精品解析：湖北省襄阳市襄阳第二十七中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

襄阳市二十七中九年级期中数学试题 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程 3x2=5x+2 的二次项的系数为 3，则一次项的系数和常数项分别为 （ ） A. 5，2 B. 5，﹣2 C. ﹣5，2 D. ﹣5，﹣2 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 7. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 9. 当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0或3 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若点与点关于原点对称，则______． 12. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 13. 如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 14. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同55份，_____商家参加了交易会． 15. 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 16. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（共9小题，满分75分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都是格点． （1）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （2）作出关于点O成中心对称的． 19. 已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 21. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标． 22. 如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 23. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 24. 已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则 ． 25. 如图，抛物线的与轴交于点，与轴交于点， （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设时，的面积为．求关于的函数关系式；若有最大值，请求出的最大值，若没有，请说明理由； （3）若是轴上一个动点，过作射线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳市二十七中九年级期中数学试题 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找出轴对称图形，然后再排除掉中心对称图形． 【详解】轴对称图形有：B、C 其中，B不是中心对称图形，C是中心对称图形 故选：B 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判别，注意题干要求的是寻找不是中心对称的图形． 2. 一元二次方程 3x2=5x+2 的二次项的系数为 3，则一次项的系数和常数项分别为 （ ） A. 5，2 B. 5，﹣2 C. ﹣5，2 D. ﹣5，﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】将方程整理为一般形式，找出一次项系数及常数项即可． 【详解】解：方程3x2=5x+2， 整理得：3x2-5x-2=0， 则二次项系数，一次项系数和常数项分别是3，-5，-2． 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0）． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移个单位所得抛物线的解析式为：， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 5. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∵m是x2＋3x−9＝0的一个根， ∴m2＋3m−9＝0， ∴m2＋3m＝9， ∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=． 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°，从而得到∠E=∠CAE=40°，即可求解． 【详解】解：根据题意得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°， ∴∠E=∠CAE=40°， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=40°+40°=80°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到AC=EC，∠E=∠BAC是解题的关键． 7. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合；根据两个函数的图象确定出a、c的符号，矛盾的则不符合题意，相同的则符合题意，则可判断． 【详解】解：A、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； B、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； C、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； D、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，是基础知识比较简单． 9. 当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】当时，有， 解得：，， 当时，函数有最小值1， 或， 或. 故选：. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键. 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算．熟练掌握两点关于原点对称时坐标之间的关系是解题的关键． 根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 12. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 13. 如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 14. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同55份，_____商家参加了交易会． 【答案】11 【解析】 【分析】设共有x个商家参加了交易会，利用签订合同的总数＝参加会议的商家数×（参加会议的商家数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有x个商家参加了交易会， 依题意得：x（x﹣1）＝55， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 15. 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：令，得， 解得，（舍）． 所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10米． 故答案为：10． 16. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再利用旋转的性质得，，则，利用平角定理得，利用三角形外角性质得，讨论：当时，，则；当时，，利用得到；当时，，利用得到，然后分别解关于的方程，然后计算即可得到的度数． 【详解】解：如图，设， ， ， 绕点旋转得，使点恰好落在边上点处， ，， ， ，， 当时，为等腰三角形，即，则，解得，此时； 当时，为等腰三角形，即，而，则， 解得，此时， 当时，为等腰三角形，即，而， 则，解得（舍去）， 综上所述，为等腰三角形时的度数为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想． 三、解答题（共9小题，满分75分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都是格点． （1）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （2）作出关于点O成中心对称的． 【答案】（1） 如图所示，即为所求 （2） 如图所示，即为所求 【解析】 【分析】本题考查的是旋转、中心对称，解题的关键在于根据这些变换的性质画出对应点． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） ∵ ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2），． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是方程的两根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 21. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3） 【解析】 【分析】（1）由点A与点B关于直线x＝﹣1对称可求得点B的坐标．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式； （2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）． 将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得： 解得：b＝2，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． （2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）． ∴OC＝3． ∵点B的坐标为（1，0）， ∴OB＝1． 设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|． ∵S△POC＝2S△BOC， ∴OC•|a|＝OC•OB，即×3×|a|＝2××3×1，解得a＝±2． 当a＝2时，点P的坐标为（2，5）； 当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）． ∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，属于中考常考题型． 22. 如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴ 设的半径是， ， ， ， 的半径是． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 【答案】（1） （2）成本为10元每件，时月销售总利润最大，最大利润是4500元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设成本为m元，根据每件利润数量总利润列方程求解；根据每件利润数量总利润建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）根据题意得到，再转化为利用二次函数图象解一元二次不等式． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为，则， ，解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设成本为m元， 由题意可得：， 解得（元）， 则， ∵， ∴当时，W有最大值，为4500元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 即， 解方程得 令， 由得抛物线开口向上 ∴当时，． 24. 已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则 ． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ，， ∵在和中， ， ， ， ， ， ． （2） 证明：如图2，过点C作，交于H，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∵在和中， ∴， ，， ， ， ， 又， ， ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，即可得出答案； （2）过点C作，交于H，连接，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，根据证明，得出，，证明，即可求出，根据平行线的性质，得出； （3）设，则，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出BE的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，， 根据解析（2）可知，， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 25. 如图，抛物线的与轴交于点，与轴交于点， （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设时，的面积为．求关于的函数关系式；若有最大值，请求出的最大值，若没有，请说明理由； （3）若是轴上一个动点，过作射线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），当时，有最大值，最大值是；（3）存在，点为，， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把一般式转化为顶点式即得顶点坐标； （2）如图1，先求出点B坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，由，则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示，由即可得到S与t的函数关系式，进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值； （3）设，分两种情况：①如图2，当在轴下方时，作轴于，由平行四边形的性质可证得，从而可得，由此可得关于x的方程，解方程即可求x的值，进而可得点P坐标；②如图3，当在轴上方时，作轴于，同①的方法解答即可． 【详解】解（1）将，代入， 得，解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∴抛物线的顶点坐标为； （2）由，得x=3或x=﹣1，则点， 如图1，连接、、，设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； ∵，∴，， ∴， 则当时，有最大值，最大值是； （3）存在，P点坐标为，，； 理由如下：设， ①如图2，当在轴下方时，作轴于， ∵ ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 解得：或（与点重合，舍去）， ∴； ②如图3，当在轴上方时，作轴于， ∵ ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴，； 综上所述，点为，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法等知识，具有一定的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $