专题03 乘法公式的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题03 乘法公式的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴专练 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a - b)(a + b)(a² + b²)...，前两项得a² - b²，再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x - y)(x + y)形式。例如(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)...，每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1．计算：． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【变式1-3】（24-25八年级上·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如99²=(100-1)²，用(a-b)²=a²-2ab+b²快速计算，避免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得100²-2²，简化运算步骤。 例2．简便计算 (1) (2) 【变式2-1】简便运算 (1)； (2)． 【变式2-2】简便运算 (1)； (2)． 【变式2-3】运用乘法公式计算： (1)； (2)． 类型三、乘法公式中项数的变换 1. 增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x² + 6x可加9减9，变为(x + 3)² - 9，适配公式简化计算。 2. 分组合并项：多项式分组后用公式，如a² - b² + a - b，前两项用平方差得(a - b)(a + b)，再与后两项合并提公因式。 例3．计算：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【变式3-3】计算：． 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2，将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2 + 2(a+b)c + c2，再展开化简。 2.代换简化求值：已知x + y = 5，xy = 3，求x2 + y2，用(x+y)2 - 2xy整体代入，避免求单值。 例4．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【变式4-2】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【变式4-3】（23-24七年级下·四川达州·期末）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 类型五、乘法公式中几何图形的应用 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a²、b²和两个ab，验证(a+b)²=a²+2ab+b²。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a²-b²对应长方形面积(a-b)(a+b)，印证平方差公式。 例5．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【变式5-2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【变式5-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 一、填空题 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则的末位数字是 ． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 二、解答题 3．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）用简便方法计算： (1) (2) 4．（24-25七年级下·江苏·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 5．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）计算，能简便计算的请简便计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示．    (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； (3)拓展：计算． 8．（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的面积是_________（用a，b表示，并写成多项式乘法的形式）， (3)比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________ （用等式表达）． (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 9．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 10．（24-25七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： …． 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得： ；（其中n为正整数） (2)计算：； (3)①计算：； ②计算：． 11．（24-25八年级下·广东梅州·期末）若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若且满足，求的值． (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 12．（24-25七年级下·江苏·期中）利用拼图常常可以得到一些有应用价值的等式，方法是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到等式． 【初步应用】 （1）如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积的和，由此得到多项式乘多项式的运算法则 (用图中字母表示)； （2）如图2，通过计算阴影部分面积，写出一个等式： (用图中字母表示)． 【深入探究】 （3）①构造图形计算； ②计算 ．(直接写出结果) ③若，，求的值． 13．（24-25七年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算： (3)【拓展】计算： 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______． (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片______张，B号卡片______张，C号卡片______张； (3)解答问题：若，，则的值为______； (4)根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值； (5)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴专练 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a - b)(a + b)(a² + b²)...，前两项得a² - b²，再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x - y)(x + y)形式。例如(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)...，每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，首先根据平方差公式计算，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 【变式1-1】计算： ． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【变式1-2】（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1），  （2）9996    （3）22048 ；6  （4）①2049300   ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 【变式1-3】（24-25八年级上·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【答案】(1)； (2)； (3) ； 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，读懂题意，理解平方差公式的结构特点是解题的关键． （）根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； 原式变形后，根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如99²=(100-1)²，用(a-b)²=a²-2ab+b²快速计算，避免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得100²-2²，简化运算步骤。 例2．简便计算 (1) (2) 【答案】(1)8800 (2)12.1 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，运算律在有理数运算中的应用， 对于（1），先提出11，再根据平方差公式计算即可； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【变式2-1】简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） 【变式2-2】简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-3】运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、乘法公式中项数的变换 1. 增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x² + 6x可加9减9，变为(x + 3)² - 9，适配公式简化计算。 2. 分组合并项：多项式分组后用公式，如a² - b² + a - b，前两项用平方差得(a - b)(a + b)，再与后两项合并提公因式。 例3．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为，再运用平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答． 【详解】 【变式3-1】计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 【变式3-3】计算：． 【答案】． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2，将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2 + 2(a+b)c + c2，再展开化简。 2.代换简化求值：已知x + y = 5，xy = 3，求x2 + y2，用(x+y)2 - 2xy整体代入，避免求单值。 例4．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 根据完全平分公式的变形即可求解 【详解】（1）解：， ； （2） ． 【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 【变式4-2】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 【变式4-3】（23-24七年级下·四川达州·期末）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)40 (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【详解】（1）证明： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 类型五、乘法公式中几何图形的应用 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a²、b²和两个ab，验证(a+b)²=a²+2ab+b²。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a²-b²对应长方形面积(a-b)(a+b)，印证平方差公式。 例5．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)8092 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式 【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据正方形和长方形的面积可直接进行求解； （2）根据图形可得结论； （3）根据（2）中的结论可得，进而利用结论进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，； （2）解：根据图形，图2的大长方形是边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将阴影部分剪拼成的， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴ ． 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 【变式5-2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键； （1）根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可； （2）利用平方差公式整理成即可求解； （3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：解：①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， 答：阴影部分的面积为． 【变式5-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 一、填空题 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则的末位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是四个一循环是解答本题的关键． 将乘以，然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出的个位数，再代入式子计算即可． 【详解】解： ； ，，，，，，，； 尾数是四个一循环， ， 的末位数字是6， 即的末位数字是6，则的末位数字是1． 故答案为：1． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)9801 (2)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式             ； （2）解：原式    ． 4．（24-25七年级下·江苏·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)1 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握乘法公式，是解题的关键： （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行简算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 5．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）计算，能简便计算的请简便计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式计算，多项式乘以多项式的运算，同底数幂的乘法、积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）将原式变形为，再由平方差公式和完全平方公式计算； （3）将原式变形为，再由平方差公式计算； （4）先将原式变形为，再由积的乘方逆运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2矩形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）原式变形为，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 图1中阴影部分的面积为，图1中阴影部分的面积为， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示．    (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； (3)拓展：计算． 【答案】(1) (2)①15；②1 (3)36 【分析】题目主要考查利用平方差公式进行求解计算，熟练掌握是解题关键． （1）根据题中图形求解即可； （2）①将原式因式分解，然后代入求解即可；②利用平方差公式求解即可； （3）根据题意，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）①因为，， 所以；     ② ； （3） ． 8．（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的面积是_________（用a，b表示，并写成多项式乘法的形式）， (3)比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________ （用等式表达）． (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3) (4)①；② 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，代数式表示式，整式的混合运算，利用数形结合求解是解题关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）利用等面积法建立等式就可得出公式； （4）①把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算， ②把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）解：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是； 故答案为：； （3）解：； 故答案为：； （4）解：① ； ② ． 9．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)34 【分析】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵， ∴， ． 10．（24-25七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： …． 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得： ；（其中n为正整数） (2)计算：； (3)①计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题． （1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为5即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①由可得： ； ②由可得： . 11．（24-25八年级下·广东梅州·期末）若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若且满足，求的值． (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形求值，根据题意列出正确的算式并进行计算是关键， （1）设，则，，根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据题意得出，设，则，再根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ； （2）解：由题意得：正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形的面积是48， ， 设， 则， ， ， 阴影部分的面积为． 12．（24-25七年级下·江苏·期中）利用拼图常常可以得到一些有应用价值的等式，方法是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到等式． 【初步应用】 （1）如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积的和，由此得到多项式乘多项式的运算法则 (用图中字母表示)； （2）如图2，通过计算阴影部分面积，写出一个等式： (用图中字母表示)． 【深入探究】 （3）①构造图形计算； ②计算 ．(直接写出结果) ③若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③ 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合的思想是解本题的关键． （1）用两种方法表示出大长方形的面积求解即可； （2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积即可得出等式； （3）①构造边长为的正方形，将其划分为面积分别为三个小正方形，以及六个长方形，求面积总和即可； ②根据①得出的等式直接计算即可； ③现将两边同时平方得到，两边再同时平方即可得到，再将两边同时平方即可求解． 【详解】解：（1）大长方形的宽为：，长为：， 四个小长方形面积和为：， ， 故答案为：； （2）大正方形边长为：，面积， 小正方形的边长为，面积为， 阴影部分的面积为， 故答案为：； （3）①如图所示，， ， 构造边长为的正方形，将其划分为面积分别为的三个小正方形，以及六个长方形，面积总和为： ； 故答案为：． ② ， 故答案为：； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 13．（24-25七年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算： (3)【拓展】计算： 【答案】(1)①③ (2)16 (3) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用平方差公式进行简算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，进行判断即可； （2）利用平方差公式进行简算即可； （3）先求出的值，再用原式除以，进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分的面积，右图阴影部分的面积可以表示为，故图②不能验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 故答案为：①③ （2）解： ； （3）解：∵ ∴原式 ． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______． (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片______张，B号卡片______张，C号卡片______张； (3)解答问题：若，，则的值为______； (4)根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值； (5)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)2,3，7 (3) (4) (5) 【分析】（1）利用图形根据局部面积之和等于总体即可求解； （2）计算两个多项式相乘根据结果即可判断各卡片的数量； （3）利用（1）中的结论进行变换即可求解； （4）令，，利用（1）中的结论进行变换即可求解； （5）根据图形得出，即，再利用平方差公式对进行变形得到 ，即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，大正方形又可以看成是两个小正方形面积加上两个长方形的面积，即可得出， 故答案为： （2）解：∵， ∴需要2个A号正方形纸片，3个B号正方形纸片，7个C号正方形纸片； （3）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （4）解：令，， ∴，， ∴； ∴； （5）解：由图形可知，即， ∴阴影面积为， ∵， ∴， ∴， ∴阴影面积为． 【点睛】本题考查了整式的乘法，平方差公式、完全平方公式的应用，解题关键是数形结合的应用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$