200+(x 能力提高7.原式=-a3b+3a264+2ab2= 即安装健身器材的区域面积为(24ab-36a+2b- 3y)2]. -(ab2)3+3(ab2)2+2ab2. 4)平方米； 解得(x-3y)2=6400. 因为a=-1,所以原式=1+3-2=2. (2)当a=9,b=15时，24ab-36a+2b-4=24 即改造后B园区的面积为6400平方米， 11.2.3多项式与多项式相乘 ×9×15-36×9+2×15-4=2942 所以改造前B园区的面积为：(x+3y)2= (x-3y)2+12xy=6400+2400=8800(平 基础训练1.D;2.B;3.A; 即安装健身器材的区域面积为2942平方米， 方米) 4.2;5.2x2+7x-4. 18.(1)4×5×100+25: 四、新定义型 6.(1)2x2+9xy-5y2; (2)(a5)2=100a(a+1)+25.理由如下： 例4对于任意有理数a,b,现用“☆”定 (2)4a3+6a2b-8ab2-15b. 因为(a5)2=(10a+5)(10a+5)=100a2+100a 义一种运算：a☆b=a2-b2,根据这个定义，式 7.a2+7a+10:a2+3a-10:a2-3a-10:a2-7a++25,100a(a+1)+25=100a2+100a+25, 子(x+y)☆y可化简为 10. 所以(a5)2=100a(a+1)+25. A.xy +y B.xy-y (3)根据题意，得(a5)2-100a2=525,即100a2+ C.x2+2xy D.x (1)x2+(p+q)x+p9: 解：(x+y)☆y=(x+y)2-y2=x2+2xy (2)①x2-13x-230;②x2-45x+500; 100a+25-100a2=525. +y2-y2=x2+2x (3)因为x2-8x-3=0,所以x2-8x=3. 解得a=5. (下转1,4版中缝) 故选C. 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话， 教理橘 2025年8月6日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话， 第 6期总第1150期 华东师大 0351-5271248 八年级 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-206 附加题 1.(1)E 是A的“好多项式”.理 入门向导： 整式的除法的基础是 同底数幂的除法法则，整式 由如下： 乘法公式全攻略 的除法包括两种类型：一是 由题意，得C=A× 单项式除以单项式：二是多 ○湖南曹俊竹 项式除以单项式.让我们一 B=(x-2)(x+3)= 乘法公式是整式运算中十分重要的公式， 长方形②移到①的位置，此时阴影部分的面积 起来学习吧！ 西 学的 -2x+3x-6=x2+ 更是今后学习其他知识的基础，它的应用也十又可以看成边长为α的大正方形的面积减去边 一、单项式除以单项式 单项式相除，把系数、 武艳 习除 -6,所以L(C)=3. 分广泛.为了更好地熟悉并掌握乘法公式，就让长为b的小正方形的面积，即S,+S2=S,+S 同底数幂分别相除作为商 因为L(A)=2, 我们共同踏上乘法公式的全攻略之旅，尽情感=a2-b2,故(a+b)(a-b)=a2-b2 的因式，对于只在被除式中 指法 受乘法公式的风彩 所以L(A)<L(C) 图2中大正方形的面积可 出现的字母，则连同它的指 攻略一、乘法公式的结构特征 以表示为(a+b)2,也可以表 数一起作为商的一个因式 =L(A)+1. 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.示为S,+S2+S+S4=ah+ 说明：进行单项式除以单项式的运算时，要 所以B是A的“好 公式的左边是两个二项式，在这两个二项式中，a2+2+ab,故(a+b)2=a2 注意： 多项式” 有一项完全相同，另一项互为相反数；公式的右+2ab+2.同理可得(a-b)2 a (1)商的系数等于被除式的系数除以除式 图2 边是左边乘式中两项的平方差（相同项的平方=a2-2ab+ 的系数，运算时按有理数的除法法则进行，先确 (2)C=A×B=(x 减去相反项的平方) 攻略三、乘法公式中字母的广泛意义 定商的符号，再把绝对值相除。 -3)(x2-ax+9)=x3 2.两数和（差）的平方公式：(a+b)2=a (2)同底数幂相除时，底数不变，指数相 在乘法公式中，字母a,b都具有广泛的意 (a+3)x2+3(a+3)x +2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+2.公式的左义，它们既可以分别表示具体的数，也可以表示 减 边是两数和（或差）的平方，右边是一个二次三一个单项式或一个多项式.如(5n+2m)(2m (3)只在被除式里含有的字母，要连同它 -27 的指数一起作为商的一个因式，千万不要把这 因为B是A的“极 项式，其中第一、三项是公式左边括号中二项式5m)=(2m+5n)(2m-5m)=4m2-25n2,这里 个因式漏掉 每一项的平方，中间一项是左边括号中二项式的2m相当于公式中的a,5n相当于公式中的b (4)连除运算时，应从左到右分步进行除 好多项式”， 两项乘积的2倍.可形象地叙述为：首平方、尾平 攻略四、运用乘法公式的注意事项 法运算 所以L(A)=L(C) 方，首尾乘积的2倍在中央 计算时，要先观察题目的结构特征是否符 (5)单项式除以单项式，结果仍是单项式 2 攻略二、乘法公式的几 合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式 例1 计算(2ab)2÷ab2,正确的结果是 所以x3-(a+3)x 何意义 S2① 的条件的形式，再利用公式进行计算（详见本版 A.2a B.4a C.2 D.4 +3(a+3)x-27只有 图1中阴影部分的面积 《慧眼识公式》)；若不能变为符合公式条件的形 为(a+b)(a-b),若把小N 式，则应运用整式的乘法法则进行计算 分析：先根据积的乘方化简，再根据单项式 两项 除以单项式的法则即可得出答案 疑难解析 解：原式=4n22÷ab2=4a.故选B 所以a+3=0.解 二、多项式除以单项式 得a=-3. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每 2.因为6=192 眼识公式 项除以这个单项式，再把所得的商相加 ◎四川梁清秀 说明：进行多项式除以单项式的运算时，要 所以(6)y=192',即 学习了乘法公式后，在进行多项式的乘法运 三、分组变形 注意： 6y=192'①. 算时，先不要急着去括号，我们要用一双“慧眼”， 例3计算：(m+2n-3p)2. (1)多项式的每一项都包括它前面的符 因为32'=192，所 号，单项式也包括它前面的符号. 精准识别乘法公式在不同情境下的呈现形式 分析：计算三个数的和或差的平方，可先添 (2)多项式除以单项式时，不要漏除，相除 以(32)=192，即 一、位置变形 括号将其中两项看成一个整体，再运用两数和 后，商的项数与多项式的项数相同. 32y=192*② 例1运用乘法公式计算(4+x)(x-4)的 (差)的平方公式进行计算 (3)混合运算时，要注意运算顺序，运算过 结果是 ①②的两边分别 解：原式=[m+(2n-3p)]2 程中若有同类项，要合并同类项， 分析：两个多项式中，含字母x的项完全相 (4)多项式除以单项式，结果仍是多项式， 相乘，得6”×32y= =m2+2m(2n-3p)+(2n-3p)2 同，常数项互为相反数.根据加法交换律将完全 =m2+4nn-6mp+4n2-12np+9p2 例2计算：(12x3-18x2-6x)÷(-6x). 192×192* 相同的项移到前面，互为相反数的项移到后面， 分析：运用多项式除以单项式的法则得出 例4计算：(x-3y-2z)(x-3y+2z). 所以(6×32)”= 即可利用平方差公式计算 答案即可 分析：第一个多项式与第二个多项式的前 解：原式=-2x2 +3x+1 192*+. 解：原式=(x+4)(x-4)=x2-16 故填x2-16. 两项完全相同，且它们的第三项的系数互为相 所以192 反数.可将完全相同的两项看成一个整体，再利 二、符号变形 周住讲 192”.所以xy=x+y 例2计算(2-x)(x-2)的结果为 用乘法公式进行计算 解：原式=[(x-3y)-2z]·[(x-3y)+2z 11.3乘法公式 所以(-6)x-1-I)+ A.4-x2 B.x2-4 =(x-3y)2-4z2 (-6)-1y-)× 学习目标：1.了解平方差公式和两数和（差） C.-4-4x-x2 6)2=（-6)w-(+y D.-4+4x-x2 =x2-6xy+9y2-42 的平方公式的几何背景，并能运用公式进行简 分析：两个多项式中，含字母x的项的系数 四、指数变形 单计算和推理。 36=(-6)×36 和常数项都互为相反数.若变换第二个多项式 例5计算：(3a+2)2(3a-2)2 2掌握两数和（差）的平方公式的多种变形 216. 中各项的特号，使x-2变为-(2-x),则可以 分析：本题若直接运用两数和（差）的平方公 3.能运用乘法公式进行一些数的简便运算 (全文完) 利用两数差的平方公式求解 式展开再相乘，计算相当繁琐.我们不妨先逆用 11.4整式的除法 解：原式=-(2-x)2=-(4-4x+x) 积的乘方法则，再运用乘法公式，便可巧妙求解 学习目标：经历探索整式除法法则的过 =-4+4x-x2 解：原式=[(3a+2)(3a-2)]2 故选D. =(9a2-4)2=81a-72a2+16 程，会进行简单的整式除法运算」 2 素养专练 数理极 11.3.2两数和（差）的平方 t 2.若a2÷06=2a,则m,n的值分别为 跟踪训练 垦础训练 ( ) GENZONGXUNLIAN .! 1.计算(-x+2)2的结果是 ) A.m=4,n=2 B.m=4,n=1 11.3乘法公式 A.x2-4x+4 B.-x2-4x+4 C.m=5,n=2 D.m=5,n=1 11.3.1两数和乘以这两数的差 C.x2+4x+4 D.-x2+4x+4 3.已知一个长方形的面积为6ab,若这个长 2.小明在计算一个二项式的平方时，得到的方形的宽为2b,则长为 屋础训练 正确结果是4x2+12y+■，但最后一项不慎被污 4.计算： 1.计算：(2a+b)(2a-b)= 染了，这一项应是 () (1)(-24x2y）÷6xy; A.4a2+b2 B.4a2-b2 A.3y2 B.6y2 C.9y2 D.±9y2 C.2a2-62 D.2a2+b2 3.若x-y=5,xy=6,则x2-3xy+y2的值 2.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边为 长为b的小正方形，将阴影部分拼成右边的长方 4.利用乘法公式计算： 形，根据图形中阴影部分的面积可写出正确的等 (1)(-4a+3b)2; 式是 (2)(6x3y2)2÷3x2y A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a(a-b)=a2-ab (2)(-3x+5)2+(2x+3)(-2x-3); C.(a-b)2=a2-b 11.4.2多项式除以单项式 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 3.已知m+n=4,m2-n2=-8,则m-n= 垦础训练 1.计算：(-4x2y+2xy）÷2xy=（ 4.已知a2+a=2,则代数式(a+2)(a-2)+ A.-2x B.-2x+1 a(a+2)的值为 5.计算： (3)99.9; C.-3x2y D.-x'y 2.小花与小米在做游戏时，两人各报一个整 (1)(2a-3b)(-2a-3b): ·式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为 被除式，要求商必须为-2x2y.若小米报的整式是 4xy-6x3y2,则小花报的整式应是 3.规定一种新运算“⑧”：a⑧b=a2÷b.则代 数式(3x2-x)⑧x2= (4)(a-2b+3c)2 4.计算： (1)(3x4-6x3)÷(-3x2); (2(2x+)·- )·(-y2-9 3 t2). 5.已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,求下列各 (2)[x(x2-2x+3)-3]÷22 式的值： 6.简便运算： (1)xy;(2)x2+y2;(3)x+y4 (1)1232-122×124; 5.先化简，再求值：[2(x-y)]2+(2xy2+ 2y)÷(-7y2),其中x=3,y=-2 1 (2)20子×19号 11.4整式的除法 11.4.1单项式除以单项式 垦础训练 X 1.计算2x8÷4x2的结果是 A.2x B.2x6 c D. 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养•测评 3 16.(15分)在数学中，通常可以运用一些公 同步检 式来解决问题.比如，运用两数和的平方公式（α+ b)2=a2+2ab+b2,能够在三个代数式a+b,ab, a2+2中，当已知其中任意两个代数式的值时，求 TONGBUJIANCE 出第三个代数式的值 【检测范围：11.3~11.4】 例如：已知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值. 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 11.已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3) 解：将a+b=3两边同时平方，得(a+b)2= 题号12345 6 7 8 +(2a-1)2的值是 32,即a2+2ab+b2=9. 12.如图3，以长方形ABCD的 答案 因为ab=2, 四条边为边向外作四个正方形， D 等量代换，得a2+2+2×2=9, 1.计算12a2bc÷(-4abc)的结果是( )设计出“中”字图案，若四个正方 所以a2+b2=5. A.3ab? B.3a2bc 形的周长之和为40，面积之和为 请根据以上信息，解答下列问题， C.-3ab? D.-3ab'c 26,则长方形ABCD的面积为 图3 (1)已知a-b=1,a2+2=17,求ab的值； 2.已知(2x-1)2=4x2+nx+1,那么n的值 (2)如图4，已知两个正方形的边长分别为a, 是 三、耐心解一解（共52分） b,若a+b=7,ab=9,求图中阴影部分的面积； A.-4B.4 C.-2D.2 13.(15分)计算： (3)若(2025-x)(x-2024)=-6,求(2025 3.下列各式中，能用平方差公式计算的是 (1)(-x-2y)2; x)2+(x-2024)2的值. ( A.(5a-3b)(3b+5a) B.(m-n)(n-m) C.(-x-6)(x+6) D.(x2-y)(x+y) (2)(18x3y2-12x2y3+x2y2)÷(-6x2y2); 4.如图1，正方形中阴影部分 的面积为 ( )a A.(a-b)2 B.a2-62 C.(a+b)2 (3)(a-2b+c)(a+2b-c). D.a2 +b2 附加题⊙ 5.下列运算中，正确的是 (以下试题供各地根据实际情况选用) A.(6ab+a)÷a=6 1.(8分)李明同学在计算3×(4+1)(42+ B.(a+2)(a-3)=a2-6 1)(44+1)时，把3写成4-1，发现可以连续运用 C.(a+2b)2=a2+4ab+4b2 平方差公式计算： D.(3x-y)(3x+y)=3x2-y2 14.(12分)用乘法公式计算： 3×(4+1)(42+1)(44+1) 6.如图2，将边长为a的正方形纸片，剪去一个 边长为b的小正方形纸片，再沿着图2-①中的膨 (1)59号×605 =(4-1)(4+1)(42+1)(44+1) =(42-1)(42+1)(44+1) 线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2 =(44-1)(44+1) ②所示的平行四边形，这两个图能解释的数学公 =48-1. 式是 请你借鉴李明同学的经验，计算：(1+)(1 1) +宁1+京1+京)+品 a-b (2)1032. a-b ① 图2 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)(a-b)=ad2-2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 Db=(a+b)2-(a- 15.(10分)对于任何有理数，我们规定符号 a b] 2.(12分)(1)①若x+y=6,x2+y2=28,则 7.已知被除式是x3+2x2-1,商式是x,余式是 }=d-cmg引=14-32 xy ； -1,则除式是 ( =3 ②若2a+b=6,ab=4,则(2a-b)2= A.x2+3x-1 B.x2-3x+1 C.x2-1 D.x+2x 8.已知(a2+b2+3)(a2+2-3)=7,ab= (1)按规定计算：0+3a 2a (2)如图，C是线段AB上的一点，以AC,BC为 16a -8a a2-3al :边向两边作正方形，设AB=8,两正方形的面积和 3,则(a+b)2= ( (2)当a=-2时，求(1)中代数式的值. S,+S,=44,求△AFC的面积. A.4 B.10C.16 D.20 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.计算：(4-3x)(3x+4)= 10.小明的作业本上有一道题不小心被沾上 了墨水：(24xy3-■+6x2y2)÷(-6x2y)= -4x2y2+3xy-y,通过计算，这道题的“■”处应是 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)