专题02 实数与二次根式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

专题02 分式（5知识&5题型） 【清单01】平方根与算术平方根 ① 平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根.正数的平方根为“”. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. ② 算术平方根：正数的正的平方根叫做的算术平方根，零的算数平方根是0. 【清单02】立方根 立方根：如果，那么叫做的立方根. 的立方根为“”. 性质：正数的立方根是正数；零的立方根是零；负数的立方根是负数. 【清单03】无理数与实数 ① 无理数：无限不循环小数叫做无理数. ② 实数：有理数和无理数统称为实数. ③ 实数与数轴：实数和数轴上的点是一一对应的. ④ 实数的分类： 【清单04】二次根式定义及性质 ① 二次根式定义：式子叫做二次根式 ② 二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用式子表示为 ；一个非负数求算术平方根再平方等于这个数本身，用式子表示为. 【清单05】二次根式运算 ① 最简二次根式：最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数不含能开的尽的因数或因式；（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式. ② 二次根式乘法运算：两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根，用式子表示为. ③ 二次根式除法运算：两个非负数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根，用式子表示为. ④ 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. ⑤ 二次根式加减法运算：先把每个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 【题型一】平方根与算术平方根 【例1】64的平方根是(　　)． A．±8 B．±4 C．±2 D．± 【答案】A 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：∵ ∴64的平方根是8 故选A 【点睛】本题考查平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【变式1-1】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根定义．根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 【变式1-2】若实数，满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性质，熟练掌握非负性质是解题的关键．根据算术平方根和平方的非负性质求出，的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 【变式1-3】若一个数的平方根为和，则a的值为 ，这个数为 ． 【答案】 5 225 【分析】本题考查了平方根的定义．根据一个正数的平方根互为相反数，可得出的值，再代入即可得出这个数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得， 把代入， ， 故这个数为225， 故答案为：5，225． 【例2】4的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根定义，进行求解即可．熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 【变式2-1】化简 ． 【答案】4 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【变式2-2】若，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 设，，则，，所以，即，然后由算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 【变式2-3】先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息计算即可； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 【变式2-4】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 【题型二】立方根 【例1】的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的定义，掌握定义是解决问题的关键．如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的立方根是． 故答案为：． 【变式1-1】有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据数值转换器的原理，结合立方根、算术平方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故输出的y是， 故答案为：． 【变式1-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【变式1-5】已知：，，则（   ） A．0.1333 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了立方根．利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：． 故选：C 【变式1-5】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【答案】 【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：正方体贮水池的棱长为： （分米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【变式1-6】若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性以及立方根的定义，根据绝对值和算术平方根的非负性求出，再求解立方根即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ， 的立方根是， 故答案为：． 【例2】已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解：的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 【变式2-1】已知的算术平方根是3，的立方根是3，求． 【答案】５ 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握立方根、算术平方根的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键． 根据立方根和算术平方根的定义，得出关于x和y的二元一次方程组求得x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，解得：， ∴， ∴． 【变式2-2】下列说法正确的是 ． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】① 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据平方根的定义和立方根的定义即可求解． 【详解】解：负数没有平方根，则①正确； 一个实数的立方根不是正数就是负数或0，则②错误； 负数没有平方根，则③错误； 平方根等于它本身的数是0，则④错误； 综上，正确的是①． 故答案为：①． 【变式2-3】已知与互为相反数，的立方根是2， (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根是 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用算术平方根、立方根、互为相反数的定义得出，，的值； （2）结合平方根的定义以及（1）中所求，代入得出答案． 【详解】（1）∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的立方根是2， ∴， ∴ （2）由（1）可知，，，， ∴ ∴的平方根是． 【题型三】无理数与实数 【例1】已知下列各数中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义、求一个数的立方根，解题的关键是理解无理数是无限不循环小数．根据无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：， 在，，，，，，中， ，，是无理数，共3个， 故选：B． 【变式1-1】若，且a，b是两个连续整数，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算，题目不难，是基础题. 先估算的大小，再得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7 【变式1-2】介于与之间的整数是 ． 【答案】3，4 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴介于与之间的整数是3，4， 故答案为：3，4． 【变式1-3】若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，进而可得，，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的整数部分为，的小数部分为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：无限的不循环小数是无理数， 的结论不正确； 无理数是无限的不循环小数，都是无限小数， 的结论正确； 带根号且开不尽放 方的数都是无理数， 的结论不正确； ， 两个无理数的和不一定是无理数， 的结论不正确； 数轴上的点与实数一一对应， 的结论正确； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数的概念，实数的运算，数轴的相关性质，利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 【例2】规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如，，．按此规定，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分，根据无理数的估算方法估算出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 【变式2-3】如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数． 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 【变式2-4】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 【变式2-5】计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式2-6】计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【例3】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案． 【详解】解：∵， 则，故正确； 则， ；故错误； 则， ，故正确； 则， ，故错误， 故正确的为． 故选：D． 【变式3-1】阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： (1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； (2)如果，其中x是整数，且，则_______． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）先估算出，再参照小明的做法求出m和n，代入计算即可； （2）先估算出，再参照小明的做法求出的整数部分和小数部分，即可求出，的值，将，的值代入中计算求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 的整数部分为， ∴小数部分为． ，， ， 故答案为：8； （2）解：， ∴， 的整数部分为，小数部分为． ，即，其中是整数，且， ，； ∴ ， 故答案为：． 【变式3-2】观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足． (1)化简：； (2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，实数的运算，分式的混合计算： （1）先把小括号内的式子通分，再根据分式乘法计算法则求解即可； （2）观察可知，这一列的数的被开方数是序号的平方加1，据此规律求解即可； （3）根据（1）（2）所求可得，则，进而可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知第个数为， 故答案为：； （3）解：∵是这列数的第2024个数， ∴由（2）可知， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】定义：任意两个数a 、b ，按规则c = a +b－ab 扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”. （1）若a =2， b =－3，直接写出a 、b 的“如意数” c ； （2）若a =2， b = x2 +1，求a 、b 的“如意数” c ，并比较b 与c 的大小； （3）已知a=x2-1，且a 、b 的“如意数” c = x3 +3x2－1，则b = （用含 x 的式子表示） 【答案】（1）5；（2）b>c ；（3）x+2 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断； （2）根据“如意数”的定义即可判断； （3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b即可； 【详解】解：（1）根据题意有c==5； （2）根据题意有c=2+ x2 +1-2×（x2 +1）=- x2 +1 b = x2 +1， x2 ≥0 ∴b>c （3）由题意得x3+3x2-1=（x2-1）b+（x2-1）+b， ∴x2b=x3+2x2， ∵x≠0， ∴b=x+2． 故答案为（1）5；（2）b>c ；（3）x+2． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型四】二次根式定义及性质 【例1】下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 【变式1-1】若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 【变式1-2】成立的条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，以及解一元一次不等式组，根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数建立不等式组求解，即可解题． 【详解】解：成立的条件是， 解得， 故选：C． 【例2】化简： ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 【变式2-1】如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2-3】实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先由数轴确定a、b的符号，进而确定绝对值里面的代数式的符号，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解∶由图知，则. ． 【例3】阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 【变式3-1】阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． (1)你认为 的解答是错误的； (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； (3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 【答案】(1)甲 (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的性质去判断即可； （3）根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴甲的解答是错误的； 故选：甲； （2）解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 【变式3-2】我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了新定义和解方程，理解和应用新定义是解题的关键．根据新定义，列方程，解答即可． 【详解】解：数对的一个“对称数对”是， 可能是或， 若是， 则，解得，，解得， ； 若是， 则，解得，，解得， ； 故答案为：6或． 【变式3-3】数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示： 化简：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、数轴，正确得出a，b的符号是解题关键．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ， ． 【变式3-4】阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：设，， 由（1）得：， 解得：， ． 【变式3-5】已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则． 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【题型五】二次根式的运算 【例1】下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此作答即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列二次根式为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用最简二次根式需要满足的两个条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、不能开方，因式是整式，故是最简二次根式，符合题意； D、，含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式． 【例2】计算： ． 【答案】4 【分析】根据解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：4． 【变式2-1】计算：的结果是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 【变式2-2】下列二次根式中，与的积是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的乘法．根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是无理数，本选项不符合题意； B、，是无理数，本选项符合题意； C、，不是无理数，本选项不符合题意； D、，不是无理数，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式2-3】计算：已知，，则 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：2 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键 【变式2-4】同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等． (1)猜想：______； (2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______； (3)请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______． 【答案】(1) (2)（答案不唯一，符合规律即可） (3) 【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； （3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：，验证如下： ． 故答案为． （2）解：根据已知等式的规律可写出：，…． 故答案为（答案不唯一，符合规律即可）． （3）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：． 【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． 【例3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，根据二次根式的除法计算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ∴． 【变式3-4】计算：． 【答案】6 【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 【变式3-5】已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， 当时， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【例4】下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，判断是否为同类二次根式，需将各选项化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 【详解】解：A：，与是同类二次根式； B：，与不是同类二次根式； C：，与不是同类二次根式； D：，与不是同类二次根式． 故选：A． 【变式4-1】已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 【变式4-2】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 【例5】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减，先化简各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【变式5-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法． 先把每个二次根式化为最简二次根式，再计算减法即可． 【详解】解： ． 【变式5-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例6】在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． （1）根据上述规律，进行解答，即可； （2）根据题意，则，可得，，再根据平方差公式，即可求出； （3）根据上述规律，则，，，……，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，，，……， ∴ ． 【变式6-1】阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将化为，然后通过无理数的大小估算及不等式的性质确定的符号，最后通过化简绝对值即可得出答案； （2）利用完全平方公式将化为，然后利用的非负性及不等式的性质即可得出答案； （3）利用完全平方公式可得，即，然后由不等式的性质可得，，于是可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； ； 故答案为：，； （2）解： ， ， ， 即：， 的最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式及不等式的性质是解题的关键． 【变式6-2】阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 【变式6-3】利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． ①根据已知可得，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； ②利用①的结论可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公42 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式（5知识&5题型） 【清单01】平方根与算术平方根 ① 平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根.正数的平方根为“”. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. ② 算术平方根：正数的正的平方根叫做的算术平方根，零的算数平方根是0. 【清单02】立方根 立方根：如果，那么叫做的立方根. 的立方根为“”. 性质：正数的立方根是正数；零的立方根是零；负数的立方根是负数. 【清单03】无理数与实数 ① 无理数：无限不循环小数叫做无理数. ② 实数：有理数和无理数统称为实数. ③ 实数与数轴：实数和数轴上的点是一一对应的. ④ 实数的分类： 【清单04】二次根式定义及性质 ① 二次根式定义：式子叫做二次根式 ② 二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用式子表示为 ；一个非负数求算术平方根再平方等于这个数本身，用式子表示为. 【清单05】二次根式运算 ① 最简二次根式：最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数不含能开的尽的因数或因式；（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式. ② 二次根式乘法运算：两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根，用式子表示为. ③ 二次根式除法运算：两个非负数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根，用式子表示为. ④ 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. ⑤ 二次根式加减法运算：先把每个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 【题型一】平方根与算术平方根 【例1】64的平方根是(　　)． A．±8 B．±4 C．±2 D．± 【变式1-1】的平方根是 ． 【变式1-2】若实数，满足，则的值是 ． 【变式1-3】若一个数的平方根为和，则a的值为 ，这个数为 ． 【例2】4的算术平方根是 ． 【变式2-1】化简 ． 【变式2-2】若，则的算术平方根为 ． 【变式2-3】先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【变式2-4】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【题型二】立方根 【例1】的立方根是 ． 【变式1-1】有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ． 【变式1-2】计算： (1) (2) 【变式1-3】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【变式1-5】已知：，，则（   ） A．0.1333 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对 【变式1-5】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【变式1-6】若，则的立方根是 ． 【例2】已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 【变式2-1】已知的算术平方根是3，的立方根是3，求． 【变式2-2】下列说法正确的是 ． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． 【变式2-3】已知与互为相反数，的立方根是2， (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【题型三】无理数与实数 【例1】已知下列各数中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】若，且a，b是两个连续整数，则 ． 【变式1-2】介于与之间的整数是 ． 【变式1-3】若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 【变式1-4】下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如，，．按此规定，的值为 ． 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【变式2-3】如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】计算： 【变式2-6】计算： 【例3】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： (1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； (2)如果，其中x是整数，且，则_______． 【变式3-2】观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足． (1)化简：； (2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）； (3)求出的值． 【变式3-3】定义：任意两个数a 、b ，按规则c = a +b－ab 扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”. （1）若a =2， b =－3，直接写出a 、b 的“如意数” c ； （2）若a =2， b = x2 +1，求a 、b 的“如意数” c ，并比较b 与c 的大小； （3）已知a=x2-1，且a 、b 的“如意数” c = x3 +3x2－1，则b = （用含 x 的式子表示） 【题型四】二次根式定义及性质 【例1】下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【变式1-2】成立的条件是（   ） A． B． C． D．且 【例2】化简： ． 【变式2-1】如果，那么x的取值范围 ． 【变式2-2】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简 ． 【例3】阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【变式3-1】阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． (1)你认为 的解答是错误的； (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； (3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 【变式3-2】我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【变式3-3】数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示： 化简：． 【变式3-4】阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3-5】已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 【题型五】二次根式的运算 【例1】下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列二次根式为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】计算： ． 【变式2-1】计算：的结果是 ． 【变式2-2】下列二次根式中，与的积是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】计算：已知，，则 ． 【变式2-4】同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等． (1)猜想：______； (2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______； (3)请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______． 【例3】计算： ． 【变式3-1】计算的结果是 ． 【变式3-2】计算：． 【变式3-3】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 【变式3-4】计算：． 【变式3-5】已知，求代数式的值． 【例4】下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 【变式4-2】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【例5】计算：． 【变式5-1】计算：． 【变式5-2】计算 (1)； (2)． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 【例6】在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 【变式6-1】阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 【变式6-2】阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【变式6-3】利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算： ． 学科网（北京）股份有限公12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $