专题03 期中真题百练通关 42题12大压轴题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题03 期中真题百练通关（42题12大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 绝对值化简问题 题型7 收费问题 题型2 规律问题——杨辉三角 题型8 阴影部分面积问题 题型3 新定义数问题 题型9 数轴动点求t问题 题型4 规律问题——循环周期 题型10 数轴新定义问题 题型5 规律问题——图形、数字 题型11 数轴折叠问题 题型6 定值问题 题型12 绝对值最值问题 题型一 绝对值化简问题 1．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）如果在数轴上表示三个实数的点的位置如图所示，且；化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）有理数a、b、c所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．c B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，当时，化简： ．（结果用含的代数式表示） 题型二 规律问题——杨辉三角 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（   ） A．153 B．171 C．190 D．210 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如果将（n为非负整数）的展开式每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： …… 观察上述每个式子的各项系数，我们可以得到如图所示的数表，这就是我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到的数表“杨辉三角”，他揭示了展开后的各项系数的规律．根据这个表，的展开式中所有项系数的和为（　　） A．128 B．256 C．512 D．108 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，发现其中的规律．若“杨辉三角”第十行各数之和为m，展开的多项式中各项系数之和为n，则 ． 题型三 新定义数问题 7．（2025·湖南衡阳·二模）定义：若一个整数能表示成（,是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（   ） A．41是奇妙数 B．（,是整数）一定是奇妙数 C．如果数,都是“奇妙数”，则也是“奇妙数” D．当时，（,是整数）是“奇妙数” 8．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 9．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知三位自然数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做“和方数”．例如：三位数123，，123是“和方数”；例如：三位数649，，649不是“和方数”；若是“和方数”，且（，是整数），把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定． （1） ． （2）已知数是“和方数”，若，则满足条件的的值是 ． 题型四 规律问题——循环周期 10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．（2025七年级上·河南郑州·专题练习）如图，已知正方形边长为4，甲、乙两动点分别从顶点，同时出发沿正方形的边开始运动，甲点按顺时针方向运动，乙点按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2022次相遇将在 边上． 题型五 规律问题——图形、数字 13．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 15．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 ★． 题型六 定值问题 16．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） 每个小长方形的较长边为； 阴影的较短边和阴影的短边之和为； 阴影和阴影的周长和为； 当时，阴影和阴影的面积和为定值． A．个 B．个 C．个 D．个 17．（24-25七年级上·福建莆田·期末）图1的小长方形纸片的长为4，宽为1，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，，，，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 18．（21-22七年级下·福建宁德·开学考试）将如图的8个小长方形纸片按右图所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割成两个长方形，面积分别为和，若小长形的长为b，宽为a，（），当不变而变长时，这8张长方形纸片还是按原来的方式放在新的长方形中，的值恒为定值，则 ．        题型七 收费问题 19．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表注（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过6立方米的部分 2 超过6立方米的部分但不超过10立方米的部分 4 超过10立方米的部分 8 (1)若某户居民2月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米（），则应收水费多少元？（用含x的式子表示） 20．（20-21七年级上·内蒙古赤峰·期中）内蒙古自治区赤峰市已经被列为水资源匮乏城市之一，赤峰市自来水公司对居民生活用水采取阶梯水费的收费方式，2020年赤峰市城区居民生活用水收费标准如下：第一阶梯户月用水量10立方米及以下，水价为每立方米2.63元；第二阶梯户月用水量10立方米以上至12立方米之间，水价为每立方米3.95元；第三阶梯户月用水量为12立方米及以上，水价为每立方米7.89元． (1)小明家五月份用水立方米（），用含有m的代数式表示小明家五月份应该交的水费； (2)小华家五月份用水n立方米（），用含有的代数式表示小华家五月份应该交的水费； (3)小东家五月份用水15立方米，请计算该家庭五月份应该交多少水费？ (4)通过上述计算，请你对家庭生活用水说一句警示的话． 21．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5 元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： (1)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为28公里，行车时间为5分钟，需付车费 ． (2)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（）公里，行车时间为b（）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） (3)若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18 公里，行车时间为 20分钟，则需付车费多少元？ 题型八 阴影部分面积问题 22．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块．除阴影A､B外，其余5块是形状､大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)用含x的代数式表示阴影A的长为___________，阴影B的宽为___________； (2)求阴影A的周长比阴影B的周长多多少？ 23．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 24．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 题型九 数轴动点求t问题 25．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动到达A点，再从A点向右移动到达B点，点C是线段的中点． (1)点B表示的数是______；点C表示的数是______． (2)若点A以每秒的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①运动t秒时，点C表示的数是______（用含有t的代数式表示）； ②当秒时，的值为______； ③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段与总有怎样的数量关系？ 26．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 27．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 题型十 数轴新定义问题 28．（24-25七年级上·全国·假期作业）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 29．（23-24七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 30．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 题型十一 数轴折叠问题 31．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数______的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当时，直接写出x的值． 32．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 33．（24-25七年级上·福建三明·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如图操作探究： (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合． (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①那么数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数m的点与表示数______的点重合（用含m的代数式表示）； ②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______、______． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请求出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式表示）． 题型十二 绝对值最值问题 34．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 35．（19-20七年级上·四川成都·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点都在原点的右边，； ②如图丙，点都在原点的左边， ③如图丁，点在原点的两边， 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和 的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点分别是点和，则之间的距离是 ，如果，那么 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (4)当代数式的最小值． 36．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 1．我国传统文化博大精深，八卦图可以用来表示二进制数，其中“”表示0，“”表示1，则将八卦符号表示成二进制数，再转换为十进制数可得（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．三个长方形的长都为a，宽都为b，图1中内部空白部分为半圆；图2中2个圆完全相同；图3中8个圆完全相同，三个图形中阴影部分的面积分别记为，，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：当，时， A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 3．徐州苏宁广场是徐州市地标性建筑物之一，最高的是A座，地上有61层，还有地下一层，通常叫负1楼，总高度达到266米，楼里面每台电梯无论上楼还是下楼，平均每层楼耗电度．2024年中秋假期，王子腾先是从一楼来到顶楼61楼餐厅就餐，紧接着跟着同学下到负一楼取个东西，两人又来到30楼某个门店，最后回到一楼，全程都是坐电梯．那么王子腾在此期间坐电梯一共用电 度． 4．对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”，将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为，；5621是“顺利数”，因为，，则 ．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中，、，x、y、a、b均为整数），若能被8整除，，则所有可能的值的和为 ． 5．第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽图主题图案中的卦图用的是我国古代的计数符号，八卦中称为阳爻，对应数字，称为阴爻，对应数字，这样，图从左起第一个符号表示的二进制数为．      (1)请分别写出图从左起第二、三、四个符号表示的二进制数 、 、 ． (2)大会标识中的记数符号由四个二进制数组成． ①将它们分别转换为八进制数得到一个四位数，求这个四位数 ②将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，求这个十进制数． (3)在祖国母亲周年华诞之际，小明计划制作一份手抄报，希望以八卦符号的形式呈现新中国成立的年份，请结合上述知识，帮助小明在图中画出该八卦符号，样式参考图． 6．王老师善于通过适当的大单元教学方式帮助同学们结构化梳理知识与方法，形成大观念的思维方法．下面是王老师在“图形蕴含的规律及其运用”主题整合时所设计的问题，请你解答． 观察发现 （1）如图，在同一平面内，根据“两点确定一条线段”这一基本事实画线段，线段的总条数与点的位置无关，而是随着点的个数的变化而变化．观察并思考每个图形中线段的总条数s与点的个数n之间的关系，当时， ________，据此猜想n与s之间的关系式是________．（用含n的代数式表示s，，且n为整数）                        …… 探究迁移 （2）某学校2024年国庆节前夕，为了庆祝中华人民共和国成立七十五年，厚植家国情怀，举行诵唱祖国歌咏比赛．七（6）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两名学生击掌一次）祝贺获奖，活动结束后该班同学又互发祝福信息．如果该班有x名同学，那么共击掌________次，共发送祝福信息________条．（用含x的代数式表示） 拓展应用 （3）“小学毕业季，升入初中时．”今年6月份，某小学六年级毕业班为了留住美好时刻，计划给班内45名同学拍毕业照，全体同学与6位科任老师拍一张集体照，23名男同学每两名拍一张留念照，女同学每两名也拍一张留念照．为了使每个人都能得到有自己的那些照片，拍照结束后至少需要打印多少张照片？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期中真题百练通关（42题12大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 绝对值化简问题 题型7 收费问题 题型2 规律问题——杨辉三角 题型8 阴影部分面积问题 题型3 新定义数问题 题型9 数轴动点求t问题 题型4 规律问题——循环周期 题型10 数轴新定义问题 题型5 规律问题——图形、数字 题型11 数轴折叠问题 题型6 定值问题 题型12 绝对值最值问题 题型一 绝对值化简问题 1．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）如果在数轴上表示三个实数的点的位置如图所示，且；化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义及化简．根据绝对值的代数意义去绝对值符号，再合并化简． 【详解】解：由数轴知：． ∴． ∴原式， 故选：A． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）有理数a、b、c所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，整式的加减计算，根据数轴得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，当时，化简： ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，整式的加减，根据数轴可确定，进一步确定两数的符号及大小，进而确定化简式子中各个绝对值中代数式的符号，进而可化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴，，， ∴ ； 故答案为：． 题型二 规律问题——杨辉三角 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（   ） A．153 B．171 C．190 D．210 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，，然后根据规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由规律可得，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，， ， 第37个数是奇数项的第19个， 第37项是． 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如果将（n为非负整数）的展开式每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： …… 观察上述每个式子的各项系数，我们可以得到如图所示的数表，这就是我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到的数表“杨辉三角”，他揭示了展开后的各项系数的规律．根据这个表，的展开式中所有项系数的和为（　　） A．128 B．256 C．512 D．108 【答案】A 【详解】本题考查了杨辉三角，数字类的变化规律，直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案，通过观察得到系数的规律是解题的关键． 【解答】解：的展开式中所有项系数的和为， 的展开式中所有项系数的和为， 的展开式中所有项系数的和为， …， ∴的展开式中所有项系数的和为， ∴的展开式中所有项系数的和为． 故选：A． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，发现其中的规律．若“杨辉三角”第十行各数之和为m，展开的多项式中各项系数之和为n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化规律，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．通过观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现展开的多项式中各项系数之和为 【详解】解：观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现， 当时，展开的多项式中各项系数之和为2，即； 当时，展开的多项式中各项系数之和为4，即； 当时，展开的多项式中各项系数之和为8，即； 当时，展开的多项式中各项系数之和为16，即；… 可以发现，展开的多项式中各项系数之和为 因此，展开的多项式中各项系数之和为， “杨辉三角”第十行各数之和， ∴， 故答案为：． 题型三 新定义数问题 7．（2025·湖南衡阳·二模）定义：若一个整数能表示成（,是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（   ） A．41是奇妙数 B．（,是整数）一定是奇妙数 C．如果数,都是“奇妙数”，则也是“奇妙数” D．当时，（,是整数）是“奇妙数” 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的整式运算和实数运算，完全平方公式等知识点，解题的关键是理解题意，对多项式进行变形． 按照“奇妙数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以41是“奇妙数”，该选项正确，不符合题意； B. ，该多项式不是“奇妙数”，该选项错误，符合题意； C. ∵数,都是“奇妙数”， ∴,都是整数，则也为整数， ∴满足（,是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意； D. 当时， ， 满足（,是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意； 故选：B． 8．（25-26七年级上·全国·期中）a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 9．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知三位自然数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做“和方数”．例如：三位数123，，123是“和方数”；例如：三位数649，，649不是“和方数”；若是“和方数”，且（，是整数），把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定． （1） ． （2）已知数是“和方数”，若，则满足条件的的值是 ． 【答案】 18 633 【分析】本题主要考查对“和方数”的定义理解，以及根据条件筛选符合条件的数并进行计算．关键在于理解百位与个位数字之和等于十位数字的平方，并结合的整除性条件进行分析． 【详解】解：（1）； （2） ∴ 题型四 规律问题——循环周期 10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出在数轴上，与正方形上表示数字0，2，4，6的点重合的点所表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴在数轴上，与正方形上表示数字6的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字0的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字2的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字4的点重合的点所表示的数依次是3，，，，， ∵， ∴数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是2， 故选：B． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了归纳推理、尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式． 通过观察的末位数字规律，发现每个为一个周期循环，依次为；通过计算除以的余数，确定其对应的位置即可得到答案． 【详解】解：观察可得，个位数字按循环，周期为． ， 对应循环中的第个数字，即． ∴的个位数字是， 故选：A． 12．（2025七年级上·河南郑州·专题练习）如图，已知正方形边长为4，甲、乙两动点分别从顶点，同时出发沿正方形的边开始运动，甲点按顺时针方向运动，乙点按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2022次相遇将在 边上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查行程问题中环形相遇问题，掌握找规律的方法并表示出第次相遇时所用时间是解决本题的关键． 用设数法先求出第一次，第二次，第三次相遇时所用的时间，找规律并表示出第2022次相遇时所用的时间，再计算其中一人走的总路程最后判断相遇的位置． 【详解】解：设甲的速度为，那么乙的速度为， 由题意得：第一次相遇时所需时间为：， 第二次相遇时所用时间为：， 第三次相遇时所用时间：， 第四次相遇时所用时间：， ， ∴第2022次相遇所用时间：， 甲走的总路程为：， ， ， 所以此时甲在上． 故答案为：． 题型五 规律问题——图形、数字 13．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律，发现数字规律是解题的关键． 观察数列规律，分母为n的项连续出现n次．计算前n项和，确定第200项所在的分母组即可解答． 【详解】解：数列中分母为n的项有n个，总项数到分母n时为：． 由题意可得，则当时，；当时，． 因此，第191至210项对应分母20，第200项在分母20的组内，值为． 故选D． 14．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【详解】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 15．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 ★． 【答案】28 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形中★的个数为、、、，即每一个图形都比它前面一个图形多3个，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个图形中有个★， 第2个图形中有个★， 第3个图形中有个★， 第4个图形中有个★， 归纳类推得：第个图形中有个★，其中为正整数， 则第9个图形中有个★， 故答案为：28． 题型六 定值问题 16．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） 每个小长方形的较长边为； 阴影的较短边和阴影的短边之和为； 阴影和阴影的周长和为； 当时，阴影和阴影的面积和为定值． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法正确；由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影B的较短边之和为，说法正确；由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，说法正确；由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法正确，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法正确； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影的较短边为，阴影的较短边为， ∴阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法正确； ∵阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， ∴阴影的周长为，阴影的周长为， ∴阴影和阴影的周长之和为，说法正确； ∵阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， ∴阴影的面积为，阴影的面积为， ∴阴影和阴影的面积和为， ∴当时，，说法正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 17．（24-25七年级上·福建莆田·期末）图1的小长方形纸片的长为4，宽为1，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，，，，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是正确理解题意，根据图形得出的表达式．设，根据图形可得左上角长方形的长为，宽为，右下角长方形的长为，宽为，再根据长方形周长公式和面积公式将分别表示出来，可得①，不是定值；②，是定值；③，不是定值，④，是定值，即可进行解答． 【详解】解：设， 由图可知： ，， ，， ①，不是定值，不符合题意； ②，是定值，符合题意； ③，不是定值，不符合题意； ④，是定值，符合题意； 综上，是定值的有2个； 故选：C． 18．（21-22七年级下·福建宁德·开学考试）将如图的8个小长方形纸片按右图所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割成两个长方形，面积分别为和，若小长形的长为b，宽为a，（），当不变而变长时，这8张长方形纸片还是按原来的方式放在新的长方形中，的值恒为定值，则 ．        【答案】5 【分析】用含的代数式表示阴影部分的长与宽，再根据面积的计算方法结合和的值始终相等，可得满足的关系式． 【详解】解：设长方形的长为x， 面积为的阴影部分的长为，宽为， ∴， 面积为的阴影部分的长为，宽为， ∴， ∵和的值始终相等， ，即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列代数，理解图形中各个长方形边长之间的关系是正确解答的关键． 题型七 收费问题 19．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表注（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过6立方米的部分 2 超过6立方米的部分但不超过10立方米的部分 4 超过10立方米的部分 8 (1)若某户居民2月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米（），则应收水费多少元？（用含x的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)当时，应收水费元，当时，应收水费元． 【分析】本题主要考查列代数式及代数式求值． （1）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算； （2）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算； （3）利用用水量的范围确定单价分段计算． 【详解】（1）解：由题意得，水费元， 答：该户居民2月份用水立方米，则应收水费元． （2）解：由题意得，水费（元） 答：该户居民3月份用水立方米，则应收水费元． （3）解：当时，则应收水费（元）， 当时，则应收水费（元）， 答：该户居民4月份共用水x立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元． 20．（20-21七年级上·内蒙古赤峰·期中）内蒙古自治区赤峰市已经被列为水资源匮乏城市之一，赤峰市自来水公司对居民生活用水采取阶梯水费的收费方式，2020年赤峰市城区居民生活用水收费标准如下：第一阶梯户月用水量10立方米及以下，水价为每立方米2.63元；第二阶梯户月用水量10立方米以上至12立方米之间，水价为每立方米3.95元；第三阶梯户月用水量为12立方米及以上，水价为每立方米7.89元． (1)小明家五月份用水立方米（），用含有m的代数式表示小明家五月份应该交的水费； (2)小华家五月份用水n立方米（），用含有的代数式表示小华家五月份应该交的水费； (3)小东家五月份用水15立方米，请计算该家庭五月份应该交多少水费？ (4)通过上述计算，请你对家庭生活用水说一句警示的话． 【答案】(1)元 (2)元 (3)元 (4)我们城市水资源匮乏，得来不易，请节约用水 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意、准确计算是解题的关键； （1）根据第一阶梯户月用水量10立方米及以下的收费方式列出代数式求解即可； （2）根据第三阶梯户月用水量为12立方米及以上的收费方式列出代数式求解即可； （3）把15代入（2）中的代数式求解即可； （4）可从节约用水的角度进行说明. 【详解】（1）解：当时，小明家五月份应该交的水费为：元； （2）解：当时，小华家五月份应该交的水费为： 元； （3）解：因为, 所以小东家五月份应该交水费：元； （4）解：我们城市水资源匮乏，得来不易，请节约用水. 21．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5 元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： (1)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为28公里，行车时间为5分钟，需付车费 ． (2)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（）公里，行车时间为b（）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） (3)若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18 公里，行车时间为 20分钟，则需付车费多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，化简代数式，代数求值等，解题的关键是理解题意． （1）根据收费方式，列出代数求值即可； （2）根据收费方式，列出代数式，然后化简即可； （3）根据（2）中的代数式，将代入求值即可． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以，应付车费元； （3）解：由（2）得，当时， （元） 所以，需付车费元． 题型八 阴影部分面积问题 22．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块．除阴影A､B外，其余5块是形状､大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)用含x的代数式表示阴影A的长为___________，阴影B的宽为___________； (2)求阴影A的周长比阴影B的周长多多少？ 【答案】(1)20， (2)阴影A的周长比阴影B的周长多 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用： （1）根据图形得到阴影A的长为大长方形的长减去3个小长方形的宽，阴影B的宽为大长方形的长减去阴影A的长，列出代数式即可； （2）求出阴影A的宽和阴影B的长，进而求出两个阴影的周长，相减即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知：阴影A的长为， 阴影B的宽为； 故答案为：20，； （2）由图可得阴影A的宽为， 所以阴影A的周长为． 由图可得阴影B的长为， 所以阴影B的周长为． ， 所以阴影A的周长比阴影B的周长多． 23．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，有理数的运算． （1）根据题意先表示出①至⑥的面积，再总结规律即可作答； （2）结合（1）的规律，即可作答； （3）结合（1）的规律，即可作答. 【详解】（1）解：①的面积为， ②的面积为， ③的面积为， ④的面积为， ⑤的面积为， ⑥的面积为， 阴影面积与⑥的面积相等，即为； （2）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：， 故答案为：； （3）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成2024个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：． 24．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（）根据图形列出代数式即可； （）根据图形表示出，再根据（）求出即可求证； 本题考查了列代数式，整式加减的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，，； （2）证明：由图可得，， ∵， ∴． 题型九 数轴动点求t问题 25．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动到达A点，再从A点向右移动到达B点，点C是线段的中点． (1)点B表示的数是______；点C表示的数是______． (2)若点A以每秒的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①运动t秒时，点C表示的数是______（用含有t的代数式表示）； ②当秒时，的值为______； ③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段与总有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)①②③ 【分析】本题考查数轴上的动点问题，列代数式，整式的加减运算，熟练掌握点的移动规则，以及两点间的距离是解题的关键： （1）根据点的移动规则，左减右加，求出点和点表示的数，中点求出点表示的数即可； （2）①根据路程等于速度乘以时间，结合点的移动规则，列出代数式即可； ②求出时，的长，进行计算即可； ③分别表示出和的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为：；点表示的数为； ∵点C是线段的中点， ∴点表示的数为； （2）①点表示的数为； ②当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴； ③由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 故． 26．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)不变，值为，理由见解析． 【分析】本题考查了数轴，绝对值非负性，整式的加减，有理数的分类，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，，又是最小的正整数，则，从而求解； （）根据折叠的性质进行解答即可得； （）根据题意可得，秒钟后，点表示，点表示，点表示，，，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕与数轴的交点所表示的数为，点与数对应的点重合， 故答案为：，； （3）解：不变，值为， 由题意可得秒钟后点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴． 27．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，9 (2) (3)；； (4)不变， 【分析】本题考查了列代数式、偶次方、绝对值等非负数的化简及代数式的化简，明确题意，正确列式是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性可解； （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则可知对折点所表示的数，进而可得点C与数哪个数表示的点重合； （3）根据数轴上的点向左运动用减法，向右运动用加法，按照题意计算即可； （4）将（3）中数据代入计算，结果为定值． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 解得，． 故答案为：，9； （2）因为，．将数轴折叠后，A点与B点重合， 可知折叠的中点距离A点和B点相同， 则折叠的中点为1， 所以此时点C与表示的点重合． 故答案为：； （3）点A、B、C开始时的位置分别是，3，9， t秒后，A：，B：，C：， ， ， ． 故答案为：；；； （4）． 故的值不随着时间t的变化而变化． 题型十 数轴新定义问题 28．（24-25七年级上·全国·假期作业）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 【答案】(1)① ，②或 (2)或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1 ）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2 ）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】（1）解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）解：∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 29．（23-24七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）求出表示的数，再画图即可； （2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图：    （2）①点表示的数为， 故答案为：； ②不存在恰好与原点重合，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 30．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 题型十一 数轴折叠问题 31．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数______的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当时，直接写出x的值． 【答案】(1)； (2)①；②A点表示的数是，B点表示的数是7；③或8． 【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论； （2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2； ①设9表示的点所对应点表示的数为y，根据中点坐标公式列方程可得y的值，可得结论； ②根据折叠的性质可得结论； ③根据列出方程，求解方程可得出x的值． 本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值的意义，有理数的混合运算，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键． 【详解】（1）解：折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为， 则表示4的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，折叠点对应的数为， ①设表示9的点与表示y的点重合，于是有，解得， 即表示9的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点A表示的数为， 点B表示的数为， 答：A点表示的数是，B点表示的数是7； ③∵， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，x的值为或8． 32．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 33．（24-25七年级上·福建三明·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如图操作探究： (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合． (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①那么数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数m的点与表示数______的点重合（用含m的代数式表示）； ②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______、______． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请求出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①6，；②， (3)图③剪切处对应的点所表示的数为或 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）①折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可； ②根据A、B间的距离和中间数求解即可； （3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值． 【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：①折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， 与2之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：； m与2之间的距离为：，则表示与m的点重合的点为：； 故答案为：6，； ②∵数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合， ∴A表示的数为，B表示的数为， 故答案为：，； （3）解：如图，由题意得，， ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 题型十二 绝对值最值问题 34．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或4；（2），7；（3）实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义即可得解； （2）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （3）A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）由题可知式子在数轴上的几何意义数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离， ∴表示数轴上x到的距离加上x到3的距离等于7， ∵， ∴表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧或表示有理数3的点右侧， 当表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧时，， 解得：； 当表示有理数x的点一定在表示有理数3的点的右侧时，， 解得：； 综上，或4； （2）∵表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为： ； （3）设市民广场O为原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x，A、B、C在数轴上分别表示，1，3， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人， ∴运输距离为：， ∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点，与表示有理数1的点，与表示有理数3的点之间的距离的和， ∴由（2）得，在之间才能取最小值，最小值为： ， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， ∴此时最低成本为12元， 即实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 35．（19-20七年级上·四川成都·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点都在原点的右边，； ②如图丙，点都在原点的左边， ③如图丁，点在原点的两边， 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和 的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点分别是点和，则之间的距离是 ，如果，那么 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (4)当代数式的最小值． 【答案】(1)3；3；4 (2)，1 或 (3) (4)90 【分析】本题考查绝对值的意义；能够熟练掌握绝对值的意义，将绝对值问题转化为两点距离问题，借助数轴求解是解题的关键. （1）由绝对值表示的距离的意义，直接代入公式即可求解； （2）由绝对值表示的距离的意义，直接代入公式即可求解； （3）表示点到与的距离和， 当取最小值时， 在与之间； （4）表示到的距离，所以当到的距离等于到的距离时， 取最小值. 【详解】（1）解：与两点距离为； 和的两点之间的距离为； 和的两点之间的距离为； 故答案为：， ， （2）解：和的两点距离为； 时， 或， ∴或； 故答案为， 或； （3）解：表示点到与的距离和， 当取最小值时， 在与之间，即； 故答案为：； （4）解：∵表示到的距离， ∴当到的距离等于到的距离时， 取最小值，最小值． 36．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)6 (3)8， (4)90 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）根据题意，得，得到时， 取得最小值，解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵， ∴， ∴的最小整数值是， 故答案为：． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：6． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和， ∴， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：8，． （4）解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和， 即． 故答案为：90． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 1．我国传统文化博大精深，八卦图可以用来表示二进制数，其中“”表示0，“”表示1，则将八卦符号表示成二进制数，再转换为十进制数可得（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】 本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据题意可得将八卦符号表示成二进制数为，转换成十进制数的结果即可得到答案． 【详解】 解：根据题意可得，将八卦符号表示成二进制数为，再转换为十进制数可得， 故选：D 2．三个长方形的长都为a，宽都为b，图1中内部空白部分为半圆；图2中2个圆完全相同；图3中8个圆完全相同，三个图形中阴影部分的面积分别记为，，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：当，时， A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式及其应用，涉及了长方形与圆的面积公式，阴影部分的面积是两种图形面积的差．此题是代数式在实际生活中的应用． 图1中阴影部分的面积是长方形与半圆的差；图2中为长方形与两个小圆的差；图3中为长方形与八个小圆的差；分别求出它们的值后再比较即可得到结论． 【详解】解：由图1可得，，故结论Ⅰ错误； 由图2，3可得，， ∴当，时，， 故结论Ⅱ正确， 故选：B． 3．徐州苏宁广场是徐州市地标性建筑物之一，最高的是A座，地上有61层，还有地下一层，通常叫负1楼，总高度达到266米，楼里面每台电梯无论上楼还是下楼，平均每层楼耗电度．2024年中秋假期，王子腾先是从一楼来到顶楼61楼餐厅就餐，紧接着跟着同学下到负一楼取个东西，两人又来到30楼某个门店，最后回到一楼，全程都是坐电梯．那么王子腾在此期间坐电梯一共用电 度． 【答案】 【分析】根据题意，计算一共有（层），结合每层楼耗电度．计算解答即可． 本题考查了小数的乘法，熟练掌握小数的乘法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，（层），（层），（层）（层） 又每层楼耗电度． 故（度）． 故答案为：． 4．对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”，将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为，；5621是“顺利数”，因为，，则 ．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中，、，x、y、a、b均为整数），若能被8整除，，则所有可能的值的和为 ． 【答案】 44 【分析】本题以新定义为背景，考查了整式的运算，因式分解，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给“顺利数”的定义．对于，直接根据新定义求解即可；对于：先根据题意，得出，，再将化简，根据能被8整除，得出x和y的值，最后进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：； 设A的百位数为m，十位数为n， 则， ∴， ∴ ， ∵A为“顺利数”， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 整理得：， ∵能被8整除，，x、y均为非0整数， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∵、，a、b均为整数， ∴， ， ∴，解得，此时， 或，解得，此时， 或，解得（不合题意，舍去）， 或，解得，此时， ∴所有的可能值的和为， 故答案为：44；． 5．第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽图主题图案中的卦图用的是我国古代的计数符号，八卦中称为阳爻，对应数字，称为阴爻，对应数字，这样，图从左起第一个符号表示的二进制数为．      (1)请分别写出图从左起第二、三、四个符号表示的二进制数 、 、 ． (2)大会标识中的记数符号由四个二进制数组成． ①将它们分别转换为八进制数得到一个四位数，求这个四位数 ②将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，求这个十进制数． (3)在祖国母亲周年华诞之际，小明计划制作一份手抄报，希望以八卦符号的形式呈现新中国成立的年份，请结合上述知识，帮助小明在图中画出该八卦符号，样式参考图． 【答案】(1)、、 (2)①；② (3)见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握进位制的转换方法是解题的关键． （1）根据题意，八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，按二进制表示出第二个符号表示的数即可； （2）先根据（1）所求把对应的二进制数数转换为十进制数，再把对应的十进制数转换为八进制数即可； （3）将先转化为八进制，再转化为二进制即可．． 【详解】（1） 解：∵八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0， ∴图2中，从左起第二个符号表示的二进制数为，第三个符号表示的二进制数为，第四个符号表示的二进制数为， 故答案为：、、． （2）解：用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 故这个四位数是． 因为． 故这个十进制数是． （3）解：新中国成立的年份为， 因为， 又因为，，， 所以八卦符号如图所示： 6．王老师善于通过适当的大单元教学方式帮助同学们结构化梳理知识与方法，形成大观念的思维方法．下面是王老师在“图形蕴含的规律及其运用”主题整合时所设计的问题，请你解答． 观察发现 （1）如图，在同一平面内，根据“两点确定一条线段”这一基本事实画线段，线段的总条数与点的位置无关，而是随着点的个数的变化而变化．观察并思考每个图形中线段的总条数s与点的个数n之间的关系，当时， ________，据此猜想n与s之间的关系式是________．（用含n的代数式表示s，，且n为整数）                        …… 探究迁移 （2）某学校2024年国庆节前夕，为了庆祝中华人民共和国成立七十五年，厚植家国情怀，举行诵唱祖国歌咏比赛．七（6）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两名学生击掌一次）祝贺获奖，活动结束后该班同学又互发祝福信息．如果该班有x名同学，那么共击掌________次，共发送祝福信息________条．（用含x的代数式表示） 拓展应用 （3）“小学毕业季，升入初中时．”今年6月份，某小学六年级毕业班为了留住美好时刻，计划给班内45名同学拍毕业照，全体同学与6位科任老师拍一张集体照，23名男同学每两名拍一张留念照，女同学每两名也拍一张留念照．为了使每个人都能得到有自己的那些照片，拍照结束后至少需要打印多少张照片？ 【答案】（1）15；；（2），；（3）1019张 【分析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据前面几个图形的计算方法进行计算即可； （2）由（1）得出的规律进行计算即可； （3）由（1）得出的规律结合题意进行计算即可． 【详解】解：（1）当时，， 据此猜想n与s之间的关系式是．（用含n的代数式表示s，，且n为整数）， 故答案为：15；； （2）该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条． 故答案为：，； （3）由题意得：（张）， 所以拍照结束后至少需要打印1019张照片． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $