精品解析：陕西省咸阳市秦都区多校联考2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 4的平方根是（ ） A. B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键． 【详解】解：∵ ∴4的平方根是 故选：D. 2. 要使在实数范围内有意义，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性求解． 【详解】解：由题意可知，， 解得，， 四个选项中只有不符合题意， 故选：A． 3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理及勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案． 【详解】解：A、 ，，1不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，2，，不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、4，5，7，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、3，4，5，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 4. 已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：B． 6. 如图，在和中，，分别以，为边向外作正方形，正方形，则阴影部分（正方形和正方形）面积是（ ） A. 16 B. 25 C. 144 D. 169 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理，掌握正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 由题意得，再根据正方形 的面积为： ；正方形的面积为：；由此即可求解. 【详解】解：∵ ∴ ∵正方形 的面积为： ；正方形的 面积为：； ∴阴影部分的面积为：， 故选：B. 7. 估计的运算结果应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：C． 8. 圆柱的底面直径为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则点移动的最短路径长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理—最短路径问题，将立体图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将圆柱体的侧面展开如图，则即为所求， 由题意，得：，，， 由勾股定理，得：； 故选A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在，，0，中，无理数有_____个 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，本题的关键是明确无理数的定义，即无限不循环小数，且不能表示为分数形式的数．根据无理数的定义，判断每个数是否为无理数，进而统计个数． 【详解】解：在给出的数，，0，中： ，0属于有理数； ，属于无理数，无理数有2个． 故答案为：2． 10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定理 ．由此即可得出答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为 ∴ （负值舍去） 故答案为：4． 11. 写出一个小于4的最简二次根式______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开得尽的因数或因式，据此进行作答即可． 【详解】解：写出一个小于4的最简二次根式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 12. 已知中，，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 由于，，，根据勾股定理的逆定理可得出三角形是直角三角形；由此即可求解 【详解】解：∵，， ∴；； ∴ ∴三角形是直角三角形 ∴的面积为： 故答案为： 13. 设a为非负有理数，b是有理数，规定，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，求一个数的算术平方根和立方根，由新定义得，由算术平方根和立方根，并结合新定义分步求解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 14. 在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理可将“数学风车”的直角边求出，进而由勾股定理即可求出，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 . 16. 在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【答案】海里/时． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长度，从而根据速度公式可得出船航行的速度． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， ∵航行了2小时， ∴船航行的速度海里/时． 答：此船的航行速度为12海里/时． 17. 若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、勾股定理．先根据角平分线的性质定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得． 19. 如图，在数轴上作出表示实数的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点表示的数为． 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，作线段垂直平分线，勾股定理等；会作线段的垂直平分线，能用勾股定理求解是解题的关键．作表示的点和的点的连线段的垂直平分线，以表示的点为圆心，长为半径画弧，交垂线于，连接；由勾股定理得，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于，则，故点表示的数为，即可求解． 【详解】略 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，求网格中的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的周长公式，关键是运用勾股定理求出 的长度．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∴的周长为：． 21. 已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： （1）该正数是多少？ （2）的算术平方根． 【答案】（1）该正数是； （2）的算术平方根是． 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是正确理解相关的概念． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可； （2）先求出，代入代数式求出，求算术平方根即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 答：该正数是． 【小问2详解】 解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， 答：的算术平方根是． 22. 如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A、B两个凉亭之间的距离． 【答案】A、B两个凉亭之间的距离为20m 【解析】 【分析】在和中，根据勾股定理先分别计算出和的长，然后由线段的差求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 答：A、B两个凉亭之间的距离为． 23. 王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． （1）若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． （2）王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； 【小问2详解】 解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 24. 给出一个新的数学概念：若，则与是关于的平衡数．例如：，则称与是关于的平衡数． 请仔细阅读上述材料，并解答问题． （1）与______是关于的平衡数； （2）若，试判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：与是关于的平衡数；理由如下： 由题意可得， 所以与是关于的平衡数． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，新定义，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设这个数为，根据题意得，然后解方程即可； （）由题意可得，从而求解． 【小问1详解】 解：设这个数为， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，，点D在边上，连接，且，． （1）猜想的度数，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）的长为17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用是解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，从而求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由勾股定理得， 所以． 26. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】 （1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）； （3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）略 （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：(元)， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 4的平方根是（ ） A. B. 16 C. D. 2. 要使在实数范围内有意义，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 3，4，5 4. 已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 如图，在和中，，分别以，为边向外作正方形，正方形，则阴影部分（正方形和正方形）面积是（ ） A. 16 B. 25 C. 144 D. 169 7. 估计的运算结果应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 8. 圆柱的底面直径为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则点移动的最短路径长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 20 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在，，0，中，无理数有_____个 10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为______． 11. 写出一个小于4的最简二次根式______．（写出一个即可） 12. 已知中，，，，则的面积为______． 13. 设a为非负有理数，b是有理数，规定，则______． 14. 在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 17. 若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 18. 如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长．     19. 如图，在数轴上作出表示实数的点．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，求网格中的周长． 21. 已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： （1）该正数是多少？ （2）的算术平方根． 22. 如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A、B两个凉亭之间的距离． 23. 王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． （1）若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． （2）王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 24. 给出一个新的数学概念：若，则与是关于的平衡数．例如：，则称与是关于的平衡数． 请仔细阅读上述材料，并解答问题． （1）与______是关于的平衡数； （2）若，试判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． 25. 如图，在中，，点D在边上，连接，且，． （1）猜想的度数，并说明理由； （2）若，求的长． 26. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $