第9期 3.2整式的加减 3.3探索与表达规律 问题解决策略 归纳（答案见第11期）-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（北师大版2024）

4 素养·拓展H 数理极 《思维天地> 合并同类项、去括 号法则是在学习了有理 点击 “整式的加减”中的 数运算的基础上，进一 步学习的，是由数与数 数学思想 之间的运算变为数与字 母之间的运算，容易出 西 现错误，现举例加以分 整式的加 ◎江苏李新睿 析，希望同学们给予关 数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题影表示，则图2所示的两块阴影部分的周长和是 注 刘晋鹏 的金钥匙，同学们在解题中若能灵活运用，则会 cm. 感到轻松自如、得心应手.整式的加减中就蕴含 分析：先设小长方形卡片的长为acm,宽为掉了字母 一、只注意系数，丢 着丰富的数学思想，现举例解析如下，供同学们bcm,然后结合图形分别表示出阴影部分两个 吴 例1计算：9a 参考 长方形的长和宽，进而得出答案 6a2. 一、整体思想 解：设小长方形卡片的长为acm,宽为 错解：原式=3. 例1已知x+2y=1,那么代数式(3x+y)bcm.所以两块阴影部分的周长和是：2a+2(6 剖析：错解不是按 -(2x-y-5)的值是 -3b)+2×3b+2(6-a)=2a+12-6b+6b 合并同类项的法则进行 分析：先将求值式变形为含x+2y的整式，+12-2a=24(cm). 合并的，而是将系数与 再整体代入求值即可， 故填24. 系数相减，字母与字母相减了，即9-6=3，α2 解：(3x+y)-(2x-y-5)=3x+y-2x 三、转化思想 2=0,也可理解为忽视了字母和字母的指数而 +y+5=x+2y+5.因为x+2y=1,所以原式 例3如果x-y=12,y-2=5,那么2x- 致错 =1+5=6. 2z= 正解： 故填6. 分析：题中x,y,的值均未知，考虑将问题 (正解过程请同学们自行完成) 二、数形结合思想 向已知转化.由于(x-y)+(y-z)=x-2,将 二、受系数影响，错加了指数 例2把六张形状 x-y和y-z的值代入即可得解 例2计算：-4x2-2x2. 大小完全相同的小长方形 解：因为(x-y)+(y-z)=x-y+y-2 卡片（如图1）不重叠的放 错解：原式=[(-4)+(-2)]x22 =x-8,x-y=12,y-z=5 =-6x4 在一个底面长为7cm,宽 所以x-z=12+5=17. 剖析：合并同类项时，只把同类项的系数相 为6cm的长方体盒子底 图1 所以2x-2z=2(x-z)=34. 加，字母和字母的指数都不变，而错解中不仅把 面（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴 故填34. 系数相加，而且把字母的指数也相加了. 十m十十”十十十十十”十十十十十 第8期2版参考答案 3.1.4多项式 正解： 3.1代数式 基础训练1.B;2.C; 三、交换项位置，忽视项符号 3.1.1代数式 3.-2,3,5;4.6:5.4. 例3计算：-3x2+8x-5x2-6x 基础训练1.A;2.B;3.4; 6.(1)(am+bn),它的项分别为am,bn,次数是2： 错解：原式=-3x2+5x2-8x-6x 4.答案不惟一，如每支钢笔3元，买n支钢笔所需的 (2)2a-b3,它的项分别为2a,-b3,次数是3. =2x2-14x. 钱数 7.因为关于x,y的多顶式-x2y3-10xm2y-y+9x 5.(1)x+y2;(2)2(a-b)-5: -3是八次五项式，所以m+2+1=8.所以m=5.因为 剖析：错解忽视了第二项和第三项的符号， n是五次顶的系数，所以n=-1. 实际上，各项在交换位置时，一定要注意连同该 (3)结果提前(：-60)天完成任务. 8.(1)ab; 项前面的符号一起交换， 3.1.2求代数式的值 (2)阴影都分的面积S=(a山-名)平方米 正解： 基础训练1.D;2.答案不惟一，如-1a1-1. 四、括号前有数，分配出错误 3.(1)当a=-3,b=-2时，2a2b+3ab-4=2× (3)当a=3,b=2=05时，s=(6-)平方米 例4计算：3x2-4(5x2-2y+1). (-3)2×(-2)+3×(-3)×(-2)-4=-22. (2)当a=-号，6=2时，2w6+3ab-4=2× 第8期3版参考答案 错解：原式=3x2-20x2+2y-1 一、 题号12345678 =-17x2+2y-1. (-22×分+3×(-子)×分-4=-4 答案BBB C D CD B 剖析：本题括号前面是-4，去括号时，括号 4.(1)阴影部分的面积为x2-y2. 二、9.-4,11；10.答案不惟一，如6-2y+3xy;内的各项都要乘以4，且括号内的各项都要变 (2)当x=4,y=3时，阴影部分的面积是：42-3 11.20；12.+3x+6,2;13.1;14.2或-3.号.错解只把括号内的第一项乘以4，而后两项 =7 三50- 忘记乘了. 3.1.3单项式 (2)这个新两位数是10b+a: 正解： 基础训练1.B;2.D;3.D: (3)丙配送车这天投送快递[号(m+6)+2】件 五、忽视了分数线的作用 4.答案不惟一，如3x2y;5.2; 6.(1)0.8a,0.8,1,(2)a2b2c3,1,7. 16.因为1a+21+(b-3)2=0, 例5计算：2-分+3a-00-7 2 7.(1)2mn的系数是2，次数是8 所以a+2=0,b-3=0. (2)-x的系数是-1，次数是1： 所以a=-2,b=3. 错解：原式=2以2-分+3a-2m+- 、7 (3)-冬如的系数是-冬，次数是6： 所以-x*y-=-x23y2(-2》=-y 所以单项式-x“y-“的次数是6 (4)-2心的系数是-，次数是3， 17.单项式-4ab3的系数为-4，次数为7. 4+ 因为关于x,y的多项式x2+2xy+ny的次数 剖析：错解忽视了分数线的括号作用而致 能力提高8.(1)13x2y,-15x2y: (2)第n个单项式为(-1)(2n-1)xy,它的系3=7. 与关于a的地项威4的欢数相服所以m*1+错，即+02=方(4+3a-7) 2 数为(-1)"1(2n-1),次数为2+n. (下转1,4版中缝) 正解： 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 教理橘 2025年8月26日·星期= 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 9期总第1153期 北师大 0351-5271248 七年级 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-43 所以m=3. 因为单项式的系数 入门向导 与多项式中次数为4的 本周生神 项的系数相同， 3.2整式的加减 所以n=-4. 学习目标：1.能识别同类项 里解概念 轻松解题 所以(-m)3+2n 2.了解合并同类项法则和去括号法则，并 =(-3)3+2×(-4) 会运用其进行整式的加减运算. =-35. 认知重点：能熟练进行整式的加减运算. ◎江西 卫经纶 18.(1)0.5,85 3.3探索与表达规律 同类项与合并同类项是整式中非常重要的 母a,b的指数分别相同，即m+3=2,n=4.所 (2)因为x本书的 认知重点：能用代数式表示运算中蕴含的 高度为0.5xcm,课桌的 般规律或现象，形成用符号表示 两个概念，也是整式加减的基础.同类项是指所以m=-1.所以mn=-1×4=-4.故选B. 高度为85cm,所以整齐 数或数量关系并有获得一般性结论 含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项： 三、合并同类项 叠放在课桌上与(1)相 的意识 合并同类项是指把多项式中的同类项合并成 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母 同的x本数学课本高出 项其方法是：把同类项的系数相加，字母和字 和字母的指数不变.其一般步骤是：①找出同类 地面的距离为(85 母的指数不变 项，可以划线标注；②把同类项交换并结合在 0.5x)cm. 传题辅导 同类项的概念可概括为“两相同”，合并同类 起；③算出同类项系数的和 (3)由题意，得x= 例3 54-16=38. 律来袭 项的概念可概括为“两不变”，这里的“两相同” 合并同类项3a2b+2ab2+5-3a2b 所以85+0.5x= 是指所含字母相同，相同字母的指数也相同；“两5ab2-2 85+0.5×38=104. 不变”是指字母不变，字母的指数也不变， 解：3a2b+2ab+5-3a2b-5ab=2(标注同 答：余下的数学课 快速解题 一、同类项的判断 类项) 本高出地面的距离是 例1下列单项式中，ab3的同类项是 =(3a2b-3a2b)+(2ab2-5ab2)+(5 104cm. ©山西郁国伟 )2)(把同类项结合在一起) 附加题1.(1)因 设计新颖、情景有趣的规律探索问题能够 A.3ab B.2a263 C.-a262 D.a'b =(3-3)a2b+(2-5)ab+(5-2)(系数 为关于x的整式是单项 全面考查同学们探索研究、归纳猜想的能力，大 解：3ab3与ab所含字母相同，并且相同字相加) 所以1k1-3=0, 大提高了同学们学习数学的兴趣.下面撷取两 母的指数也相同，故选项A正确；2a2b3,-a2, =-3ab2+3. 且k-3=0. 例分类解析如下，供同学们参考， a3b与ab3所含字母都相同，但相同字母的指数 解后反思：具体合并同类项时，还需注意 所以k=3. 一、数字类 X 各不相同，故选项B,C,D错误.故选A ①只有同类项才可以合并，不是同类项的项不 (2)因为关于x的 能合并；②只合并系数，字母及字母的指数都不 整式是二次多项式， 例1下列各正方形中的四个数之间都有 二、利用同类项的“两相同”解题 例2如果3a+3b4与a2b”是同类项，则mn 变；③不是同类项的项不能丢掉，如3x-y+2ab 所以1k1-3=0, 相同的规律，根据此规律，x的值为 的值为 -2x+3y中的2ab不能丢掉；④如果某些同类 且k-3≠0. A.4 B.-4 C.8 D.12 所以k=-3. 项合并后的系数为0，则该项为0；⑤合并的最 (3)因为关于x的 解：根据同类项概念中的“两相同”可得字 终结果中不能再有同类项 整式是二项式， 网1 所以1k1-3=0,k A.12 B.16 名师点睛 -3≠0，k≠0或k1 C.64 D.76 3≠0，k-3≠0，k=0 解：观察题中所给表格可知，左下角的数字 唱口诀 所以k=-3或k =2左上角的数字，即2=2,4=22,8=23，…，所以 去括号 2.(1)因为fa,b) a=26=64.右下角的数字=右上角的数字+ =a2-2ab+b2. ©河南周铭晨 所以f(b,a)=b2 左下角的数字，即4=2+2,8=4+4,14=6 在整式加减的运算中，常常需要去括号，同 2.如果括号前是“-”，把括号和它前面的 2ba a'. +8,…,所以x=12+a=76.故选D. 学们需要学好去括号的法则与技巧，从而为整 “-”都去掉后，括号里的各项都要改变符号.例 所以f(a,b) 二、图形类 式的加减打下坚实的基础.下面介绍去括号的 如：去掉a-(b-c)中的括号，因为括号前是 f(b,a). 例2图2中的图案是晋商大院窗格的 几个口诀 “-”,所以把括号和它前面的“-”去掉后，括号 所以f(a,b)=a 口决一：去括号，很重要，整式加减常用到； -2ab+2是“对称多项 部分，“O”代表窗纸上所贴的剪纸，其中第1 里的b和-c两项都要变号，即a-(b-c)=a 正括号，负括号，仔细辨认分清了 个图中有5个“O”,第2个图中有8个“O”,第 -b+c. 括号分为正括号“+( )”和负括号 (2)答案不惟 3个图中有11个“O”,…,按此规律，则第10个 )”两种.所谓正括号就是括号前带 如a+b. 例2计算：-8+6x-5(-+ (3)f(a,b)+f2(a 图中所贴剪纸“O”的个数为 “+”的括号，负括号就是括号前带“-”的括号 解：原式=-8x2+6x-5x2+4x-1 b)不一定是“对称多项 口诀二：正括号，白去掉，括号里面全照抄， =-13x2+10x-1. 式”.说明如下： 首项如果没符号，自觉补上个加号；负括号，要 口诀三：多括号，讲技巧，去大留小是绝招. 当f(a,b)=a 第1 第2个 第3个 变号，变号一定要公道 若整式中含有多重括号，化简时需将所有 b,f5(a,b)=-a-b时 图2 1.如果括号前是“+”，把括号和它前面的 f(a,b)和f5(a,b)都是 解：第1个图中所贴剪纸“O”的个数为：5 “+”都去掉后，括号里的各项都不改变符号.例 的括号都去掉，而去掉这些括号需要讲究技巧， “对称多项式”，而 =1×3+2:第2个图中所贴剪纸“O”的个数 如：去掉a+(b+c)中的括号，因为括号前是 除了可以从里到外，从小到大一个一个地去括 f(a,b)+f5(a,b)=0 “+”,所以把括号和它前面的“+”去掉后，括号 号外，还可以根据括号内外系数的特征，像剥笋 是单顶式，不是多项式 为：8=2×3+2；第3个图中所贴剪纸“O”的 里的b和c两项都不变号，同时在b前面加上一 一样从外向里去括号 (全文完) 个数为：11=3×3+2；…所以第n个图中所 个“+”，即a+(b+c)=a+b+c,注意不要写 例3计算：3b-2c-[-4a-(c-3b)]+c 贴剪纸“O”的个数为3n+2.当n=10时，3n+ 成ab+c. 解：原式=3b-2c-(-4a-c+3b)+c 2=32,即第10个图中所贴剪纸“O”的个数为 例1计算：4a2+(6a-4a2-4). =3b-2c+4a+c-3b+c 32.故填32. 解：原式=4a2+6a-4a2-4=6a-4 =4a. 2 素养专练 A 数理极 3.2.2去括号 5.先化简，再求值： 跟踪训练 (1)(-4x2+5+4x)-(4x-4+5x2),其中 垦础训练 GENZONGXUNLIAN x=- 3 3.2整式的加减 1化简-2(-1)的结果是 A.-x-1 3.2.1合并同类项 B.-x+1 C.-x-2 D.-x+2 屋础训练 2.下列式子去括号后得-a-b+c的是 1.计算-3a+a的结果是 () A.-4a B.-2a A.-a-(b-c) B.(b+c)-a C.2a D.4a C.-a-(b+c) D.-(a-b)-c 3.要使多项式mx2-2(x2+3x-1)化简后不 (2)-2a-子s+2)+(2a6- 2.下列各组中的两个单项式是同类项的是 ( 含x的二次项，则m的值是 3ab2),其中a=1,b=-2. A.-2与a B.a2b与-2a2b 4.化简： C.3a2与2a D.2a26与-3a3b2 (1)a-(2a-2); 3.若3xym与-2xy2是同类项，则m= 4.如果-x-2y3与5x2y0的和是单项式，则2a -4b+1= 5.合并同类项： 3.3探索与表达规律 (1)x+7x-4x; (2)3(2a3b-4a+b)-2(3a3b-2a)+b. 屋出训练 1.如图1，是由一些同样大小的三角形按照 定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形， 第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形， …,按照此规律排列下去，第674个图中三角形的 5.已知甲三角形的周长为3a2-6b+8,乙三 个数是 ( (2)4ab-3a2-ab+2-3ab-2b2; 角形的第一条边长为a2-2b,第二条边长为a2- 3b,第三条边比第二条边短a2-2b-5. (1)求乙三角形第三条边的长； △个△公个个 △△△ (2)甲、乙两三角形的周长哪个大？试说明理 第1个 第2个 第3个 由 图1 A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 (3)3(x-y)2-6(x-y)2+2(x-y)2(将(x 2.如图2，是由碳原子(C)、氢原子(H)构成 -y)2看作一个整体). 的化合物，第1个化合物由1个碳原子和4个氢原 子构成，第2个化合物由2个碳原子和6个氢原子 构成，…，按照规律，第n个化合物中氢原子的个 能刀提高 数是 H HH HHH 6.已知(a-b)-(c-d)=5,a-c=3,则 C-H b-d= 6.先化简，再求值： 第1个 第2个 第3个 (1)2x2-6x+2-2x2,其中x=2; 3.2.3整式的加减 图2 3.用相同的小木棒按如图3的方式拼成图 垦础训练 1.下列运算正确的是 A.3a2-2a=a X如XX) B.-(a-2)=-a-2 第1个 第2个 第3个 图3 C.3(a-1)=3a-1 (1)按图形规律完成下表： D.3a+2a=5a 图形 12345… 2.下面是小芳做的一道化简题：(-x2+5xy 所用木棒根数61422 (2)3x2y2-7x3y2-1-2x2y2+8xy2-2,其 2)-(-5+4w-3)-7○+ (2)按这种方式拼下去，第n个图形需要 中x=-3,y=3 2,但她不小心把一滴墨水滴在了上面，阴影部分 根小木棒； 即为被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的一项 (3)拼第2025个图形需要多少根小木棒？ 是 A.+xy B.-xY C.+9xy D.-7xy 3.若某客车上原有(4a-6b)人，中途有一半 人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客(7a 5b)人，则上车的乘客有 人. 4.已知a-2b=-3,则5a-3(a-b)-7b+ 数理报社试题研究中心 4的值为 (参考答案见11期) 数理极 素养·测评 18.（12分)如图4，是三张写有整式的卡片A, 同步达标检测题（七） B,C,且A,B,C之间满足两个整式相加等于第三个 整式，但B卡片中整式的一部分不小心被墨水污染 了 ■一 TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 【检测范围：3.23.3】 42-9y2 -9y2 4(2xy-x2) 4 B 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 14.已知A=x2+2x,B=-3x2-10,C=x 图4 题号123 4 567 8 5,若mA+B-2C的结果为单项式，则m= (1)小芳推测B+C=A,请你帮助小芳计算 被墨水污染的部分； 答案 三、耐心解一解（共44分） (2)根据三个整式的关系，求出被墨水污染的 1.计算：2a-a= 15.(12分)计算： 部分 A.a B.-a C.2 D.1 (1)3x-4y+7x+y; 2.下列各项中，能与a4合并的是 A.ab3 B.23a'b C.-2b4a3 D.3ab 3.-2(a-2b)去括号的结果是 A.-2a+2b B.-2a-2b C.-2a+4b D.-2a-4b 4.某校举办的知识竞赛共10道题，规定答对 (2)ah-(-ba）+2as: 道题加x分，答错一道题（不答按错）扣(x-2)分 小明答错了2道题，他得到的分数是 ( A.6x+4 B.6x-4 C.8x+4 D.8x-4 附加题⊙ 5.设A是一个三次多项式，B是一个四次多项 (以下试题供各地根据实际情况选用) 式，则A+B的次数是 () (3)(5a2-3ab+7)-7(5ab-4a2+7). 1.(8分)某商场第一季度服装类盈利为a元， A.7 B.4 C.3 D.4或3 家电类盈利比服装类盈利的2倍多40000元；第二 6.已知M=2x2+1,N=x2-1,则下列关于 M,N的大小关系正确的是 季度服装类盈利减少了15%，而家电类盈利增加 ( ) 了30%.问该商场第二季度服装类、家电类的总盈 A.M>N B.M<N 利与第一季度相比是增加了还是减少了？增加或 C.M,N可能相等 D.无法确定 7.已知m+n=-2,mn=-4,则整式2(mn- 减少了多少元？ 16.（10分)先化简，再求值： 3m)-3(2n-mn)的值为 A.8B.-8C.16 D.-16 （13x-y2+3(3x-6),其中x=-1,y 8.按如图1所示的规律拼图案，其中第①个2； 图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个 图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点… 按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是 2.(12分)如果一个三位正整数的百位数字与 个位数字相等，那么我们把这样的三位正整数叫 (2)2(3x2y-y2)-3(-xy2+2x2y),其中x= 作“对称数”，如101,232,555等都是“对称数”. (1)填空： 3,y=-2. ② ③ ④ ①101-(1+0+1)= 图1 ×11: A.32B.28C.24D.20 ②232-(2+3+2)= 二、细心填一填（每小题4分，共24分） ×25: 9.化简2m-(3m+8m)的结果是 ③555-(5+5+5)= 10.把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b) ×60. -6(a-b)2+7(a-b)2的结果是 (2)小红观察(1)后猜想：将“对称数”减去其 11.若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是 17.(10分)A,B,C,D四个车站的位置如图3 各位数字之和，所得结果能够被9整除.请你再任 3xy+2y2-5,则这个多项式为 所示，车站B与车站A,D的距离分别为(a+b)km, 意写出另外两个“对称数”，并通过计算验证小红 12.某同学做一道题：已知两个多项式A,B,其(5a+3b)km,车站C与车站D的距离为(3a+ 的猜想 中A=-2x2+5x-1,求A-B的值.他误将“A- 2b)km,其中a,b是不为0的有理数. (3)设aba为一个“对称数”，请你通过计算和 B”看成“A+B”,计算得到的结果是x2+14x-6, (1)求B,C两个车站之间的距离（用含a,b的推理说明小红的猜想是正确的. 则A-B的正确结果是 整式表示)： 13.从如图2-①的边长为a的正方形纸片上 (2)若B,D两个车站之间的距离比A,B两个 剪去两个相同的小长方形，得到如图2-②的图案 车站之间的距离长8km,求B,C两个车站相距多 (横向、纵向的宽度均为b),再将剪下的两个小长 少km 方形拼成一个新长方形（如图2-③），则新长方形 的周长为 ka+b- ,3a+2b 5a+3b 图3 ① ② ③ 数理报社试题研究中心 图2 (参考答案见11期)