专题03 三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

专题03 三角形（6知识&8题型） 【清单01】三角形的性质 ① 三角形的边：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边. ② 三角形的角： 【清单02】三角形的线段 ① 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 中线性质：三角形的中线平分三角形的面积；一个三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心. ② 三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 角平分线性质：角平分线平分三角形的内角；双角分线形成的角与第三个角之间的规律；一个三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心. ③ 三角形的高线：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高. 高线性质：一个三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心. 【清单03】全等三角形 ① 全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ② 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. ③ 全等三角形的判定： 【题型一】三角形的边 【例1】下列图形中，具有稳定性的是（   ） A．三角形 B．多边形 C．平行四边形 D．长方形 【变式1-1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【例2】下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．6，6，6 B．6，6，12 C．6，7，14 D．5，6，11 【变式2-1】已知三角形的三边长分别是，，，请写出一个可能的取值 ． 【变式2-2】已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，5，，若它们能构成三角形，则整数不可能是（   ） A．10 B．8 C．7 D．4 【变式2-4】如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【例3】已知为的三边，且满足，，则的取值范围是 ． 【变式3-1】已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为 ． 【变式3-2】若一个三角形两边长分别为2、5，则此三角形的周长c的取值范围为 ． 【题型二】三角形的角 【例1】通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【变式1-1】已知如图，，，，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE，若∠ABC=30°，则∠D为（　　） A．85° B．75° C．60° D．30° 【例2】如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则 ． 【变式2-1】如图，在中，，将沿直线折叠，使点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【例3】如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为 ． 【变式3-1】在中，则 ， ． 【例4】如图，已知为的外角，，，则的度数是 ． 【变式4-1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点，的移动而变化 【变式4-3】如图，将一副直角三角尺按图中所示放置，则图中的 °． 【变式4-4】如图，已知，那么的度数为 【变式4-5】已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α． （1）当α＝40°时，∠BPC＝　　°，∠BQC＝　　°； （2）当α＝　　°时，BM∥CN； （3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数； （4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　　． 【例6】如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 【变式6-2】在中，，，则 ． 【变式6-3】如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）    A．35° B．55° C．60° D．70° 【题型三】三角形的中线 【例1】如图，在中，是边上的中线，的面积是，则的面积为 ． 【变式1-1】如图，在中，点，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【变式1-2】在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8，则△BEF的面积是（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【例2】如图，AD是的中线，已知的周长为25cm，AB比AC长6cm，则的周长为 cm．    【变式2-1】如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【变式2-2】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【题型四】三角形的角平分线 【例1】点是和的平分线的交点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【变式1-3】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）个． A． B． C． D． 【例2】如图，在中，． (1)用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 【变式2-1】下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P ． 求作：直线l的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2， ① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点； ② 连接PA和PB； ③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q． ④ 作直线PQ ． ∴ 直线PQ就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵ PQ平分∠APB， ∴ ∠APQ=∠QPB． 又∵ PA= ，PQ=PQ， ∴ △APQ≌△BPQ（                  ）（填推理依据）． ∴ ∠PQA=∠PQB（                         ）（填推理依据）． 又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°， ∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°． ∴ PQ ⊥ l ． 【题型六】三角形的高线 【例1】利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【例2】如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【变式2-2】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点F．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数． 【变式2-4】如图，是的上的高，平分，若，求的度数． 【变式2-5】若是的高，且，，则的度数是 ． 【变式2-6】已知：、是的高，直线、相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 【题型七】全等及全等的性质 【例1】下面是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”图片，与该图片是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式2-2】已知，如图所示，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有（　　）对全等三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【变式2-4】如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 【例3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3-2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【变式3-4】如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【变式3-5】如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 【变式3-6】如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 【题型八】三角形全等的判定 【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【变式1-1】如图：和中，；试说明． 【变式1-2】如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式1-3】如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【例2】如图，是的平分线，．试说明：． 【变式2-1】如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式2-2】如图，已知，，，求证：． 【变式2-3】如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是线段、的中点．以下结论正确的是： ． ①；②；③平分；④且 【变式2-4】已知：如图，、、三点在同一直线上，，，，判断线段与线段的关系，并证明你的结论． 【例3】已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【变式3-1】定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上点在轴的负半轴上，，．    (1)如图①，若点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点的坐标______； (2)在（1）的条件下，若轴于点，点在轴上，，连接并延长，交于点，求的长； (3)如图②，若点的坐标为，点在的延长线上，过点（，）作轴于点，连接，写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式3-3】如图，在和中，，，，为的中点，连接，求证：． 【例4】如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为 ． 【变式4-1】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【变式4-2】如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式4-3】已知：如图，于点于点．求证：．    【变式4-4】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【变式4-5】如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点D，交于点M，交于点N，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5】如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 【变式5-1】如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式5-2】如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【变式5-3】如图，，，，的延长线于点． (1)求证：； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式5-4】如图1，A是线段上一点，，，，． (1)求证：． (2)若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 【例6】如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在和中，，再添一个条件不能使和全等的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】根据下列已知条件，不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列命题： ①两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④两边和其夹角对应相等的两个三角形全等； 其中正确的命题有 ． 【例7】老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【变式7-1】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 【例8】如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【变式8-1】在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，、足够长，于A，于B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M、N运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段AC的长为 ． 【变式8-2】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 学科网（北京）股份有限公2 / 27 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形（3知识&8题型） 【清单01】三角形的性质 ① 三角形的边：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边. ② 三角形的角： 【清单02】三角形的线段 ① 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 中线性质：三角形的中线平分三角形的面积；一个三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心. ② 三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 角平分线性质：角平分线平分三角形的内角；双角分线形成的角与第三个角之间的规律；一个三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心. ③ 三角形的高线：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高. 高线性质：一个三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心. 【清单03】全等三角形 ① 全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ② 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. ③ 全等三角形的判定： 【题型一】三角形的边 【例1】下列图形中，具有稳定性的是（   ） A．三角形 B．多边形 C．平行四边形 D．长方形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：A、三角形具有稳定性，则此项符合题意； B、多边形不具有稳定性，则此项不符合题意； C、平行四边形不具有稳定性，则此项不符合题意； D、长方形不具有稳定性，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 【例2】下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．6，6，6 B．6，6，12 C．6，7，14 D．5，6，11 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 本题判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案. 【详解】解：A、，以6，6，6为边能组成三角形，故A符合题意； B、，以6，6，12为边不能组成三角形，故B不符合题意； C、，以6，7，14为边不能组成三角形，故C不符合题意； D、，以5，6，11为边不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：A. 【变式2-1】已知三角形的三边长分别是，，，请写出一个可能的取值 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是，，， ∴， ∴， ∴可能的取值为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴x为8、9、10， ∴这样的三角形个数为3． 故选：C． 【变式2-3】课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，5，，若它们能构成三角形，则整数不可能是（   ） A．10 B．8 C．7 D．4 【答案】A 【分析】考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得，即， ∴整数不可能为10， 故选：A． 【变式2-4】如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：在中，，，， 则， A，B间的距离不可能是， 故选：D． 【例3】已知为的三边，且满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边数量关系的运用，解一元一次不等式，理解三边数量关系，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据三角形三边数量关系“两边之和大于第三边，两边之和小于第三边”得到，，结合，，可得，，再根据不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：∵为的三边， ∴，， ∵，， ∴，， 解得，， 故答案为： ． 【变式3-1】已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式（组）的应用，因为不能确定最长和最短边，分三种情况：①；②；③，然后根据计算结果可得答案．解题的关键是理解已知条件中的新定义的含义． 【详解】解：分三种情况讨论： ①， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； ②， 解得：， ， 解得：， ∴， 此时，不合题意舍去； ③， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 综上所述：的整数值为或或或． 故答案为：或或或． 【变式3-2】若一个三角形两边长分别为2、5，则此三角形的周长c的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据三角形的三边关系“任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步求解周长的取值范围． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形的三边关系，得， 即：， 周长范围：， 即：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握三角形的三边关系定理． 【题型二】三角形的角 【例1】通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 【变式1-1】已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-2】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE，若∠ABC=30°，则∠D为（　　） A．85° B．75° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=30°， 又∵CD=CE， ∴∠D=∠CED， ∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°， ∴∠D=75°． 故选B． 【点睛】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D． 【例2】如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵， 由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】如图，在中，，将沿直线折叠，使点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要三角形外角的性质及轴对称的性质，由轴对称的性质得出，再由，，即可得到，从而求出答案． 【详解】解：由题意得：， ，， ， ． 故选：D．    【变式2-2】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【例3】如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查特殊角的和差，三角形的内角和定理，理解角的位置关系和角的和差是解题的关键．根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意，一副三角尺， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】在中，则 ， ． 【答案】 /30度 /60度 【分析】本题主要考查三角形内角和，通过三角形内角和为列方程是解答本题的关键． 设设，，，根据三角形内角和为列方程求解即可． 【详解】∵在中， ∴设，，， ∴， 解得 ∴． 故答案为：，． 【例4】如图，已知为的外角，，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟悉掌握三角形的外角的运算方法是解题的关键．根据三角形外角的定义运算求解即可． 【详解】解：∵为的外角，，， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：由图可得， 故选：C． 【变式4-2】如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点，的移动而变化 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，即可求出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式4-3】如图，将一副直角三角尺按图中所示放置，则图中的 °． 【答案】75 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴； 故答案为75． 【变式4-4】如图，已知，那么的度数为 【答案】80° 【分析】根据多边形外角和的性质求解即可． 【详解】解：根据多边形外角和的性质可得， 又∵ ∴． 故答案为：80°． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和的性质，掌握多边形外角为成为解答本题的关键． 【变式4-5】已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α． （1）当α＝40°时，∠BPC＝　　°，∠BQC＝　　°； （2）当α＝　　°时，BM∥CN； （3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数； （4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　　． 【答案】（1）70， 125；（2）60；（3）45°；（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°． 【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可； （3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数； （4）分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解． 【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°， ∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线， ∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°， ∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°， ∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线， ∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB， ∴∠QBC+∠QCB＝55°， ∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°； （2）∵BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α， ∴（∠DBC+∠BCE）＝180°， 即（180°+α）＝180°， 解得α＝60°； （3）∵α＝120°， ∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°， ∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°； （4）∵α＞60°， ∠BPC＝90°﹣α ∠BQC＝135°﹣α ∠BOC＝α﹣45°． ∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°． 故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 【例6】如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 【变式6-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，由平分交边于，得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式6-2】在中，，，则 ． 【答案】60° 【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出，解方程组即可． 【详解】解：在中，， ∴， 解方程组得， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了三角形内角和和解方程组，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程组． 【变式6-3】如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）    A．35° B．55° C．60° D．70° 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义求解即可得答案. 【详解】∵CD⊥BD，∠C=55°， ∴∠CBD=90°-55°=35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°， 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 【题型三】三角形的中线 【例1】如图，在中，是边上的中线，的面积是，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是熟悉三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分的知识点．根据三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分即可求解． 【详解】解：∵中，是边上的中线，的面积是， ∴的面积为． 故答案为：12． 【变式1-1】如图，在中，点，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，进而得，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8，则△BEF的面积是（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：如图，点F是CE的中点， ∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等； ∴S△BEF＝S△BEC， 同理得，S△EBC＝S△ABC， ∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝8， ∴S△BEF＝2， 即阴影部分的面积为2． 故选：A． 【点睛】此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知三角形中线的性质． 【例2】如图，AD是的中线，已知的周长为25cm，AB比AC长6cm，则的周长为 cm．    【答案】19 【详解】试题分析：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）-（AC+BD+CD）=AB-AC，∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD周长为：25-6=19cm． 考点：三角形的中线定义 点评：该题考查三角形中线的性质，根据周长之间的关系求出线段的差，从而根据三角形周长公式求出所求. 【变式2-1】如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【变式2-2】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【题型四】三角形的角平分线 【例1】点是和的平分线的交点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，根据题意可得：平分，，推出，由，可得，进而得到，最后根据三角形的内角和定求解即可． 【详解】解：如图，连接， 点是和的平分线的交点， 平分， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1-1】如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 【变式1-2】在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形的角平分线，余角性质，直角三角形的两锐角互余，由，可得，，进而由角平分线的定义和余角性质可得，再根据对顶角相等即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 【例2】如图，在中，． (1)用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)的长度为 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、角平分线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；（2）根据角平分线的性质可得，设，则，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 是的角平分线， ， 又，， ， 在中，，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴的长度为． 【变式2-1】下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P ． 求作：直线l的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2， ① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点； ② 连接PA和PB； ③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q． ④ 作直线PQ ． ∴ 直线PQ就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵ PQ平分∠APB， ∴ ∠APQ=∠QPB． 又∵ PA= ，PQ=PQ， ∴ △APQ≌△BPQ（                  ）（填推理依据）． ∴ ∠PQA=∠PQB（                         ）（填推理依据）． 又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°， ∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°． ∴ PQ ⊥ l ． 【答案】（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等． 【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图； （2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质． 【详解】（1）如图： （2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等． 【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般． 【题型六】三角形的高线 【例1】利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法错误，不符合题意； D、作法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 【例2】如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-1】如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义， 由高线可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】解：∵是高， ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点F．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，求得，再根据，计算即可． 【详解】∵是边上的高， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的高，角的平分线，三角形外角性质，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键． 【变式2-3】如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【分析】AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，． 【详解】解：∵AD是的高 ∴ ∵ ∴ ∵CE是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴在中，． 【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系． 【变式2-4】如图，是的上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故． 【详解】解：解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高，， ∴， ∴． 【变式2-5】若是的高，且，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等，分在内部和外部两种情况讨论即可． 【详解】解：当在内部时， ∵，， ∴； 当在外部时， ， ∵，， ∴； ∴的度数是或， 故答案为：或． 【变式2-6】已知：、是的高，直线、相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：（1）当为锐角时，如图1， （2）当为钝角时，如图2，根据四边形的内角和为和高得计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： （1）当为锐角时，如图1， ∵， ∴， ∵、是的高， ∴， ∴； （2）当为钝角时，如图2， ∵， 同理：， ∴， ∴， 则的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的高和四边形的内角和，明确四边形的内角和为，三角形的高所构成了两个直角；本题是易错题，容易漏解，要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算． 【题型七】全等及全等的性质 【例1】下面是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”图片，与该图片是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可． 【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等形的是D， 故选：D． 【例2】下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 【变式2-1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式2-2】已知，如图所示，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有（　　）对全等三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】△ACO和△ADO，△ADB和△ACB，△COB和△DOB全等， 故选C． 【变式2-3】如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 故可以画出个， 故答案为：． 【变式2-4】如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）过A作AE//PQ，过E作EB//PR，再顺次连接A、E、B．（答案不唯一） （2）作一个与△PQR面积相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一） 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【例3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质定理的应用，由全等三角形的性质可得第二个图中的对边为，再由第一个图中边的对角为，即可得出． 【详解】解：图中的两个三角形全等， 由全等三角形的性质得，第二个图中的对边为， 第一个图中边的对角为， ， 选项符合题意， 故选：． 【变式3-1】如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴（米）， ∴，之间的距离为M，N之间的距离为米． 故选：A． 【变式3-2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由三角形内角和定理可得，再由全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3-3】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式3-4】如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-5】如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是1或2时，能够使与全等， 故答案为：1或2． 【变式3-6】如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 【题型八】三角形全等的判定 【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ． 【变式1-1】如图：和中，；试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到． 【详解】解：， ，即， 在和中， ． 【变式1-2】如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 【例2】如图，是的平分线，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】解： 是的平分线， ． 在和中， ， 【变式2-1】如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式2-3】如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是线段、的中点．以下结论正确的是： ． ①；②；③平分；④且 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先证明出，得到，即可判断①；延长交于点F，得到，然后结合三角形内角和 得到，即可判断②；根据题意无法证明平分，即可判断③；证明出，得到，进而可判断④． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，延长交于点F ∵，点在线段上， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 根据题意无法证明平分，故③错误； ∵，，分别是线段、的中点 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 【变式2-4】已知：如图，、、三点在同一直线上，，，，判断线段与线段的关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据证明得，然后根据三角形内角和定理可证． 【详解】解：，理由： ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例3】已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①图见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）解：， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①解：如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上点在轴的负半轴上，，．    (1)如图①，若点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点的坐标______； (2)在（1）的条件下，若轴于点，点在轴上，，连接并延长，交于点，求的长； (3)如图②，若点的坐标为，点在的延长线上，过点（，）作轴于点，连接，写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)2 (3)，证明见解析 【分析】（1）过点作轴于点，证明，得到，，再根据、两点的坐标，得出，，即可得到点的坐标； （2）由（1）可知，从而得到，再证明，即可求出的长； （3）在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点，证明，得到，，再利用直角和三角形内角和定理，得到，证明，得到，即可得到线段，，之间的数量关系， 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为；；      （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图②，在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点， ，，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的特征，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式3-3】如图，在和中，，，，为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】延长到G，使，连接，证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得到，然后根据，可得，可证得，即可求证． 【详解】证明：延长到G，使，连接， ∴ ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【例4】如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得三角形的两角和它们的夹边是完整的，由此可利用定理作出完全一样的三角形，从而得解． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，故可以利用定理作出完全一样的三角形， 故答案为：． 【变式4-1】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【答案】 2 角边角 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判断方法解答． 【详解】解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：2；角边角． 【变式4-2】如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】已知：如图，于点于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角开的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，由可得，再由，可得，利用可证明． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ 在与中 【变式4-4】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 【变式4-5】如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点D，交于点M，交于点N，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①由得到，由角的和差解题即可； ②由得到，继而证明即可解题； ③由得到及三角形内角和可得，再由角的和差解题即可； ④证明即可解题． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ③∵， ∴， ∴， ∵ ，故③符合题意； ④由①知， 又∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故正确的结论有：①②③④， 故选：D． 【例5】如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图，过点E作垂直交于点G，然后证明可得，进而得到，再证明得到即可证明结论． 【详解】证明：如图，过点E作垂直交于点G， ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴点F是的中点． 【变式5-1】如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)见解析，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式5-3】如图，，，，的延长线于点． (1)求证：； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先证明，由对顶角相等可得，可得出，最后由可得结论； （2）延长交于点F，先证明，可得，再证明可得再证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）解：理由如下： 如图，延长交于点F， ， 在和中 ， ， 在和中 ， 【变式5-4】如图1，A是线段上一点，，，，． (1)求证：． (2)若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出； （3）由（2）知，，然后求出，的长，进而即可得解； 熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）如图，连接， 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 【例6】如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，两个三角形全等共有五个定理，即、、、及，注意：无法证明三角形全等．先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，找出错误的选项即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，可利用证明，故A选项不符合题意， 当时，无法证明三角形全等，故B选项符合题意， 当时，可利用证明，故C选项不符合题意， 当时，可利用证明，故D选项不符合题意， 故选：B． 【变式6-1】如图，在和中，，再添一个条件不能使和全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知，，再根据各选项添加条件，利用三角形全等的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：∵，， A、若，则，即，即可判定，故不符合题意； B、若，不能判定，故符合题意； C、若，即可判定，故不符合题意； D、若，则，即可判定，故不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】根据下列已知条件，不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判定，需根据全等三角形的判定条件（）逐一分析各选项． 【详解】解：A．已知三边（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； B．已知两边（）及其中一边的对角（），属于情况．由于不是和的夹角，无法保证三角形唯一性，可能存在两种不同形状的三角形，符合题意； C．已知两边（）及其夹角（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； D．已知直角边，斜边，满足定理，可唯一确定直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式6-3】下列命题： ①两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④两边和其夹角对应相等的两个三角形全等； 其中正确的命题有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．利用全等三角形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：如图，在，中，、是中线，，，， ， ， ， ，所以①正确． 如图，在，中，，是中线，，，， 延长到点，使得， ∵，，， ， ∴， 同理，在中，可证， ，所以③正确； 有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以④正确； 如图，在和中，公共，，高公共，但是和不一定全等， 故两边和第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，所以②错误． 故答案为：①③④． 【例7】老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 【答案】120° 【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解． 【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N 如图所示，此时△AMN的周长最小 ∵∠ABM=90° ∴∠EBM=90° 在△AMB和△EMB中 ∴△AMB≌△EMB ∴∠BEM=∠BAM ∴∠AMN=2∠BAM 同理可得：△AND≌△FDN ∴∠NAD=∠NFD ∴∠ANM=2∠NAD 设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y ∵∠BAD=120° ∴ 解得： 即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键． 【例8】如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【分析】首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵， ，点D为的中点， ∴厘米， ∵， ∴， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点Q的速度为：； 时，，故点Q的速度为：； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 【变式8-1】在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，、足够长，于A，于B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M、N运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段AC的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，设，，则，分两种情况讨论：①当,，；②当，时，，分别列方程求解即可． 【详解】解：，， ， M、N运动的速度之比， 设，， ， ， ①当,，， 则， 解得：， ； ②当，时，， 则， 解得：， ； 综上可知，线段AC的长为或， 故答案为：或． 【变式8-2】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练的建立方程求解，清晰的分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动度； 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ∵， ∵点E为线段的中点． ∴， ∴当时，与全等． 此时，， 解得 ∴， 此时，点Q的运动速度为（厘米/秒） 当，时，与全等． 此时 解得 ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为3或． 学科网（北京）股份有限公2 / 88 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $