专题05 代数式探索与表达规律的两种考法（高效培优期中专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题05 代数式探索与表达规律的两种考法 考点01 数字类规律探索 考点02 图形类规律探索 考点01 数字类规律探索 1．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 2．观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 3．“鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下月题： 【问题引入】 从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决月题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有种不同的结果．结果用含a的式子表示 【问题解决】 （4）从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有______种不同的金额． 4．【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进几”就是几进制.爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定，）． 【示例呈现】 将25.5转化为二进制． 第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是…32，16，8，4，2，1，，，…； 从右到左，相邻两数是2倍关系； 第二步计算填表：将25.5用表中列出的十进制中的数对比，不够32，够16的1倍，对应二进制标注1，，9.5够8的1倍，对应二进制标注1，，依此类推，够的在二进制标注1，不够的填0，直至差为0． 十进制 32 16 8 4 2 1 二进制 0 1 1 0 0 1 1 0 第三步给出结果：从有1的位数开始从左到右记数，25.5的二进位就是； 第四步验证结果（二进制转化成十进制）：． (1)直接写出将10转化为二进制的结果； (2)计算：①（结果用二进制表示）； ②（结果用十进制表示）． (3)利用给出的表格，将转化为四进制； 十进制 四进制 a b c d e f 求的值． 【拓展提高】 (4)①利用表格法，将十进制数500转换为五进制数； ②求的值（结果用十进制表示）； ③根据下表，将2025转化为N进制所给出的信息，直接写出n的值． 十进制 N进制 1 3 2 1 3 5．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 6．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 7．观察下列式子： ，，，，， (1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________； (2)请写出第个式子：___________； (3)计算：． 8．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算 ； (2)计算的值； (3)将算式类比到如下形式，猜想 ． 9．观察下列各式，回答问题： 第一个等式：  第二个等式：  第三个等式： (1)猜想并写出：第n个等式为________________（n为正整数）； (2)请直接写出下列各式的计算结果： ①___________； ②_____________． (3)探究并计算：的值． 10．将1，2，3，4…这些连续的自然数按下列方式排列成一个数表，如下． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 9 第2行 2 4 6 8 10 第3行 11 13 15 17 19 第4行 12 14 16 18 20 第5行 21 23 25 27 29 第6行 22 24 26 28 30 --- … … …   …   … 按照以上规律，解决下列问题： (1)第行第列的数字是 ； (2)请写出第行第列的数字． 考点02 图形类规律探索 11．当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 12．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 13．如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 14．如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留） ②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 15．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”、“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0），有别于我们常用的逢10进1的十进制数，如，二进制是逢2进1的计数制． 下图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制数字11000，转化成十进制数字为：，同理，第二行至第五行代表的二进制数字分别为1100、111、11100、1101，转化成十进制为：12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2412072813． (1)若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是 ，转化成十进制后可得到他的考场号是 ． (2)若本次考试中，“小杨”的准考证号是2917041311，而图3是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你帮他补充完整； (3)生活中，有时候也会用到其他进制数，请你将八进制数字3750转化成十进制数字． 16．在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 17．将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 18．[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层． [规律总结] 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； [问题解决] （2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 19．已知图1中有1个等边三角形，记作；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作；…….按照此规律解答下列问题： (1)图4中有_______个等边三角形，记作_________； (2)图中有_______个等边三角形，记作_________；（结果用含的代数式表示，不用说理） (3)在求的值时，可令，则，∴，∴，按此方法计算；（结果用含的代数式表示） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 代数式探索与表达规律的两种考法 考点01 数字类规律探索 考点02 图形类规律探索 考点01 数字类规律探索 1．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 【答案】(1)，过程见详解 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法，是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①得， 即； （2）解：令，① 则，② ②－①得， ∴ ∴． 2．观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)128 (2) (3)第②行数等于第①行相应数减去2 (4)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数，根据题意找出各行之间数的变化规律是解题的关键． （1）观察数据可知，第①行第7个数是； （2）观察数据可知，第①行的数都是2的乘方得到，且偶数个数的系数为负，据此即可求解； （3）观察数据可知，第②行的数等于第①行相应的数减去2； （4）根据第②行的数等于第①行相应的数减去2，第③行的数是第①行与第②行相应的数的和，分别用表示出来列出代数式，利用3数之和为1020得到方程，解出来答案后，然后再判断是否合理． 【详解】（1）解：观察数据可知，第①行第7个数是， 故答案为：128． （2）解：观察数据可知，第①行的数都是2的乘方得到，且偶数个数的系数为负， 所以第①行第n个数是， 故答案为：． （3）解：观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2； （4）解：不存在，理由如下： 观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2，第③行的数是第①行与第②行相应的数的和， 由题意可知，同一列的数字符号相同，那么这三个数都是正数， 设第①行的数为，第②行相应的数为，第③行相应的数为， ∴这一列三个数的和为， 整理得， 那么这3个数为256、254、510， ， ∴256在第八列， 但第八列是负数，故不存在这样的数． 3．“鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下月题： 【问题引入】 从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决月题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有种不同的结果．结果用含a的式子表示 【问题解决】 （4）从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有______种不同的金额． 【答案】（1）7；（2）22；（3）种；（4） 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键是理解题意． 模型探究：（1）列举出从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，然后进行相加即可得出答案； （2）列举出从1，2，3，4，…，10这10个整数中任取3个整数，然后进行相加即可得出答案； （3）根据（1）（2）可总结规律，进而问题可求解； 问题解决：（4）根据（3）中结论可代入进行求解． 【详解】模型探究：（1）由题意得：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数， 则有，，，，，，，，，， 其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这两个整数之和共有种情况， 故答案为：7； （2）由题意得：从1，2，3，4，…，10这10个整数中任取3个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这3个整数之和共有种情况， 故答案为：22； （3）由（1）（2）可知： 从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这5个整数之和共有种情况； 问题解决：（4）由（3）可得：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，任意抽取5张奖券，其面值之和共有种情况， 故答案为： 4．【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进几”就是几进制.爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定，）． 【示例呈现】 将25.5转化为二进制． 第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是…32，16，8，4，2，1，，，…； 从右到左，相邻两数是2倍关系； 第二步计算填表：将25.5用表中列出的十进制中的数对比，不够32，够16的1倍，对应二进制标注1，，9.5够8的1倍，对应二进制标注1，，依此类推，够的在二进制标注1，不够的填0，直至差为0． 十进制 32 16 8 4 2 1 二进制 0 1 1 0 0 1 1 0 第三步给出结果：从有1的位数开始从左到右记数，25.5的二进位就是； 第四步验证结果（二进制转化成十进制）：． (1)直接写出将10转化为二进制的结果； (2)计算：①（结果用二进制表示）； ②（结果用十进制表示）． (3)利用给出的表格，将转化为四进制； 十进制 四进制 a b c d e f 求的值． 【拓展提高】 (4)①利用表格法，将十进制数500转换为五进制数； ②求的值（结果用十进制表示）； ③根据下表，将2025转化为N进制所给出的信息，直接写出n的值． 十进制 N进制 1 3 2 1 3 备用表格： 【答案】(1) (2)①；② (3) (4)①；②；③ 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据逢几进几进行计算即可； （2）先根据逢二进一进行计算，再转化为十进制； （3）根据题中的表格计算； （4）根据进制的规定继续推算即可． 【详解】（1） （2）① ② （3） （4）① ② ③由表格得： 5．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4） ．永远不可能倒完． 6．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【详解】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 7．观察下列式子： ，，，，， (1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________； (2)请写出第个式子：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题目中的等式，可以写出第个式子即可； （）根据题目中的等式的特点，可以写出第个式子； （）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：依照上述规律，第个式子为， 故答案为：； （2）解：∵第式子为， 第式子为， 第式子为， 第式子为， ， ∴第个式子为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 8．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算 ； (2)计算的值； (3)将算式类比到如下形式，猜想 ． 【答案】(1)323400 (2)22520 (3) 【分析】本题考查的是探索规律的题目，解答本题的关键是读懂题目信息，学会把乘法算式拆写成两个式子的运算形式． （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入公式进行计算即可求解； （2）将变为，整理即可得解； （3）根据题目中算式得出一般规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 故答案为：． 9．观察下列各式，回答问题： 第一个等式：  第二个等式：  第三个等式： (1)猜想并写出：第n个等式为________________（n为正整数）； (2)请直接写出下列各式的计算结果： ①___________； ②_____________． (3)探究并计算：的值． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究、有理数四则混合运算： （1）根据题中的拆项规则求解； （2）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解； （3）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解． 【详解】（1）解：根据题意得：第n个等式为； 故答案为： （2）解：① 故答案为：； ② ， 故答案为：； （3）解： ． 10．将1，2，3，4…这些连续的自然数按下列方式排列成一个数表，如下． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 9 第2行 2 4 6 8 10 第3行 11 13 15 17 19 第4行 12 14 16 18 20 第5行 21 23 25 27 29 第6行 22 24 26 28 30 --- … … …   …   … 按照以上规律，解决下列问题： (1)第行第列的数字是 ； (2)请写出第行第列的数字． 【答案】(1)； (2)当为奇数时，第行第列的数字是；当为偶数时，第行第列的数字是． 【分析】本题考查了数字规律，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据表格当为奇数时，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，然后代入即可求解； （）根据表格当为奇数时，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为；当为偶数时，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，从而求解． 【详解】（1）解：由表格可知，当为奇数时， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， ， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， ∴第行第列的数字是， 故答案为：； （2）解：由表格可知，当为奇数时， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， ， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， ∴第行第列的数字是； 当为偶数时， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， ， 第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为，第行第列为， ∴第行第列的数字是． 考点02 图形类规律探索 11．当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，有理数混合运算的应用，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行计算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数，曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，地砖的总数为（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 12．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了图形规律的探索，一元一次方程的应用等知识，找到规律是解题的关键． （1）分别求出第1种到第5种图案需要的花卉的盆数，即可求解； （2）分别求出第1种到第5种图案中每盆花卉的价格，即可求解； （3）根据（1）（2）所求得到规律，即可求解． 【详解】（1） 解：第1种图案需要花卉的盆数为， 第2种图案需要花卉的盆数为， 第3种图案需要花卉的盆数为， 第4种图案需要花卉的盆数为， 第5种图案需要花卉的盆数为， …… 第8种图案需要花卉的盆数为， 第n种图案需要花卉的盆数为， 故填表如下∶ 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 1 4 7 10 13 …… 22 …… （2）解：第1种每盆花卉的价格是5元 第2种每盆花卉的价格是（元） 第3种每盆花卉的价格是（元） 第4种每盆花卉的价格是（元） 第5种每盆花卉的价格是（元） …… 第n种每盆花卉的价格是元； （3）解：当时，需要花卉的盆数为，每盆花卉的价格元， ∴第18种花的总价是元． 13．如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】(1)37,46，55 (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有163个，空心圆圈有81个． 【分析】本题考查了规律探究问题以及代数式的列写与求值，涉及根据圆环个数与总圆圈数的变化关系补全表格、推导含字母的代数式，以及代入具体数值计算总数和特定圆圈数量． 解题的关键是先找出圆环个数与总圆圈数的变化规律（每增加1个圆环，实心与空心圆圈总个数增加9个），再依据规律列写总个数的代数式，最后结合“偶数个圆环时实心圆圈比空心圆圈多1个”的特殊关系，求解具体数量． （1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 37 46 55 … （2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， ∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， ∴空心圆圈有个个． 14．如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留） ②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)25，； (2)①第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：，正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②将代入①中求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形内圆的个数是1， 第2个图形内圆的个数是4， 第3个图形内圆的个数是9， 第4个图形内圆的个数是16， … 第n个正方形中圆的个数为个； 故答案为：25，； （2）①第1个图中的阴影部分面积为 =， 第2个图中的阴影部分面积为， 第3个图中的阴影部分面积为 所以第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：， 正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值； ②由①可知每个图形中阴影部分的面积相等，则当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 15．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”、“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0），有别于我们常用的逢10进1的十进制数，如，二进制是逢2进1的计数制． 下图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制数字11000，转化成十进制数字为：，同理，第二行至第五行代表的二进制数字分别为1100、111、11100、1101，转化成十进制为：12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2412072813． (1)若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是 ，转化成十进制后可得到他的考场号是 ． (2)若本次考试中，“小杨”的准考证号是2917041311，而图3是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你帮他补充完整； (3)生活中，有时候也会用到其他进制数，请你将八进制数字3750转化成十进制数字． 【答案】(1)10101；21 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的变化类和有理数的混合运算的应用，根据题意找出规律并应用，熟练二进制与十进制、八进制与十进制的转化方法是解本题的关键． （1）图2中，由黑色代表1，白色代表0可知，第四行代表二进制的数字是10101，再由二进制转化成10进制即可； （2）准考证号2917041311，分别将29，17，04，13，11转化为二进制，再转化为二维码即可． （3）仿照二进制转化成十进制的方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意有， 第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， 转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：10101；21． （2）解：准考证号为2917041311，分别将29，17，04，13，，转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，04转化为二进制为：100， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 补充二维码图如图： （3）解：∵， ∴3750转化为十进制为：． 16．在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【答案】(1)（）；（）； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了图形与数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解答本题的关键． （）（）由对折可知，每一个图形的面积都是上一个图形面积的，由规律可得的面积是； （）由图形可知，，所以可得：； （）首先利用对角线把矩形分成两个面积相等的三角形，然后依次作点为的中点，点为的中点，点为的中点． 【详解】（1）解：（）由图可知，的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为； （）如下图所示， 由图可知， ， ； （2）解：可设计如下图所示： 点为的中点，点为的中点，点为的中点， 由图可知， ， ； 17．将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)， (2)，，见解析 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为，即可得出答案； （2）先根据（1）得出第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为，再求出周长即可． 【详解】（1）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， 故答案为：4，； （2）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为，， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的，∴第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为， ∴周长为． 18．[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层． [规律总结] 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； [问题解决] （2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】（1）46；（2） 【分析】本题主要考查了图形变化类规律与数字类规律探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法． （1）根据题意找到每一层最后一个数的规律，进而求出第9层最后一个数，即可得到第10层最左边的数； （2）首先求出12层共有78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，然后求绝对值之和即可． 【详解】解：（1）∵第1层最后一个数是1； 第2层最后一个数是； 第3层最后一个数是； 第4层最后一个数是； ∴第9层最后一个数是； ∴第10层最左边的数是； （2）12层共有（个）数， 其中23个负数，1个0，54个正数， 按题图4方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 19．已知图1中有1个等边三角形，记作；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作；…….按照此规律解答下列问题： (1)图4中有_______个等边三角形，记作_________； (2)图中有_______个等边三角形，记作_________；（结果用含的代数式表示，不用说理） (3)在求的值时，可令，则，∴，∴，按此方法计算；（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键． （1）由第一个图中个三角形，第二个图中个三角形，第三个图中个三角形，每次递增个，即可得出第个图形中有个三角形； （2）根据（1）中的规律即可得出第个图形中有个三角形； （3）根据题意得到，然后整理求解即可． 【详解】（1）解：∵第一个图中个三角形， 第二个图中个三角形， 第三个图中个三角形， 每次递增个； ∴图4中有个三角形，记作； 故答案为：， （2）解：由（1）可得， 图中有个三角形，记作； 故答案为：； （3）解： ； 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $