专题04 实数特殊运算的三种考法（高效培优期中专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题04 实数特殊运算的三种考法 考点01 新定义实数运算 考点02 实数运算规律性探究问题 考点03 实数运算实际应用 考点01 新定义实数运算 1．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的定义结合举反例和列举法逐项判断即可． 【详解】解：①因为，，，故； 故①不符合题意； ②举反例，当时，，而，不相等， 故②符合题意； ③由题意知，，当时，，所以不可以是3； 当时，，所以可以是4； 当时，，所以可以是5； 当时，，所以可以是6； 当时，，所以不可以是7； 同理，也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的有3个， 故③不符合题意； ④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数是16； 然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数是255； ， 故④不符合题意． 故选：B． 2．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，记，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10，由此即可求解． 【详解】解：， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10， ． ． 故选：B． 3．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位数字与个位数字之和的倍（为正整数），则把这个四位数叫做“和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为，所以6318是“7和数”．若四位自然数是“4和数”，则的最大值是 ；若四位自然数是“1和数”，记，若是一个有理数，则所有符合条件的之和为 ． 【答案】 【分析】依据“和数”定义，要让高位数字尽可能大，通过尝试不同十位、个位数字组合，找到满足千位与百位组成的两位数是其和4倍的最大数；再由定义得，结合是有理数，推出为完全平方数，进而分析的表达式，确定符合条件的并求和 ．本题主要考查新定义“和数”的理解与应用，涉及数字组合、数位运算、完全平方数特征等知识．熟练掌握新定义内涵，准确分析数字间的数量关系，结合完全平方数的性质筛选符合条件的数，是解题关键． 【详解】解：设为“4和数”，即， 当p，q取最大时，即p=9，q=8，此时，，不符合题意， p=9，q=7，此时，，符合题意， ∴的最大值是， ∵四位自然数是“1和数”， ∴， ∴， ∴， ∵是有理数， ∴是完全平方数， 是千位数字（），是个位数字（），且、、、互不相等、均不为， 当时，需为完全平方数．尝试，则（是完全平方数）．此时，即 ： ，（与重复，舍去）； ，，； ，，； ，，． 当时，（如，时，，但会导致，超出范围，无解 ），无法满足完全平方数非负的要求． 符合条件的为、、，其和为：． 故答案为：，． 4．小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得___________，异号得___________，并把___________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：①；②；③； (3)小玲已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，她想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：结合律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立，请说明你的理由；若不成立，请举出两个反例． 【答案】(1)正，负，绝对值相减 (2)①，②，③ (3)不成立，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确的计算； （1）根据例子推导出计算的规律，得到答案即可； （2）根据（1）中的规律得到答案即可； （3）举出具体例子进行计算，看看是否成立，通过计算可发现结合律在“乘减法”中不适合即可； 【详解】（1）解：通过观察发现所有同号的两个数得结果都是正数，异号的两个数得的结果都是负数，并且后面的数是两个数的绝对值的差； 故答案为：正，负，绝对值相减 （2）解：①， ②， ③， （3）解：不成立， 例， ，所以， 例， ，所以， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不成立． 5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是;(2)1或 【分析】本题考查了算术平方根的概念．熟练掌握算术平方根的概念以及理解“和谐组合”、“最小算术平方根”与“最大算术平方根”的定义是解题的关键． （1）根据和谐组合”的定义，计算三个数两两乘积的算术平方根进行判断即可； （2）计算并验证三个数两两乘积的算术平方根是否为整数，再确定最小和最大算术平方根． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴2，8，这三个数是“和谐组合”， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是； （2）解：分三种情况：①当时，得：（舍去）， ②当时，，得：，经检验符合题意， ③当时，．得：，经检验符合题意． 综上所述，a的值为1或． 6．已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”，例：，则称3与5是关于4的一组“平衡数”． (1)与________是关于2的一组“平衡数”； (2)若与是关于的一组“平衡数”，其中，，求实数； (3)若，，判断是否存在整数，使与为关于的一组“平衡数”，如果存在，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，解之即可得到答案； （3）根据题意计算出的值，进而得到的值，据此可求出c的值． 【详解】（1）解：， ∴与是关于2的一组“平衡数”； （2）解：∵与是关于的一组“平衡数”， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与为关于31的一组“平衡数”． 7．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 考点02 实数运算规律性探究问题 8．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 9．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题中规律可得； ． （2）解：根据题中规律可得； （3）解：原式． 10．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 11．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 12．学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，二次根式的除法运算，数字类规律探索，求一个数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键． （1）根据已知条件中和的值发现并总结出其变化规律，再总结出的规律求出答案即可； （2）根据（1）中发现并总结出的规律，求出，，，，，，，再代入所求代数式，然后利用分母有理化进行计算即可． 【详解】（1）解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，， ∴； （2）解： ． ． 13．观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关键． （1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明： ， ∴， 即①中的结论成立． 14．如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类变化规律、勾股定理、实数的混合运算，得出规律是解此题的关键． （1）根据勾股定理，结合图形计算即可得出答案； （2）根据前面列出的式子即可得出规律； （3）将式子转化为，结合进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， …， ， 故答案为：； （3）解： ． 15．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 考点03 实数运算实际应用 16．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6； （2）所用的篱笆至少为36米 （3）最小值为 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】解：（1）由题意，设， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即时取等号． 四边形面积的最小值为25． 17．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 18．如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①9，，；②不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意，由两个正方形的面积，得到两正方形的边长，从而得到长方形的长和宽，即可得到面积； ②根据题意，设长方形的长为，宽为，根据面积，列出等式，求出x的值，得到长方形的长和宽，与原长方形相比较，即可； （2）根据左右两个图形的面积相等，构成等量关系，化简得到结果． 【详解】（1）解：（1）①设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵两正方形A和B，它们的面积分别为和，且，， ∴（），（）， ∴长方形的宽为（），长方形的长为（）， ∴长方形的面积为（）， ∴阴影部分面积为：（）， 故答案为：，，； ②不能裁出符合要求的长方形，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∵长方形的面积为， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴， 答：不能裁出符合要求的长方形； （2）如图2， ∵两正方形和面积分别为和， ∴大正方形的边长为，小正方形边长为， ∴，， ∴， ∴图2中右边的正方形的面积为， ∵图2中左边图形面积=右边正方形面积， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了整式运算，二次根式运算，涉及到正方形、长方形的面积，熟练掌握二次根式运算是解题的关键． 19．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 20．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数特殊运算的三种考法 考点01 新定义实数运算 考点02 实数运算规律性探究问题 考点03 实数运算实际应用 考点01 新定义实数运算 1．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，记，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位数字与个位数字之和的倍（为正整数），则把这个四位数叫做“和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为，所以6318是“7和数”．若四位自然数是“4和数”，则的最大值是 ；若四位自然数是“1和数”，记，若是一个有理数，则所有符合条件的之和为 ． 4．小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得___________，异号得___________，并把___________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：①；②；③； (3)小玲已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，她想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：结合律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立，请说明你的理由；若不成立，请举出两个反例． 5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 6．已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”，例：，则称3与5是关于4的一组“平衡数”． (1)与________是关于2的一组“平衡数”； (2)若与是关于的一组“平衡数”，其中，，求实数； (3)若，，判断是否存在整数，使与为关于的一组“平衡数”，如果存在，求的值． 7．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 考点02 实数运算规律性探究问题 8．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 9．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 10．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 11．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 12．学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 13．观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 14．如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 15．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 考点03 实数运算实际应用 16．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 17．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 18．如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 19．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 20．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $