第四周模拟练习（范围：1.4）2025-2026学年苏科版数学八年级上册（盐城专版）

2025-2026学年苏科版八年级数学第四周模拟练习（盐城专版） （范围：1.4线段垂直平分线与角平分线 时间： 90分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列说法中:①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.其中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．如图，D为△ABC内一点，过点D的直线EF与边AB，AC分别交于点F，E，若点E，点F恰好分别在CD，BD的垂直平分线上，记∠DBF＝α，∠A+2∠DCE＝β，则α，β满足的关系式为​（　　） A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C．2α+β＝180° D．2β+α＝180° 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连接CF，若∠DFC＝60°，∠ACF＝40°，则∠A的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（　） A．70° B．75° C．80° D．85° 6．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③ 7．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（　D　） A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处 8．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　） A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2 10．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　D　） A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11.如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是　　　　.  12.如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  13.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_________. 14.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=_______． 16．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是=_________. 17．△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为　　． 18.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=_______. 19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是______. 20．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21.（4分）如图所示，A，B，C是新建的三个居民小区.现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置. 22．（6分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC． 23．（8分）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC＝8，求△DAF的周长． 24．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 25．（10分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB． （1）如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 　A 　． （2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由； 26. （12分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． 27．（12分）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α． （1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数． （2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． （3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学第四周模拟练习（盐城专版） （范围：1.4线段垂直平分线与角平分线 时间： 90分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列说法中:①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.其中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】①当P不是AB的中点，则直线l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定过点P，所以直线l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确.故选A. 2．如图，D为△ABC内一点，过点D的直线EF与边AB，AC分别交于点F，E，若点E，点F恰好分别在CD，BD的垂直平分线上，记∠DBF＝α，∠A+2∠DCE＝β，则α，β满足的关系式为​（　　） A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C．2α+β＝180° D．2β+α＝180° 【答案】C 【解析】：∵点E，点F恰好分别在CD，BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，ED＝EC，∴∠BDF＝∠DBF＝α，∠CDE＝∠DCE，∴∠AFE＝∠BDF+∠DBF＝2α，∠AEF＝∠CDE+∠DCE＝2∠DCE，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠A+2α+2∠DCE＝180°，∵∠A+2∠DCE＝β，∴2α+β＝180°．故选：C． 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【解析】：∵ED垂直平分AB，∴BE＝AE，∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，∴12+5+AE＝30，∴AE＝13，∴BE＝AE＝13，故选：D． 4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连接CF，若∠DFC＝60°，∠ACF＝40°，则∠A的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【解析】：∵E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，∴FE垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB，∵∠CFD＝∠FBC+∠FCB＝60°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∵∠ACF＝40°，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝70°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠FBC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，故选：B． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【解析】：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，∵AB的垂直平分线是DE，∴BD＝AD，∴∠BAD＝∠B，即∠B＝5x°，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴2x+5x+5x＝90，解得：x＝， 即∠B＝∠BAD＝（）°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（）°+（）°＝75°选：B． 6．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③ 【答案】A 【解析】：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．选：A． 7．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（　D　） A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处 【答案】D 【解析】：∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，∴该超市是△ABC的内心， ∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．故选：D． 8．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对 【答案】A 【解析】：连接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，∴△APR≌△APS，∴AS＝AR，又AQ＝PQ，∴∠2＝∠3，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．选：A． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　） A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2 【答案】A 【解析】：作DH⊥BC于点H，如图：∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．∴DH＝DF． ∵DF＝3cm．∴DH＝3cm．∵BC＝8cm．∴△CDB的面积为：＝12cm2．故选：A． 10．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　D　） A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD 【答案】D 【解析】：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD＝∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF＝∠CHE，∴∠CEH＝∠CHE∴CH＝CE＝EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AEF，∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11.如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是　　　　.  【答案】 12 【解析】∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=12. 12.如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  【答案】 3 【解析】　∵AB=AD,CB=CD,∴AC所在直线是线段BD的垂直平分线,∴OD=BD=×6=3 cm. 13.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_________. 【答案】10 【解析】∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C． 14.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 【答案】6 【解析】如图，连接BE．∵AC=9，AE：EC=2：1，∴AE=×9=6，EC=9×=3，∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=6．故答案为：6． 15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=_______． 【答案】48° 【解析】∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣60°﹣48°=72°，∵FE是BC的中垂线，∴FB=FC，∴∠FCB=∠DBC=24°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°，故答案为：48°． 16．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是=_________. 【答案】6 【解析】∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D． 17．△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为　　． 【答案】3 【解析】如图，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠A和∠B的平分线相交于点P，∴PD＝PE＝PF＝1，∵△ABC的周长为60，∴△ABC的面积＝AB•PD+BC•PE+AC•PF＝PD（AB+BC+AC）＝×1×6＝3．故答案为：3． 18.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=_______. 【答案】35° 【解析】作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB， ∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°． 19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是______. 【答案】4 【解析】如图：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE=2， ∴DF=DE=2，∵S△ABC=10，∴AB×DE+AC×DF=10，∴×AB×2+6×2=10，∴AB=4， 20．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 【答案】 【解析】：过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DH＝DE＝3，∵BC＝10，∴S△BDC＝BC•DH＝×10×3＝15；∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴AF•BC＝AB•DE+15，∴×10AF＝×8×3+15，∴AF＝，故答案为：15，． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21.（4分）如图所示，A，B，C是新建的三个居民小区.现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置. 解：①连接AB，BC，如图所示； ②作AB，BC的垂直平分线相交于点P，点P就是学校的位置. 22．（6分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC． 【答案】（1）解：如图， （2）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC， ∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC． 23．（8分）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC＝8，求△DAF的周长． 解：（1）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∵∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝105°﹣75°＝30°； （2）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+CF＝BC＝8． 24．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 解：（1）∵∠BAC=54°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=27°，∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°，∴∠EDA=90°﹣27°=63°． （2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线． 25．（10分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB． （1）如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 　A 　． （2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由； 解：（1）AB＝PB．理由：如图1中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO＝BQ，∴∠BOQ＝∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB＝∠BQO，∵OA＝PQ，∴△AOB≌△PQB（SAS）， ∴AB＝PB，故答案为：AB＝PB． （2）存在，理由：如图2中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO＝BQ，∴∠BOQ＝∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ＝∠FON，∴∠AOF＝∠FON＝∠BQC，∴∠BQP＝∠AOB，∵OA＝PQ，∴△AOB≌△PQB（SAS），∴AB＝PB． 26. （12分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． 解：（1）∵AB=AC，∴∠ABM=∠ACB．∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB，∴∠ABM=×(180°-∠BAC)=70°．∵MN是AB的垂直平分线，∠ABM=70°， ∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°． （2）与（1）同理可得∠B=×(180°-∠BAC)=55°，∴∠NMB=90°-55°=35°． （3）规律：在等腰△ABC中，当AB=AC时，∠NMB的度数恰好为顶角∠A度数的一半，即∠NMB=∠A． 理由如下∵AB=AC∴∠ABM=∠ACB．∴∠ABM=(180°-∠A)=90°-∠A． ∵∠ABM=90°-∠A，∠BNM=90°，∴∠BMN=90°-∠ABM=∠A． 27．（12分）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α． （1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数． （2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． （3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°； （2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OE＝OF，∴OA平分∠BAC； （3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝×180°＝90°，∴OC⊥CP 学科网（北京）股份有限公司 $