八年级数学上学期期中模拟卷02（范围：三角形+特殊三角形+一元一次不等式）八年级数学上学期新教材浙教版

2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B A A B B B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．0.4≤x≤0.9 12．∠ABE 13．或 14．2 15．60° 16．1或3 三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 【解答】解：（1）移项，得：5x﹣3x＞1+2， 合并同类项，得：2x＞3， 系数化为1，得：x＞1.5； ………………………………………………4分 （2）解不等式2x+3＞2（2﹣x），得：x， 解不等式1，得：x≤1， 则不等式组的解集为x≤1．………………………………………………8分 18．（8分） 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； …………………………2分 （2）如图，△A2B2C2即为所求； ………………………………4分 （3）如图，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，则点P即为所求；…………6分 （4）△ABC的面积为：，……………………8分 故答案为：5.5． 19．（8分） 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（AAS）． …………………………………………4分 （2）解：∵∠BEC＝90°，∠EBC＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝55°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝55°﹣35°＝20°， ∴∠ABE的度数是20°． ………………………………………………8分 20．（8分） 【解答】解：（1）∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBCABC，∠ACBACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）＝45°， ∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°； …………………………………………4分 （2）∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠DEB， ∵DF∥BC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴BD＝ED， 同理EF＝FC， ∵△ABC与△ADF的周长分别为24和15， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AD+BD+AF+CF+BC， △ADF的周长＝AD+AF+DE＝AD+DE+AF+CF， ∴BC＝△ABC的周长﹣△ADF的周长＝24﹣15＝9． ………………………………8分 21．（8分） 【解答】解：（1）线段AE与BE的长相等，理由如下： 连接CE， ∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴BD＝CD， ∴AD为BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE＝CE， 又∵线段AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F， ∴AE＝CE， ∴AE＝BE； ……………………………………………………4分 （2）∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴， ∵AD是BC边上的高， ∴AD平分∠BAC， ∴， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE＝20°， ∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝50°． …………………………………………8分 22．（10分） 【解答】解：（1）由题意知，DE＝AB＝1.5，AD＝15，AC＝25，∠ADC＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ∴CE＝CD+DE＝21.5， ∴CE为21.5m； ……………………………………………………5分 （2）由题意知，∠C′AD′＝45°，∠C′D′A＝90°，AD′＝12， ∴∠AC′D′＝45°＝∠C′AD′， ∴C′D′＝AD′＝12， 在直角三角形AC′D′中，由勾股定理得：，………………10分 ∴此时小明的风筝线收回了米． 23．（10分） 【解答】解：（1）∵x＞2的解都不是x＜﹣3的解， ∴x＞2是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x＜﹣2的解有可能是x＜﹣3的解， ∴x＜﹣2不是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x≥﹣3的解都不是x＜﹣3的解， ∴x≥﹣3是x＜﹣3的“相斥不等式”； 故答案为：①③； ……………………………………3分 （2）解不等式3x+a≤4得， 解不等式2﹣3x＜0得， 解不等式得x≥﹣2， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：a＞10； …………………………………………6分 （3）∵x≥4是关于x的不等式kx+3＞0的“相斥不等式”， ∴k＜0， 解不等式kx+3＞0得， ∴4， 解得：k． ………………………………………………10分 24．（12分） 【解答】（1）证明：Ⅰ．∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠COD＝∠COE＝60°， 又∵OF＝OC， ∴△CFE为等边三角形， ∴∠COD＝∠CFE＝60°＝∠OCF，CF＝OC， ∵∠DCE＝60°， ∴∠DCO＝60°﹣∠OCE＝∠ECF， 又∵CF＝OC，∠COD＝∠CFE， 在△COD和△CFE中， ， ∴△COD≌△CFE（ASA）， 故答案为：①②； ……………………………………………………3分 Ⅱ．∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB， ∴CN＝CM， ∵∠AOB＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠CEO+∠CDO＝180°， 又∵∠CDM+∠CDO＝180°， ∴∠CDM＝∠CEO， 在△CMD和△CNE中， ， ∴△CMD≌△CNE（AAS）， ∴∠MCD＝∠ECN， 故答案为：②③； ……………………………………………………6分 （2）①证明：如图4，作CF⊥OC交OB于点F， ∴∠AOB＝∠DCE＝∠OCF＝90°， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2． 又∵OC平分∠AOB， ∴∠4＝∠5＝45°， ∴∠6＝90°﹣45°＝45°＝∠5＝∠4， ∴CO＝CF． ∵∠1＝∠2，CO＝CF，∠4＝∠6， ∴△CDO≌△CEF（ASA）， ∴OD＝FE， 由勾股定理可得：OC2+CF2＝2OC2＝OF2， 即， ∴． ……………………………………………………9分 ②解：如图2， 同理可得：△DMC≌△ENC（ASA）， 设CM＝x，则OM＝ON＝x， ∴， ∴， 解得， 即，． 在Rt△DMC中，由勾股定理得．…………………………………12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $三 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.Al[BIICIDI 5.Al[BIICI[D 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICIIDI 6.1A]IBIICIIDI 10.[AJIB]ICIID] 3.[AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 4.1A]IBIICIID] 8.1A]IB]IC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 12. 14 15. 16 和脑口h脂后华山你体n:m么T山阳宀上从体内T效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共8个小邀，共儿分.胼合应与出义子况明，址明心在叱异步探） 17.(8分) 18.(8分) M L B -J- C N (4) 请椿车趣馆趣酸售等超超年形限定酸馆等绕效！ 19.(8分) D人 E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) (1) (2) (Z) ☒ 阁 840 W I (D (9I)z ⅰ嵩易明海☒兴洲到项狂到身诺吊群‘易4海☒骗易明目号平巢 ① D 图4 备用图 ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级上册第一章三角形的初步认识~第三章一元一次不等组。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如果a＞b，那么下列各式中错误的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B． C．﹣3a＞﹣3b D．5a+2＞5b+2 3．下列三角形中不是直角三角形的是（　　） A．三个内角之比为1：2：3 B．其中一边上的中线等于这一边的一半 C．三边之长为6、8、10 D．三边之比为3：4：6 4．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC 5．已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．10或14 6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接MN，分别与AB，BC交于点D和E； ②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点G，交AC于点H； ③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ④作射线AP，分别交BC，MN于点F，Q，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EQF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如果不等式组有解且均不在﹣1＜x＜1内，那么m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．1≤m＜5 C．m≥5 D．﹣1≤m≤5 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE与△BCE的面积相等； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 10．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影邮分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9．较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为x g，则x的取值范围　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE＝CF，BE＝AF，则∠CAF＝　 　 ．（填写一个角） 13．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝　 　 ． 14．如图1，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽在一个高为10m的高台A处，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17m、高为3m的矮台B，示意图如图2，在这个过程中，玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为 　 　 m． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 16．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别是边AB、AC上的动点，且BD＝AE，F为DE的中点，连接AF，当时，BD的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式（组）： （1）5x﹣2＞3x+1． （2）． 18．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题． （1）画出△ABC向下平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A2B2C2； （3）在MN上画出点P，使得PA+PB最小； （4）△ABC的面积是 　 　 ． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P． （1）证明：△AEB≌△ADC． （2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数． 20．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB． （1）若∠A＝90°，求∠BEC的度数； （2）过点E作BC的平行线与AB、AC分别相交于点D、F，若△ABC与△ADF的周长分别为24和15，求BC的长． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是BC边上的高．线段AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）试问：线段AE与BE的长相等吗？请说明理由； （2）求∠EBD的度数． 22．（10分）小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离AD的长为15m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为25m；③牵风筝线的手离地面的高度为1.5m． （1）如图1，求风筝的竖直高度CE． （2）如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为45°时（即∠C′AD′＝45°），AD′的长为12m，求此时小明的风筝线收回了多少米． 23．（10分）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 24．（12分）【方法探索】 （1）如图1，已知OC平分∠AOB，点D，E分别在边OA，OB上，∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．小明为了证明OD+OE＝OC，用了如下两种方法： 构图方法 小明得到下列结论 你认为正确的结论是（写序号） 如图2，在OB上取点F，使OF＝OC，连接CF． ①∠DCO＝∠ECF； ②△COD≌△CFE； ③OE＝2EF． Ⅰ．　 　 如图3，过点C分别作边OA，OB的垂线，垂足分别记为M，N ①CD平分∠MCO； ②∠MCD＝∠ECN； ③△CMD≌△CNE． Ⅱ．　 　 【类比探究】 （2）如图4，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB． ①当点D，E分别在边OA，OB上时，请你证明：OD+OEOC． ②当点D，E分别在OA，OB所在的直线上，∠DCO＞90°，且OD＝5，OE时，请你画出图形并求出CD的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级上册第一章三角形的初步认识~第三章一元一次不等组。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如果a＞b，那么下列各式中错误的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B． C．﹣3a＞﹣3b D．5a+2＞5b+2 3．下列三角形中不是直角三角形的是（　　） A．三个内角之比为1：2：3 B．其中一边上的中线等于这一边的一半 C．三边之长为6、8、10 D．三边之比为3：4：6 4．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC 5．已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．10或14 6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接MN，分别与AB，BC交于点D和E； ②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点G，交AC于点H； ③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ④作射线AP，分别交BC，MN于点F，Q，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EQF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如果不等式组有解且均不在﹣1＜x＜1内，那么m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．1≤m＜5 C．m≥5 D．﹣1≤m≤5 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE与△BCE的面积相等； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 10．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影邮分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9．较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为x g，则x的取值范围　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE＝CF，BE＝AF，则∠CAF＝　 　 ．（填写一个角） 13．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝　 　 ． 14．如图1，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽在一个高为10m的高台A处，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17m、高为3m的矮台B，示意图如图2，在这个过程中，玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为 　 　 m． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 16．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别是边AB、AC上的动点，且BD＝AE，F为DE的中点，连接AF，当时，BD的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式（组）： （1）5x﹣2＞3x+1． （2）． 18．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题． （1）画出△ABC向下平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A2B2C2； （3）在MN上画出点P，使得PA+PB最小； （4）△ABC的面积是 　 　 ． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P． （1）证明：△AEB≌△ADC． （2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数． 20．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB． （1）若∠A＝90°，求∠BEC的度数； （2）过点E作BC的平行线与AB、AC分别相交于点D、F，若△ABC与△ADF的周长分别为24和15，求BC的长． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是BC边上的高．线段AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）试问：线段AE与BE的长相等吗？请说明理由； （2）求∠EBD的度数． 22．（10分）小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离AD的长为15m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为25m；③牵风筝线的手离地面的高度为1.5m． （1）如图1，求风筝的竖直高度CE． （2）如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为45°时（即∠C′AD′＝45°），AD′的长为12m，求此时小明的风筝线收回了多少米． 23．（10分）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 24．（12分）【方法探索】 （1）如图1，已知OC平分∠AOB，点D，E分别在边OA，OB上，∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．小明为了证明OD+OE＝OC，用了如下两种方法： 构图方法 小明得到下列结论 你认为正确的结论是（写序号） 如图2，在OB上取点F，使OF＝OC，连接CF． ①∠DCO＝∠ECF； ②△COD≌△CFE； ③OE＝2EF． Ⅰ．　 　 如图3，过点C分别作边OA，OB的垂线，垂足分别记为M，N ①CD平分∠MCO； ②∠MCD＝∠ECN； ③△CMD≌△CNE． Ⅱ．　 　 【类比探究】 （2）如图4，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB． ①当点D，E分别在边OA，OB上时，请你证明：OD+OEOC． ②当点D，E分别在OA，OB所在的直线上，∠DCO＞90°，且OD＝5，OE时，请你画出图形并求出CD的长． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.（3分）_______________________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （2） 18．（8分） （4） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） （1） Ⅰ．　 　 ； Ⅱ．　 　 ； （2） ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级上册第一章三角形的初步认识~第三章一元一次不等组。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键． 2．如果a＞b，那么下列各式中错误的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B． C．﹣3a＞﹣3b D．5a+2＞5b+2 【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵a＞b， ∴a﹣2＞b﹣2，故本选项不符合题意； B、∵a＞b，3＞0， ∴，故本选项不符合题意； C、∵a＞b，﹣3＜0， ∴﹣3a＜﹣3b，故本选项符合题意； D、∵a＞b， ∴5a＞5b， ∴5a+2＞5b+2，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握：当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变． 3．下列三角形中不是直角三角形的是（　　） A．三个内角之比为1：2：3 B．其中一边上的中线等于这一边的一半 C．三边之长为6、8、10 D．三边之比为3：4：6 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可． 【解答】解：A．∵三角形三内角之比为1：2：3，三角形的三内角度数和是180°， ∴三角形的最大角的度数是180°＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B．一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形， 故本选项不符合题意； C．∵三边之长为6、8、10，62+82＝102， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵三边之比为3：4：6，则可设三边长为3x，4x，6x， ∵（3x）2+（4x）2≠（6x）2， ∴该三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键． 4．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC 【分析】根据等式的性质由AE＝CF可得AF＝CE，然后利用全等三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【解答】解：∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE， A、在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， 故A不符合题意； B、在△ADF和△CBE中，AD＝BC，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF与△CBE不一定全等， 故B符合题意； C、在△ADF和△CBE中，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，DF＝BE， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故C不符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， 在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， 故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键． 5．已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．10或14 【分析】因为已知长度为2和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：①当2为底时，其它两边都为6， 2、6、6可以构成三角形， 则周长为14； ②当2为腰时， 其它两边为2和6， ∵2+2＜6， ∴不能构成三角形，故舍去， 故此等腰三角形的周长为14． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接MN，分别与AB，BC交于点D和E； ②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点G，交AC于点H； ③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ④作射线AP，分别交BC，MN于点F，Q，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EQF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】利用基本作图得的MN垂直平分BC，AQ平分∠BAC，所以DE⊥BC，∠BAQ∠BAC，再利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝80°，则∠BAQ＝40°，接着利用互余计算出∠BDE＝50°，然后根据三角形外角性质可得到∠EQF的度数． 【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，AQ平分∠BAC， ∴DE⊥BC，∠BAQ∠BAC， ∴∠BED＝90°， ∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∴∠BAQ80°＝40°， ∵∠BDE＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°， 而∠BDE＝∠EQF+∠BAQ， ∴∠EQF＝50°﹣40°＝10°． 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 7．如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】如图所示，延长BD交AC于E，利用ASA证明△ADB≌△ADE，得到BD＝DE，进而推出S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC，即可得到． 【解答】解：如图所示，延长BD交AC于E， ∵AD为∠BAC的角平分线，AD⊥BD， ∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°， 又∵AD＝AD， ∴△ADB≌△ADE（ASA）， ∴BD＝DE， ∴S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC， ∵S△ABC＝S△ADB+S△ADE+S△EDC+S△BDC， ∴，即， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．如果不等式组有解且均不在﹣1＜x＜1内，那么m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．1≤m＜5 C．m≥5 D．﹣1≤m≤5 【分析】先解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就能得到使不等式成立的未知数的值，即可作出判断． 【解答】解：要使不等式组有解且不在﹣1＜x＜1内，m必需满足的条件是1≤m＜5． 故选：B． 【点评】本题考查不等式组求解集的情况，必需大于小的小于大的才有解，且解且不在﹣1＜x＜1内，故可求出答案． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE与△BCE的面积相等； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③． 【解答】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD为高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF，故②正确； ∵AD为高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∴∠BAD＝2∠ACF， 即∠FAG＝2∠ACF，故③正确． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型． 10．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影邮分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9．较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图， 由题意可知，AB＝CD＝5，BC＝9， ∴BD＝BC﹣CD＝9﹣5＝4， ∴AD， ∴“风车”图案的周长为44×5＝420 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为x g，则x的取值范围　 　 ． 【分析】结合已知条件，根据不等式的定义即可求得答案． 【解答】解：根据题意知，2×0.2≤x≤3×0.3，即0.4≤x≤0.9， 故答案为：0.4≤x≤0.9． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，结合已知条件列得正确的不等式是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE＝CF，BE＝AF，则∠CAF＝　 　 ．（填写一个角） 【分析】由AB＝CA，AE＝CF，BE＝AF，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABE≌△CAF，得∠ABE＝∠CAF，于是得到问题的答案． 【解答】解：在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（SSS）， ∴∠ABE＝∠CAF， 故答案为：∠ABE． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABE≌△CAF是解题的关键． 13．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝　 　 ． 【分析】分∠A为顶角及∠A为底角两种情况考虑，当∠A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当∠A为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值． 【解答】解：当∠A为顶角时，∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝55°， ∴它的特征值k； 当∠A为底角时，顶角＝180°﹣2∠A＝40°， ∴它的特征值k． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分∠A为顶角及∠A为底角两种情况求出“特征值”k是解题的关键． 14．如图1，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽在一个高为10m的高台A处，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17m、高为3m的矮台B，示意图如图2，在这个过程中，玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为 　 　 m． 【分析】（作AE⊥OM，BF⊥OM，可证△AOE≌△BFO，可得AE＝OF，OE＝BF，则AE﹣BF＝EF＝7，且AE+BF＝17可求AE＝OF＝12，OE＝BF＝5，即可求OM的长．根据勾股定理可求OA＝OB＝ON＝13，即可求MN的长． 【解答】解：（1）如图： 作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F， ∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90° ∴∠AOE＝∠OBF 在△AOE和△OBF中， ， ∴△AOE≌△OBF（AAS）， ∴OE＝BF，AE＝OF， 即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m） ∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m）， ∴2EO+EF＝17， 则2×EO＝10， ∴OE＝5m，OF＝12m， ∴OM＝OF+FM＝15m， 故答案为：15米； （2）由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13， ∴MN＝15﹣13＝2（m）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得∠ECB＝∠B＝20°，再根据三角形外角的定义和性质即可求解． 【解答】解：由条件可知， ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝20°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°， ∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 16．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别是边AB、AC上的动点，且BD＝AE，F为DE的中点，连接AF，当时，BD的长为 　 　 ． 【分析】依题意以下两种情况：①当AD＞BD时，过点D作DH∥AC交BC于H，连接HF，过点A作AK⊥BC于K，先证△DBH为等边三角形得BD＝DH＝BH＝AE，再证△DFH和△EFA全等得AF＝FH，∠DFH＝∠EFA，由此得点A，F，H在同一条直线上，则AH＝AF+FH，然后由勾股定理求出AK，进而得HK＝1，则BH＝BK﹣HK＝1，由此可得BD的长；②当AD＜BD时，过点A作AK⊥BC于K，过点E作EP∥AB于点P，连接EP，同①可得出BD的长；综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC上的动点， ∴有以下两种情况： ①当AD＞BD时，过点D作DH∥AC交BC于H，连接HF，过点A作AK⊥BC于K，如图1所示： ∵△ABC为等边三角形，且边长为4， ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝4， ∵DH∥AC，AK⊥BC， ∴∠DHB＝∠C＝60°，∠FDH＝∠FEA，BK＝CKBC＝2， ∴∠DHB＝∠B＝60°， ∴△DBH为等边三角形， ∴BD＝DH＝BH， ∵BD＝AE， ∴DH＝AE， ∵点F为DE的中点， ∴DF＝EF， 在△DFH和△EFA中， ， ∴△DFH≌△EFA（SAS）， ∴AF＝FH，∠DFH＝∠EFA， ∴点A，F，H在同一条直线上， ∴AH＝AF+FH＝2AF， 在Rt△ACK中，AC＝4，CK＝2，由勾股定理得：AK， 在Rt△AHK中，由勾股定理得：HK1， ∴BH＝BK﹣HK＝2﹣1＝1， ∴BD＝BH＝1； ②当AD＜BD时，过点A作AK⊥BC于K，过点E作EP∥AB于点P，连接EP，如图2所示： 同①可证：∴△ECP为等边三角形，△EFP≌△DFA（SAS）， ∴PC＝CE，AF＝FP，∠DFP＝∠EFA， ∴点A，F，P在同一条直线上， ∴AH＝AF+FP＝2AF， 在Rt△ACK中，由勾股定理得：AK， 在Rt△AHK中，由勾股定理得：PK＝1， ∴PC＝CE＝CK﹣PK＝2﹣1＝1， ∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3， ∴BD＝AE＝3． 综上所述：BD的长为1或3． 故答案为：1或3． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式（组）： （1）5x﹣2＞3x+1． （2）． 【分析】（1）依次移项、合并同类型、系数化为1即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）移项，得：5x﹣3x＞1+2， 合并同类项，得：2x＞3， 系数化为1，得：x＞1.5； （2）解不等式2x+3＞2（2﹣x），得：x， 解不等式1，得：x≤1， 则不等式组的解集为x≤1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题． （1）画出△ABC向下平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A2B2C2； （3）在MN上画出点P，使得PA+PB最小； （4）△ABC的面积是 　 　 ． 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质得到A、B、C的对应点，再依次连接即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质得到A、B、C的对应点，再依次连接即可； （3）作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，此时PA+PB最小，PA+PB＝PA+PB′＝AB′； （4）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）如图，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，则点P即为所求； （4）△ABC的面积为：， 故答案为：5.5． 【点评】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，图形的平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P． （1）证明：△AEB≌△ADC． （2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数． 【分析】（1）由BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，得∠AEB＝∠ADC＝90°，而∠A＝∠A，AB＝AC，即可根据“AAS”证明△AEB≌△ADC； （2）由∠BEC＝90°，∠EBC＝35°，求得∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°，则∠ABC＝∠ACB＝55°，所以∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝20°． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（AAS）． （2）解：∵∠BEC＝90°，∠EBC＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝55°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝55°﹣35°＝20°， ∴∠ABE的度数是20°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠AEB＝∠ADC，进而证明△AEB≌△ADC是解题的关键． 20．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB． （1）若∠A＝90°，求∠BEC的度数； （2）过点E作BC的平行线与AB、AC分别相交于点D、F，若△ABC与△ADF的周长分别为24和15，求BC的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBCABC，∠ACBACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）＝45°， ∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°； （2）∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠DEB， ∵DF∥BC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴BD＝ED， 同理EF＝FC， ∵△ABC与△ADF的周长分别为24和15， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AD+BD+AF+CF+BC， △ADF的周长＝AD+AF+DE＝AD+DE+AF+CF， ∴BC＝△ABC的周长﹣△ADF的周长＝24﹣15＝9． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是BC边上的高．线段AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）试问：线段AE与BE的长相等吗？请说明理由； （2）求∠EBD的度数． 【分析】（1）连接CE，根据中垂线的性质得到AE＝CE，BE＝CE，即可得到AE＝BE； （2）利用等边对等角，求出∠ABC的度数，三线合一，求出∠BAE的度数，等边对等角得到∠ABE的度数，利用∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，即可得解． 【解答】解：（1）线段AE与BE的长相等，理由如下： 连接CE， ∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴BD＝CD， ∴AD为BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE＝CE， 又∵线段AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F， ∴AE＝CE， ∴AE＝BE； （2）∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴， ∵AD是BC边上的高， ∴AD平分∠BAC， ∴， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE＝20°， ∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝50°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质．熟练掌握等边对等角，三线合一，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 22．（10分）小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离AD的长为15m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为25m；③牵风筝线的手离地面的高度为1.5m． （1）如图1，求风筝的竖直高度CE． （2）如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为45°时（即∠C′AD′＝45°），AD′的长为12m，求此时小明的风筝线收回了多少米． 【分析】（1）由题意知，DE＝AB＝1.5，AD＝15，AC＝25，∠ADC＝90°，由勾股定理得，，根据CE＝CD+DE，计算求解即可； （2）由题意知，∠C′AD′＝45°，∠C′D′A＝90°，AD′＝12，则∠AC′D′＝45°＝∠C′AD′，C′D′＝AD′＝12，由勾股定理得，，根据AC﹣AC′，计算此时小明的风筝线收回的长度即可． 【解答】解：（1）由题意知，DE＝AB＝1.5，AD＝15，AC＝25，∠ADC＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ∴CE＝CD+DE＝21.5， ∴CE为21.5m； （2）由题意知，∠C′AD′＝45°，∠C′D′A＝90°，AD′＝12， ∴∠AC′D′＝45°＝∠C′AD′， ∴C′D′＝AD′＝12， 在直角三角形AC′D′中，由勾股定理得：， ∴此时小明的风筝线收回了米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 23．（10分）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 【分析】（1）根据“相斥不等式”的定义即可求解； （2）根据“相斥不等式”的定义可得，解不等式组即可求解； （3）先“相斥不等式”的定义可得k＜0，然后求出不等式的解集为，然后得到4，解关于k的不等式即可． 【解答】解：（1）∵x＞2的解都不是x＜﹣3的解， ∴x＞2是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x＜﹣2的解有可能是x＜﹣3的解， ∴x＜﹣2不是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x≥﹣3的解都不是x＜﹣3的解， ∴x≥﹣3是x＜﹣3的“相斥不等式”； 故答案为：①③； （2）解不等式3x+a≤4得， 解不等式2﹣3x＜0得， 解不等式得x≥﹣2， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：a＞10； （3）∵x≥4是关于x的不等式kx+3＞0的“相斥不等式”， ∴k＜0， 解不等式kx+3＞0得， ∴4， 解得：k． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． 24．（12分）【方法探索】 （1）如图1，已知OC平分∠AOB，点D，E分别在边OA，OB上，∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．小明为了证明OD+OE＝OC，用了如下两种方法： 构图方法 小明得到下列结论 你认为正确的结论是（写序号） 如图2，在OB上取点F，使OF＝OC，连接CF． ①∠DCO＝∠ECF； ②△COD≌△CFE； ③OE＝2EF． Ⅰ．　 　 如图3，过点C分别作边OA，OB的垂线，垂足分别记为M，N ①CD平分∠MCO； ②∠MCD＝∠ECN； ③△CMD≌△CNE． Ⅱ．　 　 【类比探究】 （2）如图4，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB． ①当点D，E分别在边OA，OB上时，请你证明：OD+OEOC． ②当点D，E分别在OA，OB所在的直线上，∠DCO＞90°，且OD＝5，OE时，请你画出图形并求出CD的长． 【分析】（1）Ⅰ．先证明△CFE为等边三角形，可得∠COD＝∠CFE＝60°＝∠OCF，CF＝OC从而得到∠DCO＝60°﹣∠OCE＝∠ECF，在证明△COD≌△CFE； Ⅱ．利用角平分线性质定理可得CN＝CM，根据角的和差可得出∠CDM＝∠CEO，即可证明△CMD≌△CNE（AAS），从而证明∠MCD＝∠ECN． （2）①作CF⊥OC交OB于点F，根据角的和差可得出∠1＝∠2，由OC平分∠AOB，可得∠6＝90°﹣45°＝45°＝∠5＝∠4，等角对等边可得CO＝CF，即可证明△CDO≌△CEF（ASA），OD＝FE，由勾股定理可得：，即可得出． ②画出图后，证得△DMC≌△ENC，CM＝x，则OM＝ON＝x，故，，求解得x即可得，，由勾股定理得CD的值． 【解答】（1）证明：Ⅰ．∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠COD＝∠COE＝60°， 又∵OF＝OC， ∴△CFE为等边三角形， ∴∠COD＝∠CFE＝60°＝∠OCF，CF＝OC， ∵∠DCE＝60°， ∴∠DCO＝60°﹣∠OCE＝∠ECF， 又∵CF＝OC，∠COD＝∠CFE， 在△COD和△CFE中， ， ∴△COD≌△CFE（ASA）， 故答案为：①②； Ⅱ．∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB， ∴CN＝CM， ∵∠AOB＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠CEO+∠CDO＝180°， 又∵∠CDM+∠CDO＝180°， ∴∠CDM＝∠CEO， 在△CMD和△CNE中， ， ∴△CMD≌△CNE（AAS）， ∴∠MCD＝∠ECN， 故答案为：②③； （2）①证明：如图4，作CF⊥OC交OB于点F， ∴∠AOB＝∠DCE＝∠OCF＝90°， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2． 又∵OC平分∠AOB， ∴∠4＝∠5＝45°， ∴∠6＝90°﹣45°＝45°＝∠5＝∠4， ∴CO＝CF． ∵∠1＝∠2，CO＝CF，∠4＝∠6， ∴△CDO≌△CEF（ASA）， ∴OD＝FE， 由勾股定理可得：OC2+CF2＝2OC2＝OF2， 即， ∴． ②解：如图2， 同理可得：△DMC≌△ENC（ASA）， 设CM＝x，则OM＝ON＝x， ∴， ∴， 解得， 即，． 在Rt△DMC中，由勾股定理得． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线，全等三角形的性质和判定，等角对等边，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $