第6期 2.4有理数的乘方 2.5有理数的混合运算（答案见第8期）-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（北师大版2024）

4 素养·拓展 A 数理极 愈守t0 第5期2版参考答案 2.3有理数的乘除运算 2.3.1.1两个有理数相乘、倒数 志进乘方“纠错园9雪 基础训练1.B;2.A;3.0;4.-5. 家新江李冉 5.(1)-42;(2)3.6: 有理数的莱方运算在有理数的运算中占有（各）°表示名×音 (3)-号：(46 5 重要的地位，但同学们在计算时往往由于概念 ×6× 6 6 能力提高6.因为a的相反数是2，所以a 模糊，粗心大意而出错，现就解题中容易出现的 正解：原式=（名户 =-2. 一些错误分析如下. 三、运算符号出错 因为b的绝对值是8，所以b=8或-8. 一、概念理解出错 因为a+b>0,所以b=8. 例3判断下列各运算结果的符号： 例1计算：53. (1)(-8)7；(2)(-9)10: 所以ab=-2×8=-16. 错解：原式=5×3=15. (3)-(-6). 2.3.1.2多个有理数相乘及运算律 剖析：对乘方的概念理解错误，53表示的是 错解：(1)(3)的运算结果为正；(2)的运算 基础训练1.B;2.C. 5×5×5,而不是5×3. 结果为负 3.(10-124:(2)0:(3)2 正解：原式=5×5×5=125， 剖析：(1)(-8)7=-87； 二、乘方意义理解出错 (2)(-9)10=90； 4.(1)10;(2)-3;(3)-2494 把号×名×名×名×名写方的 (3)-(-6)8=-6 2.3.2有理数的除法 正解：(1)(3)的运算结果为负，(2)的运算 形式 基础训练1.B;2.C;3.D;4.-2. 结果为正 错解：原式= 5.(1)-5;(2)0;(3)2.5; 6 四、运算顺序出错 (4)20.5;(5)-15. 剖桥：错在没有加上括号，实际上 例4计算：4×52. 与 错解：原式=202=400. 第5期3版参考答案 剖析：错在先算乘法，再算乘方 -、题号12345678 (名的意义不同表55×8x5x5,而 正解：原式=4×25=100. 答案DD A C A C B D 数学魔方 =9-子3：100：1.-7 玩“24点”游戏全攻略 12.5 ；13.-162;14.4或-4. 三5)-②)-9 ©四川刘凯奕 学习“24点”游戏使我们体会到解这类题 2×12或12+12的思路： (3)-30. 有多种思路和解题方法，我们共同来看下面的 ④2×(9+6-3)=24： 16.10:(2)-47 讲解。 ⑤2×6+3+9=24： 17.(1)由题意，得a=(-4)×(-5)= 例如，有四个数2,3,7,9，要求用这四个数 27-3的思路：⑥6×9÷2-3=24； 20,b=3×(-5)=-15. 列出多个算式，使结果均为24. ⑦9×3-6÷2=24： 一般，同学们大致会列出下面6个算式： 72÷3的思路：⑧[9×(2+6)]÷3=24. 所以ab=20×(-15)=-300. ①3×8的思路：3×[(9+7)÷2]=24； 还有六个极富独创性的解答： (2)由题意，得1x-201+|y-151=0. ②2×12的思路：2×(3×7-9)=24： (-4)×(-6)的思路：①(2-6)×(3-9) 所以x-20=0,y-15=0. ③48÷2的思路：[(9+7)×3]÷2=24；=24； 所以x=20,y=15. ④15+9的思路：(7-2)×3+9=24或2 27-3的思路：②9÷(2÷6)-3=24： 所以y(-x-y)=15×(-20-15)=15 +7+9=24: 9×氵的思路：89×(3-2÷6)=24； ×(-35)=-525. ⑤3÷日的思路：3÷[2÷(9+7)]=24： 18.(1)前后两部分互为倒数. ④9×[(6+2)÷3]=24； (2)先计算后一部分比较简便，计算过程 ⑥子×16的思路3÷2×(9+7)=24. 8÷号的思路：⑤(6+2)(39)=24： 如下： 1 7 1 7 对于本题，还有其他的思路，请同学们探 9÷冬的思路：⑥9÷[3÷(2+6)]=24， +121836÷36=(4 +1218 数 再举一例：要求用2,3,6,9四个数列出多个(2)若可以进行乘方，则有32+6+9=24， 6)×36=9+3-14-1=-3 算式，使结果均为24 23×(9-6)=24,62-(3+9)=24. 亲爱的同学们，试一试，你最多能列出几个 看完以上的思路分析，同学们是否有所收 (3)因为前后两部分互为倒数，所以6÷ 算式？列出后参看以下算式，看看谁列的更全.获呢？遇到类似的问题，是否能快速列出多个算 171 (4+21836)=-3 (1)若只进行加、减、乘、除四则运算，则有以式呢？ 下算式： 实际上，玩“24点”游戏，既是将所学的有 (4)根据以上分析，可知原式=- 十 3×8的思路：①(9÷3)×(6+2)=24；理数运算进行融会贯通，也是有效地提高我们的 4×6的思路：②(9-2-3)×6=24： 计算能力、培养学数学的兴趣、开发智力的过程 (-3)=-3分 ③(6-2)×(9-3)=24： 同学们可以在课余时候玩一玩哦！ (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2025年8月5日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 6期总第1150期 北师大 0351-5271248 七年级 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-43 附加题 入门向导 1.(1)- 本周主斜 学习乘方 两注意 2.4有理数的乘方 5 学习目标：1.掌握有理数乘方的概念和 运算 江西 齐英杰 6 5 6 2.学会用科学记数法表示大数 与有理数的加、减、乘、除运算相比，乘方是 二、注意正确进行乘方运算 (2)原式= 认知重点：1.会进行有理数的乘方计算 种全新的运算，同学们对它的理解和掌握相 有理数的乘方运算与有理数的加、减、乘、 2.会计算用科学记数法表示的数的原数 1 -2+ 3 对困难一些学习时，在正确理解乘方意义的基除运算一样，也是先确定幂的符号，再计算幂的 2.5有理数的混合运算 2 3 础上，还要注意以下两方面的问题。 绝对值. 学习目标：会使用计算器进行有理数的 混合运算 +4 2025 一、注意正确书写乘方 根据有理数的乘法法则，易知： 认知重点：熟练进行有理 1 1.在a”中，指数n要写在底数a的右上角， (1)正数的任何次幂都是正数： 数的混合运算 2026 2026 且要比a小. (2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是 2027 =-1+2027 2.底数和指数不能随意交换位置，如23表正数 示3个2相乘，其结果是8，而32表示2个3相乘， (3)0的任何正整数次幂都是0. 科学记数法是一种 =-2026 其结果是9，因此23≠32 (4)1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1， 表示数的重要方法，也是 20271 3.指数是1表示只有1个因数，如6=6，所 -1的奇次幂是-1. 中考的热点之一.现归纳 2.(1)1,-1. 几种常考题型供同学们 以指数1通常省略不写. (5)10的n次幂等于1后面带n个0的数： (2)因为a+b 4.当底数是负数或分数时，书写时一定要 例2计算： 学习 +c=0,abc<0,所 题型一：确定a×10” 把整个负数或分数用小括号括起来，如(-3) (1)(-2)3;(2)-4；(3)(- 2 3) 中a,n的值 湖 以三个数中必须有 不能写成-32，因为(-3)2=32，而-32表示32 例1“长征是宣言 两个正数，一个负 解：(1)(-2)3=(-2)×(-2)×(-2) 的相反数同样（号》不能写皮号 =-8. 书，长征是宣传队，长征 科学记数法 数，b+c=-a,a+c =-b,a+b=-c. (2)-42=-(4×4)=-16. 是播种机”二万五千里 张天弘 例1 填空：式子(-7)3表示 其 长征是中国历史上的伟 可设a>0,b>0,c 中底数是 指数是 读作 (3)(-2)4=(2)4= 3 +1 3 3 大壮举，也是人类史上的 <0.所以原式= 6 奇迹.将25000用科学记 ++ 解：3个-7相乘，-7,3，-7的3次方 81 数法可表示为 a -c A.0.25×106 ,1-1+1=-1. 名师点睛 B.2.5×10 (3)分四种情 C.2.5×10 况讨论： D.25×10 ①当a,b,c三 混哈运算关注点 解析：一个大于10的数可以用科学记数法 个数都大于0时，原 表示为a×10”的形式（其中a大于或等于1且 式=1+1+1=3； ⊙山西 乔秉林 小于10，n是正整数)，也就是说a是整数位只 ②当a,b,c三 一、关注运算顺序 小数转化为分数： 有一位的数，n的值为这个数的整数位数减去 个数都小于0时，原 有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算 例3计算：-4×(-1)÷(-1.5)- 1.25000=2.5×104.故选C. 式=-1-1-1= 乘除，最后算加减：如果有括号，先算括号里面 题型二：恢复原数 3: 的.准确把握运算顺序是正确进行有理数运算的 (-3) 例2据教育部消息，目前我国已建成世 ③当a,b,c中 关键 解：原式=-4×(- )( 3)-(-9) 界上规模最大的职业教育体系，共有职业学校 的一个数大于0，两 例1计算：(-1)×(-4)+22÷(7-5) 1.12×104所，在校生超过2.915×10？人，则 个数小于0时，原式 解：原式=4+4÷2=4+2=6. =-4×(- )+9=-4+9=5 2.915×10表示的原数为 =1-1-1=-1: A.291500 B.2915000 二、关注符号 C.29150000 D.291500000 ④当a,b,c中 四、关注运算律 在有理数的混合运算中，出现符号错误是 解析：因为2.915×107中10的指数是7，所 的两个数大于0， 最常见的.为了避免符号方面的错误，应注意把 在有理数的混合运算中，对于比较复杂的 以还原后的数的整数位数为：7+1=8.所以 个数小于0时，原式 握算式中的“-”号是运算符号，还是性质符号， 计算题，应注意观察是否可使用运算律来简化 2.915×10的原数是29150000.故选C. =1+1-1=1. 并结合具体情况进行区分，养成先确定符号，再 运算过程，提高解题效率。 题型三：单位的换算 综上所述， L 算绝对值的好习惯， 例4计算：-32×(- -)3- 3 例3大米是我国居民最重要的主食之 ,与此同时，我国也是世界上最大的大米生产 + 例2计算：-(-3)2+(-1)3÷(- b 的值 4 国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上.将2亿用 科学记数法表示为 ) 为3或-3或1或 (-10). 解：原式=-9+（-1)×16+10=-9 解：原式=-9×(- 3 A.2×109 B.2×108 8 )-( + 6 8 C.0.2×109 D.2×10 (全文完) 16+10=-15. 9 9 解析：将一个含有数值单位的数用科学记 三、关注转化 ×(-24)= 8-（-18-4+9)= 8 -(-13) 数法表示时，应将数值单位进行转换，即可确定 在有理数的混合运算中，注意把除法转化 9 +13=14 其整数位数.2亿=200000000=2×108.故 为乘法，减法转化为加法，带分数转化为假分数， 选B. 2 素养专练 数理极 2.4.2科学记数法 跟踪训练 (2)-2-(-2)-32÷(-12): 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.“海葵一号”是完全由我国自主设计建造 2.4有理数的乘方 的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外 2.4.1乘方 输等功能于一体，储油量达60000吨.将60000用 科学记数法表示为 一垦础训练 A.6×103 B.60×103 C.0.6×10 D.6×104 1.计算(-3)4的结果正确的是 2.作为新兴力量，DeepSeek承载着打破国外 技术垄断、为中国AI开拓新局的使命，在全球AI (3)(-2)2÷+14-131x号-号×15： A.-2 竞技场上崭露头角，助力中国迈向AI强国之列. c D 数据显示，DeepSeek发布20天后，其日活跃用户 已达2215万人，将数据2215万用科学记数法表 2.下列各式化简后是负数的是 示为 A.(-1)2 B.-(-1)3 A.2.215×109 B.22.15×10 C.-2 D.-(-5) C.2.215×10 D.0.2215×108 3.下列说法正确的是 3.中国火星探测器“天问一号”到地球的距 A.-10读作“负1的10次幂” 离约为1.92×10°公里，其中1.92×10°是一个用 B.2表示5个2相加 科学记数法表示的数，它原来是一个」 (4)--[(-05)2÷14-x(-1号) 位 C.(-3)3与-33意义相同 数 D.(-1)205=-125 4.用科学记数法表示下列各数： 4.-54的底数是 指数是 (1)50000: (2)3600000: 幂是 5.现定义某种运算“*”，对任意两个有理数 a,b,有a*b=a°，则(-2)*9= 6.计算： (1)(-10)6: (2)-63; (3)-59970000; (4)18.4万. 能刀提高 5.设n是正整数，则1-(-1)”的值是 5.下列用科学记数法表示的数，原来分别是 2.5.2用计算器进行运算 什么数？ 垦础训练 (3)(-2号： (4)-0.14; (1)1×100: (2)4.5×10; 1.用计算器计算，按键顺序为①⊙③○ ⊙②⑧③，对应的算式是 () A.(1-3)2÷2×3B.1+32÷2×3 C.1-32÷2×3D.(1+3)2÷2×3 2.用计算器计算：152×0.18×(-0.14)2= (3)8.005×104; (4)-5.37×108. (精确到0.01). 5)- (6)-(- 3.用计算器求下列各式的值： (1)-0.4-5.2×3.8÷2.6+7.5; 2.5有理数的混合运算 能刀提高 2.5.1有理数的混合运算 7.当把一张纸对折一次时，可得到2层；当对 垦砂训练 (2)(-2)4×(2.56-1.27)2+(-1.69): 折两次时，可得到4层；…，照这样折下去（最多折 1.计算-32+2的结果是 8次). A.7 B.11 C.-7 D.-4 (1)计算对折6次时的层数； (2)如果纸的厚度是0.1mm,求对折8次时 2.如图，是一个计算程序，若输入α的值为 的总厚度. -1,则输出的结果b的值为 骑入团(2习一-列一4长输出b A.-5B.-6 C.5 D.6 (3)(2.42-1.32)×3.1+4.13 3.若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有 理数，c是倒数等于它本身的自然数，则a226+ 2025b-25的值为 4.计算： (1)5×(-3)+(-4)2÷4; 数理报社试题研究中心 (参考答案见8期)》 数理极 素养·测评 13 18.(14分)观察下列各式： 同步达标检测题（五） P=1=子x1x4=子×P×2: 13+23=9=1 ■ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI ×4×9=子×2×3； 【检测范围：2.42.5】 1P+2+32=36=4×9x16=4×32× 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 三、耐心解一解（共44分） 42: 题号1234 678 15.(8分)如图，圆环的大圆半径R= 4.56cm,小圆半径r=2.47cm,试用计算器求阴 P+2+3+4=100=4×16×25=4 答案 影部分的面积（结果精确到0.1，π取3.14） ×42×52: 1.计算(-6)2的结果是 * A.12 B.-12 若n为正整数，试猜想13+23+33+…+n3的 C.36 D.-36 值是多少？并利用此式比较13+23+33+…+100 2.按键O©)④①O⑤①②xE 与(-5000)2的大小 能计算出下列哪个式子的值 A.(-4)3+1 B.-(45+2) C.(-4)5+2 D.45-2 3.光年是天文学上的一个距离单位，一光年指光 在宇宙真空中一年所经过的距离，约为 9460000000000km,一般被用于衡量天体之间的 16.（12分)计算： 距离.数据9460000000000用科学记数法表示为 (1)3×(-2+3)÷3--281; A.0.946×105 B.9.46×105 C.9.46×102 D.9.46×10' 4.已知x=4,y=-2,则x1-y的值是 附加题⊙ A.0 B.1C.2 D.32 5.下列各组数中，数值相等的是 ( (以下试题供各地根据实际情况选用) A.2和32 B.(-3)4和-34 1.(10分)(1)填空：1.22= ,122= C.(-4)3和-43D.1-217和(-2)7 6.有下列计算：①74-22÷70=70÷70=1： (2)-518-1日×(- ,1202= (2)根据(1)中的规律猜想：当底数的小数点 ②2×32=(2×3)2=62=36；③-6÷(-2×3) 向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ -(-2)×生 (3)利用上述规律，解答下列各题： 6÷2×3=3×3=9:④3 ①如果3.252=10.5625，那么0.3252= 分》-告-（分）=告+片-长其中错误的 4 1 4 ②如果x2=105625,那么x= 有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.若1x1=4,y2=9,且1x-y1=y-x,则 (3)-161÷(-4+(分-子)×6 (-1)20 x+y= A.1或7 B.1或-7 C.-1或7 D.-1或-7 8.某种细菌在培养的过程中，每半小时分裂 一次（由一个分裂成两个）.若这种细菌由1个分 裂成128个，则这个过程要经过 ( ) A.3小时 B.3.5小时 C.4小时 D.4.5小时 2.(10分)用符号M表示一种运算，它对整数 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 17.(10分)某希望工程办公室收到各界人士和分数的运算结果分别如下： 9把号×号××号×写成幂的形式是 的捐款共计1500万元，以此来资助贫困失学儿 M(1)=-2,M(2)=-1,M(3)=0,M(4)= 3 3 童 1… ,其中底数是 一，指数是 (1)如果每名失学儿童可获得500元资助，那 10.一个整数81500用科学记数法表示为 么共可资助多少名失学儿童（结果用科学记数法 8.15×10°，则原数中“0”的个数为 表示)？ 1.… 1山.不超过(-)产的最大整数是 (2)如果社会各界人士捐款数为平均10元/人 16 那么需要多少人捐助才能获得这笔捐款（结果用 利用以上规律计算： 12.若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝 科学记数法表示)？ (1)M28)×M5): 对值为2，则a+61+2m2-3cd的值是 4m (2)-1÷M(39)÷[-M(6)]. 13.小明在玩“24点”游戏时抽到的四张牌分 别是5,8,1,2，要求用加、减、乘、除、乘方运算（可 用括号)得出24，每张牌只能用一次，但不能重复 使用，请你帮小明写出一个计算结果为24的算式： 14.观察下列运算：8=8,82=64,83=512 84=4096,85=32768,86=262144,…,则8+ 82+83+84+…+88的和的个位数字是 数理报社试题研究中心 (参考答案见8期)