专题04 期中真题百练通关 45题12大压轴题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题04 期中真题百练通关（45题12大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 三角形面积问题 题型7 勾股定理的解决应用 题型2 三角形角平分线与折叠问题 题型8 无刻度尺作图 题型3 多解问题 题型9 全等模型 题型4 全等三角形动点问题 题型10 折叠问题 题型5 多结论问题 题型11 等腰（全等）三角形动点求t 题型6 最值问题 题型12 新定义问题 题型一 三角形面积问题 1．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的求法，根据得出和面积之间的关系，根据E是的中点得出和面积之间的关系，从而求出的面积，再根据是的中线即可求出的面积，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：D． 2．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点为线段上的点，且，已知，的面积分别为18和21，则的面积是（　　） A．36 B．48 C．82 D．84 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，根据，可得，从而得到，，进而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形中线的性质，重心的性质．要求图中阴影部分的面积，可以先求出两部分阴影的面积，即和的面积，再求和； 由题意可知点G是的重心，由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得； 利用三角形重心的性质可得、，代入已知条件即可求出和的面积． 【详解】解：是的中线， ， 三边的中线、、的公共点为， 点G是的重心， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：9． 题型二 三角形角平分线与折叠问题 4．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角，运用方程思想是解题的关键；设，根据三角形的内角和定理，三角形的外角分别求出，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ，分别是的外角，的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出和的倍数关系是解决问题的关键． 先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处， ，，， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 即， ， ． 故选：A． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角定理，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角定理是解题的关键．首先根据角平分线的定义及平角的定义证明，然后根据三角形外角定理得，据此求解． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 题型三 多解问题 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 8．（25-26八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质， 根据垂线的定义得到，从而求得，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意，①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上所述：或 故选：C． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， 则顶角为； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 题型四 全等三角形动点问题 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【详解】解：， ，，， 在和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选：C． 11．（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　）    A．1cm B．2cm或 C．2cm D．1cm或 【答案】D 【分析】本题主要考查了有关动点问题的全等三角形应用，掌握和两种全等情况是解本题的关键． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可． 【详解】解：①若，则，，可得：，， 解得：，； ②若，则，，可得：，， 解得：， 的长度为1cm或． 故选：D． 12．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．当P，Q，C三点共线时，t的值为 ． 【答案】8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． 根据题意即可利用证明， 得，，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论当时，当时，列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， 在和中， ， ， ； 如图， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴当时，，则， ， ， 当时，，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 题型五 多结论问题 13．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，角平分线、交于点I，交于点F，于点H，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定等待，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由垂直的定义和三角形内角和定理可得，则由三角形外角的性质可得，据此可判断①；求出，则可得到，再由垂线的定义即可判断②；延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得到，即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵角平分线、交于点I， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 延长交于， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：D． 14．（20-21八年级上·江苏·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，延长至点，使得，连接并延长，交的延长线于点，现给出以下结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据，即可证明，得出①正确；结合，得出，根据等腰三角形的性质得出，设，则，结合，得出，根据和三角形内角和得出，根据同角的余角相等得出，结合，即可得出，得出③正确；根据，得出，即可证明，根据，得出，，不能证明与全等，故②错误；当时，结合，得出，即可得，，证出，结合和，即可得，故④正确； 【详解】解：∵在中，， ∴，故①正确； ， ， ， ， 设，则， ∵， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 与不能证明全等，故②错误； 当时， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ，， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型六 最值问题 16．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 作，使得，连接，证明，即可得到，进而得出当，，三点共线时，的最小值等于的长，再根据△是等边三角形，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，作，使得，连接， ， 在△和△中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为8， 的长为8， ，， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 18．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 题型七 勾股定理的解决应用 19．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）． (1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度； (2)在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？ 【答案】(1)秋千绳索的长度为 (2)小丑甲相比点A最多升高 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理构建方程或算式． （1）设．在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）由题意，最大宽度为，根据勾股定理，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接交于点D．设秋千绳索长为，则． 由对称性知，垂直平分， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 答：秋千绳索的长度为． （2）解：由题意可知： 最大宽度为， 此时， 在中，， ∴（m）， ∴（m）． 答：比点A最多升高． 20．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米 (2)风筝的牵引线的长是41米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得：                                               ， 答：风筝的牵引线的长是41米． 21．（24-25八年级下·福建厦门·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务：测量墙体是否与地面垂直，即是否垂直于于点． 工具：足够多、足够长的无弹性绳子、剪刀． 某兴趣小组设计了如下两个方案： 方案一如图1，在射线上取一点，取两条等长的绳子（绳长大于），将两条绳子的一段固定在点处，分别往两侧拉直，至另一端分别交射线，于，两点，用叠合法比较与的长度，若，则于点，否则不垂直． 方案二如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到绳子的中点，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． (1)方案一的设计依据是______________________________________． (2)判断方案二是否可行．如果可行，请给出证明；若不可行，请说明理由． (3)请写出一个原理不同于上述两个方案的测量方案，并画出测量示意图． 【答案】(1)三线合一 (2)可行，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质证明． （1）根据等腰三角形的性质可得答案； （2）根据，可得：，，根据三角形内角和定理可证，从而可证； （3）结合勾股定理的逆定理进行设计即可. 【详解】（1）解：方案一的设计依据是等腰三角形的三线合一； （2）解：方案二可行，理由如下： 证明：如下图所示， ∵为的中点， ∴， ∵，则， ，， 又， ， ， ． （3）解：模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 证明如下： ∵，， ∴， ， ， . 题型八 无刻度尺作图 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先在上画点，使平分的面积；再在射线上画点．使； (2)如图2．点是与网格线的交点，先画的高；再在上画点．使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了格点作图，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定， （1）首先根据三角形中线平分三角形面积得到的中点即为所求的点D，然后利用网格的特点构造等腰直角三角形，即可得到； （2）延长到格点E，取格点G，连接，与的交点即为点F；取格点H，连接与网格线的交点为M，连接与的交点即为所求点Q． 【详解】（1）解：如图所示，点D，E即为所求； （2）解：如图所示，，点Q即 所求． 由网格可得， ∴即为的高； 由网格可得，，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴点Q即为所求． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）由三角形面积公式可得答案； （2）取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求； （3）取格点G，连接交于E，点E即为所求； （4）取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求． 解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理和网格的特征． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求，如图： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取格点G，连接交于E，点E即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 24．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知四边形是等腰梯形，其中，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作出四边形的对称轴； (2)如图2，M为上任意一点，在上找出点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰梯形、等腰三角形的性质，轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质， （1）根据等腰梯形的性质和三角形的判定及性质可得直线即为等腰梯形的对称轴； （2）根据等腰梯形的性质得和，结合轴对称的性质得，即可知，则有成立． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作． 题型九 全等模型 25．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，令交于点O， ， ， ， ， ． 26．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 27．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长__________（写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，是的中线，交于，交于．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图③，在和中，，且，连接为中点，连接并延长交于，则__________． 【答案】（1）3或5；（2），理由见解析；（3）6 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型十 折叠问题 28．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 29．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①对，理由见解析；②或 【分析】先求出，，，当时，，在中可求出，由翻折的性质得，，则点A，D，E在同一条直线上，由此可得的长； 设，，由翻折的性质得，，则，，进而得，当时，则，进而得，则，由此可对小邕的说法进行判断； ②设，由①得，，，进而得，，则为，再求出，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：ⅰ时，则，即，由此解出，进而可得的度数；ⅱ当时，则，即，由此解得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， 由勾股定理得：， 当时， ， 是直角三角形， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 由翻折的性质得：，， ， 点A，D，E在同一条直线上， ； （2）①小邕的说法对，证明如下： 设，， 由翻折的性质得：，， ， 在中，， ， 在中，由翻折得， 当时，则， 在中，， ， 又， ， 是等边三角形； ②设， 由①可知：，，， 在中，， 是的外角，， ， ， 是的外角， ， ， ， 当是等腰三角形时，有以下两种情况： ⅰ当时，则， ， 解得：， ； ⅱ当时，则， ， 解得：， ， 综上所述：当是等腰三角形时，的度数是或 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在中，，，则的面积为______． 问题探究 （2）如图2，在中，，，，D是边上一点，且满足，求的面积． 问题解决 （3）如图3，一件美术工艺品的制作过程如下：在中，，，，E是边的中点，N是边上一点，将沿折叠至，点C的对应点为，连接，．要使工艺品符合制作要求，的面积要最大，求的面积的最大值． 【答案】（1）12；（2）；（3）的面积最大值为． 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）过点分别作和的垂线，垂足分别为，推出四边形是矩形，证明，得到，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据对称的性质，和面积相等，再根据是中点，所以和面积也相等，所以和面积相等，所以求出到的最大距离即可求出最大面积． 【详解】解：（1）作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：12； （2）过点分别作和的垂线，垂足分别为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由翻折的性质可知，和全等， 和的面积相等， ∵E是边BC的中点， ∴和的面积相等， ∴和的面积相等， ∴和的面积相等， ∵，，， ∴， ∵E是边BC的中点， ∴， ∴当到的距离最大时，的面积最大， ∴当时，到的距离最大， 由翻折的性质可知，， 此时，的面积最大值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的乘法，全等三角形的判定和性质，掌握等积变换是本题解题的关键． 题型十一 等腰（全等）三角形动点求t 31．（20-21八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线－－－运动，设运动时间为． (1)在上是否存在点P，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若点P恰好在的角平分线上，于点M，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形且？求出此时的长． 【答案】(1)存在，s (2) (3)①，；②， 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理即可计算； （2）证明≌，在中运用勾股定理即可； （3）分两种情况讨论，当在上时和当在上时，结合等腰三角形的性质进行解题． 【详解】（1）解：由题意知，， 设存在点P，使得，此时，， 在中，， 即， 解得：， 故当时，； （2）解：∵平分， ∴， 在与中， ∴≌， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， 即， 解得：； （3）解：①当P在上时，， 即，解得：， 此时； ②当P在上时，过C作于F，如图： 若，则有， ， ∴， 解得：，， 此时， ； 综上所述，或时，； 当时，； 当时，． 32．（23-24八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在中，，，，平分交于点，．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，连接、、三点．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为___________，线段的长为___________； (2)当时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)13， (2)5秒 (3)秒或秒 【分析】本题是三角形综合题，主要考查勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是要分情况讨论． （1）利用勾股定理计算即可； （2）由得到，即可计算； （3）分两种情况讨论，可以求出t的值． 【详解】（1）解：∵，． ∴．． 故答案为：13，； （2）解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； （3）解：①当P在上时，作于M， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴（秒）． ②当P在上时， 由（1）知， ∵，， ∴， ∴点P运动的距离为：， ∴（秒）， ∴秒或秒． 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，中，，BD平分，于点B．动点P从点D出发沿线段DB以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿射线BE以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动． (1)求证：； (2)若是直角三角形，求t的值． (3)若，则t的值为______（直接写出答案，不要求书写求解过程）． 【答案】(1)见解析 (2)或． (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义得到，则，再利用含30度的直角三角形性质即可证明． （2）易求得，，，由题意得，，则，再分两种情况讨论：①点为直角顶点；②点为直角顶点．分别根据含30度角的直角三角形的性质列出方程，求解即可． （3）过点作于点，易得为含30度角的直角三角形，为等腰直角三角形，于是可得，，，再由列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 在中，， ， ． （2）解：在中，，， ，， ， ，， 由题意得：，，则， ①当是直角三角形，且点为直角顶点时，如图， ， ，即， 解得：； ②当是直角三角形，且点为直角顶点时，如图， ， ，即， 解得：． 综上，若是直角三角形，或． （3）解：如图，过点作于点， 当，即时，， ， 在中，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元一次方程，解（2）关键是根据直角的顶点不同画出图形进行分类讨论求解；解（3）关键是根据求出，进而求出，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 题型十二 新定义问题 34．（18-19七年级下·河南南阳·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（），不是；（）说明见解析；（）或 【分析】（）根据，得到，求得，得到，进而根据“和谐三角形”的定义即可判断； （）由是的一个外角，得到，求出，，即得，进而根据“和谐三角形”的定义即可求证； （）由，，得到，可以证明，得到，进而由得到，即得，得到，再根据得到，最后根据是“和谐三角形”解答即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”， 故答案为：，不是； （）∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或 ∵ ∴或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 35．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 【答案】(1)是 (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案； （2）①画的角平分线，交于点，线段即为所求，再证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案；②设，则，列出方程，解方程即可得出答案； （3）分和；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”， 故答案为：是； （2）解：①画的角平分线，交于点，线段即为所求，如图所示： ， 理由如下： ，， ， 平分， ， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”； ②设， 中，，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （3）解：当时，， ，； 当时，，， ，； 当的情况不存在； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“等角分割线”的定义，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解新定义“等角分割线”，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 36．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 1．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 2．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 3．小明同学看到了一个设计图（如图1)，他联系近期所学知识，将图形的一部分画成如图所示，点是等边内角平分线的交点，，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，连接，求出，，和为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，连接， ∵点是等边内角平分线的交点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 解得，， ， 故选：B． 4．如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 5．如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明．证明，得到，等边对等角，得到，进而推出，得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 7．如图，在中，点、分别是、边上的点，连接并延长交射线于点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，在（）的条件下，若，，求的度数； (3)如图，在（）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质等知识，解二元一次方程组，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （）由三角形内角和定理可证； （）设，，由三角形内角和定理列出方程组, 解得，即可求解； （）延长至，使得，连接，由“”可证，可得，，可得，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵，且， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由可得， ∴； （3）解：如图，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 8．【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质即可得出答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，进而得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9．为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的面积为或11． 【分析】本题考查的是三角形全等、面积的计算、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中，，垂直平分，则，即可求解； （2）证明，则，，则，进而求解； （3）当射线交线段于点E时，由，得到，当射线与直线的交点E在点C的右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：，理由： 在中，， ∵垂直平分，则， 即； （2）证明：过点A作交的延长线于点M，连接， 则，，， 而， 则， 则，， 则， 则中，， 同理可得：， ∴； （3）解：当射线交线段于点E时， ∵， ∴， 而，即， 解得：， 则， 则的面积； 当射线与直线的交点E在点C的右侧时，如下图， 同理可得：，即， 解得：，则， 则的面积； 综上，的面积为或11． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 68 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中真题百练通关（45题12大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 三角形面积问题 题型7 勾股定理的解决应用 题型2 三角形角平分线与折叠问题 题型8 无刻度尺作图 题型3 多解问题 题型9 全等模型 题型4 全等三角形动点问题 题型10 折叠问题 题型5 多结论问题 题型11 等腰（全等）三角形动点求t 题型6 最值问题 题型12 新定义问题 题型一 三角形面积问题 1．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 2．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点为线段上的点，且，已知，的面积分别为18和21，则的面积是（　　） A．36 B．48 C．82 D．84 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 题型二 三角形角平分线与折叠问题 4．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则 ． 题型三 多解问题 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 8．（25-26八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 题型四 全等三角形动点问题 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 11．（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　）    A．1cm B．2cm或 C．2cm D．1cm或 12．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．当P，Q，C三点共线时，t的值为 ． 题型五 多结论问题 13．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，角平分线、交于点I，交于点F，于点H，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（20-21八年级上·江苏·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，延长至点，使得，连接并延长，交的延长线于点，现给出以下结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 题型六 最值问题 16．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 18．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ． 题型七 勾股定理的解决应用 19．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）． (1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度； (2)在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？ 20．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 21．（24-25八年级下·福建厦门·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务：测量墙体是否与地面垂直，即是否垂直于于点． 工具：足够多、足够长的无弹性绳子、剪刀． 某兴趣小组设计了如下两个方案： 方案一如图1，在射线上取一点，取两条等长的绳子（绳长大于），将两条绳子的一段固定在点处，分别往两侧拉直，至另一端分别交射线，于，两点，用叠合法比较与的长度，若，则于点，否则不垂直． 方案二如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到绳子的中点，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． (1)方案一的设计依据是______________________________________． (2)判断方案二是否可行．如果可行，请给出证明；若不可行，请说明理由． (3)请写出一个原理不同于上述两个方案的测量方案，并画出测量示意图． 题型八 无刻度尺作图 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先在上画点，使平分的面积；再在射线上画点．使； (2)如图2．点是与网格线的交点，先画的高；再在上画点．使． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 24．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知四边形是等腰梯形，其中，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作出四边形的对称轴； (2)如图2，M为上任意一点，在上找出点，使． 题型九 全等模型 25．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 26．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 27．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长__________（写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，是的中线，交于，交于．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图③，在和中，，且，连接为中点，连接并延长交于，则__________． 题型十 折叠问题 28．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 29．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在中，，，则的面积为______． 问题探究 （2）如图2，在中，，，，D是边上一点，且满足，求的面积． 问题解决 （3）如图3，一件美术工艺品的制作过程如下：在中，，，，E是边的中点，N是边上一点，将沿折叠至，点C的对应点为，连接，．要使工艺品符合制作要求，的面积要最大，求的面积的最大值． 题型十一 等腰（全等）三角形动点求t 31．（20-21八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线－－－运动，设运动时间为． (1)在上是否存在点P，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若点P恰好在的角平分线上，于点M，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形且？求出此时的长． 32．（23-24八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在中，，，，平分交于点，．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，连接、、三点．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为___________，线段的长为___________； (2)当时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，中，，BD平分，于点B．动点P从点D出发沿线段DB以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿射线BE以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动． (1)求证：； (2)若是直角三角形，求t的值． (3)若，则t的值为______（直接写出答案，不要求书写求解过程）． 题型十二 新定义问题 34．（18-19七年级下·河南南阳·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 35．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 36．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 1．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 2．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．小明同学看到了一个设计图（如图1)，他联系近期所学知识，将图形的一部分画成如图所示，点是等边内角平分线的交点，，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 5．如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 6．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 7．如图，在中，点、分别是、边上的点，连接并延长交射线于点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，在（）的条件下，若，，求的度数； (3)如图，在（）的条件下，若，，求的长． 8．【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 9．为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $