专题03 绝对值化简的三种考法（高效培优期中专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题03 绝对值化简的三种考法 考点01 利用数轴化简绝对值 考点02 分类讨论化简绝对值 考点03 利用几何意义化简绝对值 考点01 利用数轴化简绝对值 1．已知有理数a、b、c在数轴的对应位置如图，则可化简为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在数轴上表示的数为，且到的距离和到的距离相等；（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有理数在数轴上的位置如图所示． (1)判断，______，______，______． (2)化简． 4．已知a，b，c在数轴上的位置如图． (1)____0，____0， ____0；（请用“”或“”填空） (2)化简： 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 6．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 考点02 分类讨论化简绝对值 7．已知、、都不等于零，且的最大值是，最小值是，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知、、均为整数，且，（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如果，且，那么 ． 11．若非零有理数m、n、p满足，则 ． 12．已知有四个不同的解，则 ． 13．若a、b、c是整数，且，则 ． 14．已知整数满足，则的值为 ． 15．已知是非零有理数，且，求． 考点03 利用几何意义化简绝对值 16．【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 17．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 18．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 19．【知识储备】点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 20．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 21．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 22．阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 23．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 24．在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值化简的三种考法 考点01 利用数轴化简绝对值 考点02 分类讨论化简绝对值 考点03 利用几何意义化简绝对值 考点01 利用数轴化简绝对值 1．已知有理数a、b、c在数轴的对应位置如图，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴的特点及绝对值的性质，能根据数轴的特点判断大小是解答此题的关键．先根据数轴上各点的位置，判断出其大小，再由绝对值的性质对原代数式进行化简． 【详解】解：∵由数轴的特点可知，，， ∴，，， ∴ 故选：D． 2．如图，点在数轴上表示的数为，且到的距离和到的距离相等；（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查由数轴上点的位置表示数及式子的符号，熟记数轴与性质是解决问题的关键．先由点在数轴上的位置得到，且，从而逐项判断各个结论的正误即可得到答案． 【详解】解：由图可知，，且， ，（1）正确； ， ，（2）错误； ，且到的距离和到的距离相等， ，（3）正确； ， ，（4）错误； 综上所述，其中正确的是（1）（3），共2个， 故选：B． 3．有理数在数轴上的位置如图所示． (1)判断，______，______，______． (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负是解答本题的关键． （）根据数轴得出，且，再求出答案即可； （）根据数轴得出，，再化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，，且， ∴； ∵，， ∴， 又∵，两个负数相加还是负数， ∴； 故答案为：； （2）由()可知，， ∴， ∵， 则； ∴ 4．已知a，b，c在数轴上的位置如图． (1)____0，____0， ____0；（请用“”或“”填空） (2)化简： 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查数轴，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）观察数轴可知，根据有理数的加减法运算法则即可解答； （2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， 故答案为：； （2） 解：∵， ∴， ∴ ． 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 【答案】(1)<；<；>；< (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、有理数的加减法、绝对值等知识点，根据有理数在数轴上的位置确定其取值范围是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的取值范围，进而确定各代数式的正负即可解答； （2）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可； （3）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可． 【详解】（1）解：由有理数a，b，c在数轴上的位置，可得：， ∴，，，． 故答案为：，，，． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 6．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 考点02 分类讨论化简绝对值 7．已知、、都不等于零，且的最大值是，最小值是，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】此题考查有理数的除法，绝对值的意义，以及代数式求值等知识．当取最大值时，a，b，c都为正数；当取最小值时，a，b，c都为负数，即，，代入求值即可． 【详解】解：当a，b，c都大于0，可得； 当a，b，c都小于0，可得； 当a，b，c一正二负，可得； 当a，b，c二正一负可得； ∴，， ∴， 故选：B． 8．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 9．已知、、均为整数，且，（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质、取绝对值等知识点，弄清楚a、b、c之间的关系成为解题的关键． 由已知条件可得，或，；然后分两种情况解答即可． 【详解】解：∵、、均为整数，且， ∴，或，； 当，时， ∴，， ∴， ∴． 当，；时， ∴，，， ∴ ∴． 综上，的值为2． 故选C． 10．如果，且，那么 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 11．若非零有理数m、n、p满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，解决本题的关键是根据已知条件得出． 先根据得出，然后再对原式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴m、n、p的符号为两负一正， ∴， ∴． 故答案为：． 12．已知有四个不同的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．由可化简得，在化简的过程中判断、、、的符号，从而对题中的绝对值进行化简． 【详解】解：由有四个不同的解，可知、均不为0，且， 故， 则， 化简得可知，， ，，而且， ． 故答案为：4． 13．若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 14．已知整数满足，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 15．已知是非零有理数，且，求． 【答案】0或 【分析】本题主要考查化简绝对值，由可知、、中有两个同为正或同为负，然后再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵是非零有理数，且， ∴中必为两正一负或一正两负， 不妨设，，，则，，， ∴ ； 再设，，，则，，， ∴ ． 综上，原式的值为0或． 考点03 利用几何意义化简绝对值 16．【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 17．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 18．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 【答案】(1)2，6 (2)10 (3)，2 (4)12，10 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值及两点间的距离等知识点， （1）直接根据绝对值的意义求解即可； （2）直接化简绝对值即可； （3）分x在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可； （4）分当时，当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可； 熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：2；6； （2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间， ∴， 故答案为：10； （3）∵表示x到1和到的距离之和为5， ∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为，∴ 当x在1右边时，x到1和到的距离之和为，∴ 当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为， ∴符合题意的整数x为，2， 故答案为：，2； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴综上，当时，的值最小，最小为12， ∴满足最小值时整数x的和是， 故答案为：12；10； 19．【知识储备】点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 20．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小． 故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7． 故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 21．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 22．阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 【答案】(1)60 (2)或5 (3)7 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解； （2）分在点左边，、都在、中间，点在、中间，在点右边，和、都在点右边四种情况讨论，列出相应方程即可求解； （3），可推出，进而求出即可求解． 【详解】（1）∵， ∴点到、两点的距离的和为60， 故答案为：60； （2）若在点左边，则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得：， 若、都在、中间，此时距离和为，不符合题意， 若点在、中间，在点右边， 则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得， 若、都在点右边，此时仅点与点的距离，不符合题意： 综上所述，当或5时，满足题意． （3）由前面可知，， ∵已知 当时，有最大值： 综上所述，的最大值为7． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据、相对的位置关系分类． 23．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 24．在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时，；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵， ∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， ∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 1 / 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