第1期 1.1生活中的立体图形 1.2.1展开与折叠（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（北师大版2024）

素养·拓展 数理招 、面的个数模糊不 传题辅导 数学诊所 清 丛误区 例1 下列几何体 中，面的个数最少的为 聚焦 正方体的展开图 ( △ ©河南殷广平 正方体的六个面都是正方形，所以正方体 第四类：有1种，其特点是有2行，每行有3 的展开图是由六个正方形组成的.按照不同的 个连成一排的正方形，如图4，可简称为“二个 剪裁方式展开会得到不同的展开图，可以分为三”型. 以下的四类，共11种 由展开图可以看出，在正方体的展开图中 中走出来 第一类：有6种，其特点是有4个连成一排不会出现如图5所示的“凹”字型和“田”字型结 C 0 的正方形，其两侧各有1个正方形，如图1，可简 构. 错解：D. 称为“一四一”型 为了方便记忆，可归纳为如下口诀： 剖析：四棱柱有6个 “一四一”“一三二”，“一”在哪列可随意， 面，圆锥有2个面，三棱 柱有5个面，圆柱有3个 “三（个）二”成阶梯，“二（个）三”日状连 面 异层必有“日”，“田”“凹”应弃之， 正解：B. 第二类：有3种，其特点是有3个连成一排 例如图6，是由5个小正方形连接而成的 表面积难以计算的正方形，其两侧分别有1个和2个相连的正方 图形，它需再添加一个小正方形，折叠后才能围 例2 如图1，由27个棱 形，如图2，可简称为“一三二”型 成一个正方体.图中的黑色小正方形分别由四 为1的小正方体拼成 个大正 位同学补画，其中正确的是 方体，从中取出一个小正方体 (其他正方体位置不变)，剩下 (4 的立体图形表面积最大的取法 图2 为 图1 第三类：有1种，其特点是有3行，每行有 ☒图6 A.取走① B.取走② 2个连成一排的正方形，如图3，可简称为“三个 解：选项A的图形包含“凹”字型，无法围成 C.取走③ D.取走④ ”型 个正方体：选项B的图形包含“田”字型，无法 错解：B. 剖析：取走①或③，剩下的立体图形表面 围成一个正方体选项C的图形无法围成一个封 积不变；取走②，剩下的立体图形表面积增大 出田 闭图形：选项D的图形是正方体展开图中的“一 2;取走④，剩下的立体图形表面积增大4. 图3 4 四一”型.故选D 一十一十十一十 正解：D. 三、翻转问题无从下手 品味今法 例3如图2-①，是一个正方体表面的展 开图，将对应的正方体从如图2-②所示的位 抓任诀窍 置依次翻过第1格、第2格，到第3格时，正方体 对面可到 朝上一面上的字是 运会真精 ©江西段旭辉 彩 3 在正方体的表面展开图中，寻找正方体中 ① 图2 的相对面是考试的热点问题，只要同学们深人 A.精 B.彩 C.亚 D.运 研究正方体的各种表面展开图，便可归纳出寻 吧 B 错解：A 找相对面的决窍 图4 图5 剖析：根据正方体表面的展开图，得“亚 决窍一、“目”字相间是对面 例2“争创全国文明典范文明 与“彩”是相对面，“运”与“真”是相对面， 正方体的展开图中，位于“目”字两端的两 城市，让文明成为宜昌人民的内 “会”与“精”是相对面.所以将对应的正方体 典范 从如图2-②所示的位置依次翻过第1格、第2 个面是相对面，即位于同一行（或同一列），且中在气质和城市的亮丽名片”.如 城市 间隔一个正方形的两个面是相对面.如图1中的 图6，是一个正方体的平面展开 格，到第3格时，正方体朝上一面上的字是 图6 “彩” 面A和面B是相对面 图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字 正解：B. 中 是 四、表面展开图掌握不牢 国航 解：根据“‘Z’字两端是对面”，得“城”字对 例4现有①②③④四种型号的铁皮，铁 A☐B 精神 面的字是“明”.故填明. 皮的形状与相关尺寸（单位：dm)如图3所示 图1 图2 从中选两种，正好可以制成一个无盖圆柱形水 例1为了发扬“中国航天精神”，每年的 桶（不计接头），则所选的这两种铁皮的型号是 牛刀小武 4月24日设立为“中国航天日”.正方体的每个 面上都有一个汉字，如图2，是它的一种表面展 开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对 1.如图7，是一个正方体的表面展开图，则 的面上的汉字是 ) 在原正方体上，与“的”字所在面相对的面上的 (2) 3 A.航 B.天 汉字是 图3 C.精 D.神 传 A.①③ B.①④ 解：根据“‘目’字相间是对面”，得与“国” 我和我 承红色 C.②③ D.②④ 字所在面相对的面上的汉字是“天”.故选B. 的祖国 文化 错解：A. 决窍二、“Z”字两端是对面 图7 图8 剖析：③的周长为2π，④的周长为4π.所 以用②作圆柱形水桶的侧面，③作底面，即可 如果正方体的表面展开图中有“Z”字，那么 2.某同学学习了正方体的展开图后，在如图 围成底面直径为2，高为4的无盖圆柱形水桶. “Z”字两端的两个面是相对面.如图3，图4，图58所示的展开图上写下了“传承红色文化”六个 正解：C. 中的面A和面B是相对面 字，还原成正方体后，“红”的对面是 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 2025年7月1日·星期二 初中数学 第 1期总第1145期 北师大 0351-5271248 七年级 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-43 七年级数学北师大 部曲：理解概 第一学期编辑计划 第1期 总 1.点：对于点，我 新学期寄语 1.1生活中的立体图形 们在纸上画一个点就 1.2.1展开与折叠 代表一个点，有时在 当上课的铃声清脆地响起，当崭新的课本一页页翻开，当琅琅的读书声响遍校园，这 第2期 地图上把一个城市看 一切都告诉我们，初中学习生活开始了现在，每个人都站在同一起跑线上，相信所有人都 1.2.2截一个几何体；1.2.3 成一个点 会全力以赴，努力描绘理想的蓝图 从三个方向看物体的形 2.线：线有直线 假如你们是早晨初升的太阳，那么《数理报》情愿是你们身边的云彩，伴你们成长；假 状：第一章复习与小结 如你们是海上远行的轮船，那么《数理报》要做高高的航标灯，屹立在 第3期 梨2线之分知卡 光线，可以想象成直 辽阔的海面上，时刻指引着前进的方向. 2.1认识有理数 181 第4期 传 线，一张圆桌的边可 青春路挥洒汗水，疲惫却不后悔；四季里 雨雪纷飞，拼搏永不言退我们将风雨同舟，用 2.2有理数的加减运算 3.面：面有平面 纯真的心灵憧憬梦想的风景，用敏锐的头脑洞察世 第5期 和曲面之分，如桌面 事的变幻，用蓬勃的生机焕发青春的活力 2.3有理数的乘除运算 可以形象看成一个平 本报编辑部 第6期 面，皮球的表面可以 2.4有理数的乘方；2.5有 想象为一个曲面.面 入门向导 理数的混合运算 是从实际物体中抽象 第7期 出来的图形 畅游立体图形的王国 第二章复习与小结 4.体：体是由面围成的，面与面相交成线， 第8期 线与线相交成点. 3.1代数式 二部曲：了解关系 O山西李佳瑞 第9期 1.点动成线：如：将石子看作一个点，扔 我们生活在丰富多彩的三维世界中，周围 故选B 3.2整式的加减；3.3探索 块石子，石子在空中飞行的路线就形成一条线 存在着许多规则的和不规则的物体，而规则的 三、几何体的分类 与表达规律：☆问题解决 2.线动成面：如：将电扇叶片看作线，快速 立体图形是我们进一步学习和研究的对象. 例3 请将图2的6个几何体进行分类 策略：归纳 转动的电扇叶片看起来就形成一个面 我们一起畅游立体图形的王国，探索其中的奥 第10期 3.面动成体：如：旋转一个长方形，长方形 秘吧！ 第三章复习与小结 在空中运动的痕迹就形成一个圆柱， 一、从实物到几何图形 第11期 三部曲：解题应用 例1 在下面四个物体中，最接近圆柱的是 期中复习 例如图，三角形ABC绕BC旋转一周得 第12期 到的几何体为 4.1线段、射线、直线 第13期 日△e ⑤ 硬币 某种饮料瓶 图2 4.2角；4.3多边形和圆的 D 解析：将几何体分类，方法并不惟一，只要 初步认识 能说明分类的理由即可.但要注意：按某一标准 第14期 解：图中的AC绕BC旋转一周后，形成一个 解析：圆柱的形状如图1所示.选项A中的 分类时，要做到不重不漏.分类标准不同时，分 第四章复习与小结 圆锥；AB绕BC旋转一周后，形成一个圆锥.因 烟囱上下粗细不同，不是圆柱.和图1对照，可以 类的结果也就不尽相同.本题可以按照柱体、锥 第15期 此三角形ABC绕BC旋转一周后，得到的几何 看出，圆柱是“直”的，与选项B中弯管有明显区 体、球体来分，也可以按照围成几何体的面的个 5.1认识方程；5.2一元 体是两个圆锥的组合体 别.选项D中的饮料瓶的瓶盖确实可以看作是圆 数与特征来分等。 次方程的解法 故选C. 柱，但它在该物体中只占很小的一部分，该物体 下面介绍6种分类方法： 第16期 从整体上讲更接近于棱柱 (1)按照柱体、锥体、球体来分类：①②④⑥ 5.3一元一次方程的应 本周主讲 故选C. 是柱体；③是锥体；⑤是球体， 用；☆问题解决策略：直 1.1生活中的立体图形 (2)按照面的平曲来分类：①④⑥围成几何 观分析 学习目标：1.在具体情境中认识立体 体的面都是平面；②③⑤围成几何体的面中有 第17期 图形，并了解它们的特征， 2.了解点、线、面、体之间的关系 曲面. 第五章复习与小结 认知重点：1能对几何体进行简单分 (3)按照面的个数的奇偶性来分类：①③④ 第18期 类 围成几何体的面的个数是偶数；②⑤⑥围成几 6.1丰富的数据世界；6.2 2.通过点、线、面的运动认识几何体 二、几何体的识别 的产生 何体的面的个数是奇数 例2 下列几何体中，是圆锥的为 数据的收集；6.3数据的 1.2从立体图形到平面图形 (4)按照有无顶点来分类：①③④⑥都是有 表示：第六章复习与小结 1.2.1展开与折叠 顶点的几何体；②⑤都是无顶点的几何体 第19~26期 学习目标：通过对立体图形的展开与 日△A色 折叠，了解立体图形的展开图 (5)按照底面的个数来分类：①②④⑥都是 巩固提高（合刊） 认知重点：通过展开 有两个底面的几何体；③是只有一个底面的几 和折叠立体图形，发展空 解析：选项A中的几何体是长方体：选项B何体：⑤是没有底面的几何体 间观念 中的几何体是圆锥；选项C中的几何体是三棱 (6)按照有无棱来分类：①④⑥都是有棱的 柱；选项D中的几何体是圆柱 几何体：②③⑤都是无棱的几何体， 2 素养·专练 数理极 跟踪训练 能刀提高 6.如图6，是一个正方体茶盒 GENZONGXUNLIAN 的展开图，将其折叠成正方体后， 2 1.1生活中的立体图形 4.如图3，小军和小红分别以直角梯形的上 与顶点K重合的顶点是() 1.1.1认识立体图形 底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图 A.点A B.点B C.点C 形 D.点D 垦出训练 我们旋转的平而图形是 我不同意你的看法，我 究全一样的所以旋转后得到 认为甲、乙两个立体图形的 1.2.1展开与折叠（棱柱、圆柱、圆锥） 1.如图1，是一个足球，该物 的两个立体图形的体积相等 体积不相等 体对应的几何体是 ( 小红 屋础训练 A.长方体 B.圆柱 1.如图1，斗笠，又名箬笠，即以竹 C.球 D.圆锥 皮编织的用来遮光遮雨的帽子，可以 2.下列几何体中，有9条棱的 3 看作一个圆锥，下列平面展开图中能 是 A.三棱柱 B.四棱柱 (1)你同意 的说法： 围成一个圆锥的是 C.五棱柱 D.六棱柱 (2)求甲、乙两个立体图形的体积差(V喝柱 3.如图2，有一定厚度的墙面上有一个圆形πh,V缘= 3). 的通风口，下列几何体不能堵住这个通风口的是 中行A⊙ 2.一个立体图形的侧面展开图如图2所示， 则该立体图形的底面形状是 图2 B 4.若一个正方体所有棱长的和是36，则它的 图2 A B D 体积是 3.如图3，是一个长方体的展开图，与是相对 ( 5.如图3，将图中的几何体按要求进行分类 的是 1.2从立体图形到平面图形 ⑨@ 1.2.1展开与折叠（正方体） ② 图3 屋础训练 A 图3 B (1)按照柱体、锥体、球体划分： 4.如图4，李叔叔要做一个无盖的圆柱形水 1.下列图形为正方体展开图的是 (2)按照面的个数的奇偶划分 桶，底面直径是4dm,高是5dm. (1)做这个水桶至少需要多少铁皮（结果保 留π)？ B (2)做好水桶后，往里面装入3dm深的水，水 2.如图1，是一个正方体六个面的展开图，则 桶中的水重多少千克(1dm3水重1kg,结果保留 文字“当”在原正方体中所对面的文字是（ π，水桶的厚度忽略不计)？ A.有 B.理 C.想 能刀提高 D.能 有理 6.一只小蚂蚁从如图4所示的 想能 456 正方体的顶点A沿着棱爬向有蜜糖 担当 123 的点B,它只能经过三条棱，则小蚂 图1 图2 蚁有」 种爬行路线 3.如图2，是正方体的展开图，则原正方体相 对两个面上的数字之和的最小值是 1.1.2点、线、面、体 5.老师让同学们用若干个正方形和长方形拼 4.创新作图：如图3，在无阴影的方格中选出 成一个长方体的展开图（如图5）.拼完后，小明看 堡四训练 两个涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方 来看去觉得所拼图形似乎存在问题， 形一起可以构成正方体表面的展开图（填出两种 1.“力箭一号”(Z水-1A)运载火箭在酒泉卫 (1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问 互相不同的答案)· 星发射中心采用“一 箭六星”的方式，成功将六颗 题，若有多余块，则把图中多余块涂黑：若还缺少 卫星送人预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功. 则直接在原图中补全 把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕 (2)长方体共有 条棱，若将一个长 迹体现了 方体沿某些棱剪开展成(1)中修正后的平面图 A.点动成线 B.线动成面 图3 形，需要剪开 条棱 C.面动成体 D.面与面相交成线 (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图 5.如图4，是一个正方体纸盒，它的三个面分 2.如图1，两个几何体的曲面个数的和是 所折叠而成的长方体的体积 别有图案“●”“○”和“⑧”，将其表面展开后得 12 cm 到图5.请将图案“○”补画在图5中的适当位置， 使“○”在“⑧”相对的面上 1 A.0 B.1 C.2 D.3 园5 3.如图2的图形绕虚线旋转一周，可以得到 数理报社试题研究中心 的几何体是 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 18.(14分)【问题情境】某综合实践小组开展 同步达标检测题（一） 了“长方体纸盒的制作”实践活动. 【问题解决】(1)综合实践小组利用边长为 30cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方 ■一 TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 体盒子 【检测范围：1.1~1.2.1】 ①图11方式制作一个无盖的长方体盒子的方 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 该几何体的名称是 ,有 个顶点 法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为8cm 题号123 4 5678 的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的 答案 底面周长为 cm; 1.下面几何体中，是圆柱的为 图6 12.一个棱柱有8个面，它的底面边长都是 图11 图12 D 4cm,侧棱长为3cm,则这个棱柱的所有侧面的面 ②图12方式制作一个有盖的长方体纸盒的方 2.时钟秒针转动时扫过的痕迹，这说明 积之和是 cm2. 法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为5cm 13.若在一张长方形纸片中按照如图7所示的 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚 A.点动成线 B.线动成面 方法剪裁后制作一个底面面积为4cm2的正方体， 线折合起来，求该长方体纸盒的体积 C.面动成体 D.线与线相交成点 正方体展开图的边可以与长方形纸片的边重合 【问题进阶】(2)若一个无盖长方体的长、宽、 3.如图1，下列几何体中，含有曲面的是 则该长方形纸片的面积最小为 cm2. 高分别为6,4,3，它缺一个长为6，宽为4的长方形 14.如图8，长为6cm, 底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面 宽为4cm的长方形是一个 4cm 图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 圆柱的侧面展开图，则该 ;通过比较长方体表面展开图取得最大 圆柱的体积为 3 外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了 6 cm 图1 cm3(结果保留π) 图8 什么规律？请写出你发现的规律. A.①②B.①③ C.②3 D.②④ 三、耐心解一解（共44分） 4.如图2，是一个正方体的展开图，则原正方 15.(8分)如图9 体中，与“冷”字所在面相对面上的字是( A.任 B.细 C.沉 D.着 00 仔 ③ (4 5 细沉着 图9 冷静 (1)请写出这些几何体的名称； (2)将这些几何体进行分类，并说明理由 图2 图3 5.成都东安湖体育公园主场馆形状可以近似 看成如图3的几何体.下列图形绕虚线旋转一周， 能形成该几何体的是 16.(10分)小明制作了一个底面边长都为 附加题⊙ 4cm,侧棱长为16cm的五棱柱形的无盖笔筒. (以下试题供各地根据实际情况选用) (1)这个五棱柱笔筒的外部共有几个面？几条 1.(8分)如图1，四边形ABCD是长方形，BC 6.下列说法不正确的是 棱？ 6cm,AB=10cm,AC和BD是对角线，图中的阴 A.长方体是四棱柱 (2)制作这个笔筒的侧面至少需要多少平方 影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立 B.八棱柱有8个面 厘米的材料？ C.六棱柱有12个顶点 体图形的体积是多少立方厘米(V华=了产h,结 D.经过棱柱的每个顶点有3条棱 果保留π)？ 7.下列图形中，经过折叠不能围成棱柱的是 中尸太 17.(12分)图10-①，为一个正方体，图10-② 为图10-①的展开图（数字和字母都在外表面上）. 红/常/黄/蓝/ (1)如果正方体相对两个面上的数字之和相 白红白黄红 8.如图4，该正方体的展开图是 等，则x= 图1 图2 O中中印g (2)如果面“2”在右面，面“4”在后面，则面 2.(12分)把正方体的六个面分别涂上六种不 在上面（填数字）； 同的颜色，并画上朵数不同的花，各面上的颜色与 < (3)如图10-①，M,N为所在棱的中点，试在 花的朵数情况如下表所示： 图4 B 图10-②中标出点M,N的位置 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 颜色黄白红紫绿蓝 9.在几何图形：正方形、长方体、圆 D 花的朵教123456 球、圆锥中，有 个立体图形 B4y10 现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样 10.如图5，这个立体图形是由 6x 的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图2 个面组成的，其中有 所示，那么长方体的下底面共有多少朵花？ 个面是平的，有 个面是曲的. 数理报社试题研究中心 11.如图6，是一个几何体的展开图， 图5 (参考答案见下期)