第9期 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 综合测评-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

八年级数学沪科(AH)第6~9期 °拨理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH)第6~9期 第6期综合测评卷 (3)关于x的不等式-3x≥kx+b的解集是x≤-1. 题号12345678910 20.(1)由题意可得3000，：1000=80（米/分）.故填 25 答案BDDDDACAB C 80. 二1.=2,12.4：13.<；14号 9 (2)由图象可得函数过(5,300)，(15,3000)这两点，设 ly=3: ≤≤5 CD段一次函数的表达式为y=kx+b(5≤x≤15)，把(5， 15.(-4,0). 300),(15,3000)代入，可得 5k+b=300,解得 三、16.(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,将点A(-2, 115k+b=3000, k= 4 0),B1,4A)代人，得2+6=0，解得 3 k=270,所以CD段一次函数的表达式为y=270x- 所以直线 lb=-1050. k+b=4. 8 b= 1050(5≤x≤15). 3 (3)由图可得，当小亮回到家时，小明回家还需要25-15 4 8 AB的表达式为y=3x+3 =10(分钟)，由(1)可得小明的速度为每分钟80米，所以小明 (2)记直线AB与y轴的交点C,因为将直线AB向下平移 与家的距离为：80×10=800（米）. 4个单位长度后得到直线l,直线l与y轴交于点M,所以CM= 21.(1)①3，-1,2. 4.所以三角形ABM的面积=S角6v+S=之CM小 ②/=1， ly=2. -1=7×4×(1+2)=6 ③由①得，一次函数y=x+b的表达式为y=3x-1. 17.(1)对于y=x+1,当y=0时，有x+1=0,解得x= 因为一次函数y=3x-1的图象与x轴交于点C,所以C(分 -1.所以A(-1,0).对于y=-2x+4,当y=0时，有-2x+ 1 4=0新得=2所以以20条方程里：4，得 0)所以=Sm-S既=之x2x1-乞× 号x1=名 6 x=1·所以P(1,2), y=2.1 (2)将B(0,-1)代入y=kx+b,得b=-1.所以直线BD (2)对于y=x+1,当x=0时，y=1,则Q(0,1).所以 的函数表达式为y=x-1.联立=红-1解得 Ay=x+1. Sga6m=5”-S有5网=分X3x2-分×1×1 -2 x=1-k 2 k+1 所以点D的坐标为（是 y=- 1-F 18.(1)根据题意，得y1=0.25x+800,2=0.6x. (2)当y=1500时，0.25x+800=1500,解得x=2800, 因为点D始终在第三象限，所以是<0且-十<0 即选择公路运输时，运送葡萄2800千克；0.6x=1500,解得x 解得-1<k<1且k≠0. =2500,即选择铁路运输时，运送葡萄2500千克.所以选择公 第7期2版 路运输运送的葡萄多. 13.1三角形中的边角关系 19.(1)将P(m,3)代入y=-3x,得-3m=3.解得m= 13.1.1三角形中边的关系 -1.所以P(-1,3).把B(1,1),P(-1,3)代入y=kx+b,得 基础训练1.C;2.C;3.8,4,BE,∠BEC;4.3; 「+6：1，解得，1所以一次函数的表达式是y 5.6. L-k+b=3. b=2. 6.在△ABP中，根据三角形的三边关系，得PA+PB>AB. -x+2. 同理，PB+PC>BC,PA+PC>AC (2)点D的坐标是(0,2) 以上三式相加，得2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC 八年级数学沪科(AH)第6~9期 所以PA+PB+PC>(4B+BC+AC). 所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=25°. 因为AD平分∠BAC, 7.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB-BC< 所以∠BAC=2∠BAD=50, AC<AB+BC,即5<AC<9. 所以∠B+∠BAC=90° (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇数，所以 所以△ABC是直角三角形， AC的长为奇数. 16.(1)因为1a-b1+(b-c)2=0, 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC的周长 所以a-b=0,b-c=0. 为：9+7=16，△ABC是等腰三角形 所以a=b,b=c. 13.1.2三角形中角的关系 所以a=b=c. 基础训练1.D;2.D;3.B;4.90°；5.20°； 6.50°或130°. 所以△ABC是等边三角形 (2)因为a=5,b=2, 7.因为FD∥EC,∠D=42°，所以∠ECB=42 所以5-2<c<5+2,即3<c<7. 因为∠ACE=∠ECB,所以∠ACB=2∠ECB=84°. 又因为∠A=46°，所以∠B=180°-∠A-∠ACB=50° 因为三角形的周长为奇数， 13.1.3三角形中几条重要线段 所以c是偶数 基础训练1.B;2.B;3.4.8;4.4;59. 所以c=4或6. 6.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, (3)由三角形的三边关系，得a-b<c,b-c<a,a+b> ∠DCB=∠2=40°. 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠DCB= 所以原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b 80° C. 所以∠1=80. 17.(1)120°，155°. (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD. (2)猜想：∠BPC=0+7∠A理由如下： 因为FH⊥AB,所以∠FHB=90° 所以∠CDB=90°. 因为△ABC的两条角平分线BD,CE交于点P, 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高 所以∠PBC=LABC,∠PCB=方LACR 能力提高7.B. 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠PBC+ 第7期3版 ∠PCB=180°， 题号12345678 答案BC CDABDA 所以LBPC+(∠ABC+LACB)=∠BPC+(I0 -∠A)=180° 二、9.-3<a<0;10.115°；11.26；12.72 三、13.因为CA平分∠BCD,∠BCD=50°， 所以∠BPC=0°+LA 所以∠BCA=25°. (3)由(2)，得∠P=90+2∠A,2P=90°+∠P 1 因为∠A=25°， 所以∠ABC=180°-∠A-∠BCA=130°. 因为∠ABD=70°， 所以∠P,=0°+7∠P=90°+2(90°+7∠A)= 所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=130°-70°=60°. 135+4 因为∠BCD=50°， 所以∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-60°-50°= 附加题(1)是. 70° (2)由△ADC是“倍余三角形”，∠ADC是钝角，分情况讨 14.图略. 论： 15.(1)因为∠ADC=60°， ①当2∠DAC+∠C=90°时，2∠DAC+36°=90°，解得 所以∠ADB=180°-∠ADC=120°. ∠DAC=27°， 所以∠B+∠BAD=180°-∠ADB=60°. 所以∠ADC=180°-∠C-∠DAC=117°. 又因为∠B=2∠BAD, 所以∠ADB=180°-∠ADC=63°. 所以3∠BAD=60°. ②当2∠C+∠DAC=90°时，即2×36°+∠DAC=90°， 解得∠BAD=20° 解得∠DAC=18°， (2)因为∠ADC=65°， 所以∠ADC=180°-∠C-∠DAC=126°. 所以∠ADB=180°-∠ADC=115°. 所以∠ADB=180°-∠ADC=54°. 因为∠B=40°， 综上所述，∠ADB的度数是63°或54°. 2 八年级数学沪科(AH)第6~9期 第8期2版 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=30 13.2命题与证明 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=方∠BAC=15 13.2.1命题 基础训练1.C;2.B; 所以∠AEC=∠B+∠BAE=55° 综上所述，∠AEC的度数为75°或55°. 3.三个角是三角形的内角，它们的和等于180°： 4.两个角互为对顶角，这两个角相等； 第8期3版 5.答案不惟一，如14. 题号12345678 6.(1)逆命题为：若ab>0,则点(a,b)位于第一象限.是 答案C BBABC CA 假命题 二、9.两个角是同位角，这两个角相等；10.110°； (2)逆命题为：三个角都是60°的三角形是等边三角形. 是真命题 1如架？=么那么a=6,真：1210e 7.∠1，∠2（或∠2，∠1）；∠C;两直线平行，内错角相等； 三、13.(1)如果两个角的和等于平角，那么这两个角互为 ∠C;同位角相等，两直线平行. 补角.是真命题 能力提高8.因为AB,CD相交于点O(已知)，所以 (2)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.是假命题. ∠AOC=∠D0B(对顶角相等).因为OE,OF分别是∠AOC, (3)如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形的面 ∠D0B的平分线（已知），所以∠1=子∠A0C,∠3= 积也相等.是假命题 14.(1)因为∠ACD=120°，AB∥CD,所以∠CAB=60°. 7∠D0B(角平分线的定义).所以∠1=∠3（等量代换）.因 因为∠ABE=40°， 所以∠BEC=∠CAB+∠ABE=1O0°. 为∠A0D+∠2+∠3=180°（平角的定义），所以∠AOD+∠2 (2)因为AB∥CD,所以∠ACD+∠CAB=180° +∠1=180°（等量代换）.所以OE与OF在同一条直线上. 因为∠ACD=∠BEC,所以∠BEC+∠CAB=180° 13.2.2三角形内角和定理的证明及推论 因为∠BEC+∠AEB=18O°，所以∠CAB=∠AEB. 基础训练1.D;2.C:3.33°；4.15. 因为∠EBW=∠CAB+∠AEB,所以∠EBN=2∠BAC. 5.两直线平行，同位角相等；180°；对顶角相等；∠GAE, 15.平角的定义，已知；同角的补角相等；内错角相等，两直 ∠FAG,∠DAF;等量代换. 线平行：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；对 6.因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=∠BDC=90°. 顶角相等；等量代换。 因为∠DEC=70°，所以∠DCE=90°-∠DEC=20°.因为CE 16.(1)因为∠B=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°- 平分∠ACB,所以∠ACB=2∠DCE=40°.因为∠A=70°，所 ∠B-∠C=80°. 以∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-40°=70°. 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠DAC= 能力提高7.20°或60° 13.2.3三角形的外角及推论 2∠BAC=40 基础训练1.A;2.25° 所以∠EDF=∠BAD+∠B=80. 3.因为CE平分∠ACD,∠DCE=40°，所以∠ACD= 因为EF⊥BC,所以∠E=90°-∠EDF=10°. 2∠DCE=80°. (2)因为∠BAC=180°-∠B-∠C,AD是△ABC的角平 又因为∠B=50°，所以∠BAC=∠ACD-∠B=30°. 分线，所以∠BAD=(180°-∠B-∠C), 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠CAD=20°. 能力提高4.因为AD为△ABC的高，所以∠ADB=90°. 所以∠EDF=∠BAD+LB=90°-∠C+号∠B 又因为∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50° ①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示 因为EF⊥BC,所以∠E=90°-∠EDF=(LC-∠B) 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70° 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=2∠BAC=350 =2m9, 17.(1)90,40. 所以∠AEC=∠B+∠BAE=75°. (2)由(1)知∠PBC+∠PCB=90°.所以∠ABP+∠ACP =180°-∠A-∠PBC-∠PCB=90°-∠A. (3)(2)中的结论不成立.结论：∠ACP-∠ABP=90°- ∠A.理由如下： 设AB与PC交于点D,图略. E D 因为∠PDB=∠ADC,所以∠P+∠ABP=∠A+∠ACP 图1 图2 因为∠P=90°，所以∠ACP-∠ABP=∠P-∠A=90° ②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示. ∠A. 一3 八年级数学沪科(AH)第6~9期 附加题(1)①55.②65 (2)因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAC=2∠BAD ③∠BGE=90°-分∠A理由如下： =70°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70° 19.(1)因为(a-3)2+lb-21=0, 因为BD平分LABC,所以∠DBC=∠ABC 所以a-3=0,b-2=0. 解得a=3,b=2. 因为EF∥BC, 因为c为方程1c-4|=2的解，所以c-4=±2. 所以∠F=∠DBC=∠ABC,∠CEF=∠C 解得c=6或2. 因为EG平分∠CEF, 因为a,b,c为△ABC的三边长，a+b<6,所以c=2. 所以∠FEG=LCEF=分LC 所以△ABC是等腰三角形. (2)因为∠A-∠B=36°，所以∠A=∠B+36°. 所以∠BGE=∠FEG+∠F=3∠C+分∠ABC= 因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠B+36°+∠B+∠C =2∠B+∠C+36°=180°. 72c+∠AB0)=21s0-∠)=90°-7<A 所以2∠B+∠C=144①. 因为∠B-∠C=36②，所以①+②得3∠B=180°.解 (2)设EG交BC于点H,图略. 得∠B=60. 因为BD平分∠ABC,所以∠GBH=号∠ABC=号(180 因为∠A=∠B+36°，所以∠A=60°+36°=96°.所以 -∠A-∠C)=90-3∠A-∠C △ABC是钝角三角形. 20.因为AE平分∠CAD,所以∠CAF=∠DAF.由折叠得， 因为EF∥BC,所以∠CEF=180°-∠C,∠FEH= ∠BAD=∠DAF.所以∠CAF=∠DAF=∠BAD. ∠GHC. (1)因为∠B=40°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-∠B 因为EH平分∠CEP,所以∠FEH=之∠CEF=之(I80 -∠C=106所以∠CP=号∠BMC=35 -LC)=0°-2∠C=∠GHc. 由折叠得，∠E=∠B=40°. 因为∠EFC=∠C+∠CAF=∠EDF+∠E,所以∠EDF 所以∠BGE=∠GC-∠66H=90°-号∠c-(90- =30. (2)因为∠EDF=20°，所以∠ADB+∠ADE=200°. 2A-0=A 由折叠得，∠ADB=∠ADE. 第9期综合测评卷 所以∠ADB=100°.所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B= 80°-∠B. 题号12345678910 所以∠BAC=3∠BAD=240°-3∠B. 答案ACBCACBBAD 因为∠B比∠C大10°， 二、11.同旁内角互补，两直线平行；12.6：13.20： 所以∠C=∠B-10° 14.74；15.110,(80+22m×60) 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即240°-3∠B +∠B+∠B-10°=230°-∠B=180°.解得∠B=50°. 三、16.(1)是真命题. 21.(1)115,25. (2)是假命题，反例如下：如图3，两 (2)∠DPC,∠Q的度数不会发生变化.理由如下： 条不平行的直线被第三条直线所截，很 因为∠A=50°，所以∠ACB+∠B=180°-∠A=130°. 显然同位角不相等。 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB.因为DP 17.(1)由三角形的三边关系，得 图3 r3c-4>c, 平分∠ADE,CP平分∠ACB,所以∠PDG=号∠ADE= l2c-6<c. 1 1 ∠B,∠ACP=∠PCB=2∠ACB.所以∠DPC=I80°- 解得2<c<6. (2)因为c为偶数，所以c=4. ∠PDG-∠PGD=180°-（∠ACB+∠B)=1I5e 所以a+b=8. 所以△ABC的周长为：a+b+c=12. 因为CQ平分LACF,所以LACQ=∠ACR.所以 18.(1)因为∠BED=55°，∠BAD=35°，所以∠ABE= ∠BED-∠BAD=20° ∠PCQ=∠ACP+∠ACQ=2(∠ACB+∠ACF)=90°.所以 因为BE为△ABD的角平分线，所以∠ABC=2∠ABE= ∠Q=∠DPC-∠PCQ=25°. 40°. 所以当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数不会发 因为AF是△ABC的高，所以∠AFB=90°.所以∠BAF= 生变化 90°-∠ABF=50°. (3)45°或60°或120°或135°. -4《三角形中的边角关系、命题与证明》 综合测评卷 班级： 姓名： 学号： 满分：120分 HET智Vt 题号 二 三 总分 郑 得分 精心选一选 题号 l 6 9 10 得分 答案 11 二、细心填一填 13 14 得分 15 福 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列语句中，不是命题的是 A.延长线段AD B.三角形两边之和大于第三边 C.-2的绝对值是-2 D.如果x2=1,那么x=1 2.已知在△ABC中，∠A=45°，∠B=55°，则∠C的度数为 A.90° B.1009 C.80° D.70° 3.如图1，在△ABC中，关于高的说法正确的是 一家画 A.线段AD是AB边上的高 B.线段BE是AC边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC边上的高 名 0 图1 图2 图3 4.△ABC的一个外角的度数为55°，则△ABC的形状是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 5.如图2，B,C两点在数轴上，点C对应的数是-1，若AC的长为3个单位长度，AB的长为 7个单位长度，则点B对应的数可能是 A.4 B.3 C.2 D.1 6.光线在镜面上反射时，经过人射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等 于入射光线与法线的夹角.如图3，两束光线L,2分别从不同方向射向镜面m,入射点为A,B,它 们的反射光线相交于点C,n1,n2是法线.若∠1=30°，∠2=50°，则∠ACB的度数是() A.30° B.50° C.80° D.90° 7.下列命题中，是真命题的有 ①平行于同一直线的两条直线垂直；②在同一平面内，经过直线上一点，有无数条直线与 这条直线垂直；③±4是64的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对 应 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.如图4，已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠B= 30°)，并且J顶点A,C分别落在直线m,n上，若∠2=3∠1，则∠3的度数是 ( A.50° B.45° C.40° D.30° m 3◇ C H 图4 图5 图6 9.如图5，在△ABC中，BE是角平分线，点F在CA的延长线上，FH1BE交AB于点M,交 BE于点N,交BC于点H.若∠BMF=120°，∠F=20°，则∠C的度数为 A.40° B.50 C.60 D.70° 10.如图6，D,E分别是△ABC边AB,BC上的点，AD=3BD,BE=CE,设△ADF的面积为 S,△CEF的面积为S2,若S△c=16,则S,-S2= ( ) A.3 B.2 C.1.5 D.4 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为如果 那么 12.如图7，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D,若BD=3,则BC的长是 D 图7 图8 图9 13.一个等腰三角形的两边长分别为4,8，则它的周长为 14.如图8，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE 于点F,则∠CDF= 15.如图9，已知△ABC中，∠A=80°，0为△ABC内一点，且∠B0C=140°，其中0B平 分∠AB0,0C平分∠AC0,02B平分∠AB01,02C平分∠AC01,…,0B平分∠AB0n-1,0nC平 分∠AC0n-1,…,以此类推，则∠B0,C=一°，∠B022sC=一°. 三、耐心解一解（本大题共6小题，共60分） 16.(6分)判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明. (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等， 17.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a+b=3c-4,a-b=2c-6. (1)求c的取值范围； (2)若c为偶数，求△ABC的周长 18.(10分)如图10，在△ABC中，AD,AF分别为△ABC的角平分线和高，BE为△ABD的 角平分线.若∠BED=55°，∠BAD=35. (1)求∠BAF的度数； (2)求∠C的度数 E D 图10 19.(10分)已知△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)若b,c满足(a-3)2+|b-21=0,且c为方程Ic-41=2的解，试判断△ABC的形 状； (2)若∠A,∠B,∠C满足∠A-∠B=36°，∠B-∠C=36°，求证：△ABC是钝角三角形 20.(12分)如图11，在△ABC中，点D为BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED,AE 与BC相交于点F,且AE平分∠CAD. (1)若∠B=40°，∠C=35°，求∠CAF和∠EDF的度数； (2)若∠EDF=20°，∠B比∠C大10°，求∠B的度数. B-- 图11 21.(14分)如图12，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC于点E,DP平 分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,△ABC的外角平分线CQ与DP的 延长线相交于点Q. (1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC= °，∠Q= (2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数是否发生变化？请说明理 由 (3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则所有符合条件的∠A的度数为 脚 G 图12 些 擗 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)