第三章 函数（知识清单）数学人教B版2019必修第一册

第三章 函数 标题 知识内容 函数的概念及其表示 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的______一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有______确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做______的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值, ______叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 4．常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 ______ 反比例函数 ______ 一次函数 ______ 二次函数 ______ ______ 5．函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 6．分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的______取值范围，有着______的对应关系的函数． （2）分段函数是______函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集． 函数的单调性 1．单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的______两个自变量的值, 当时,都有______,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有______,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是______的 自左向右看,图象是______的 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 3．复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 ______ 增 ______ 减 ______ 增 减 减 ______ 增 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有______ 图象关于______对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有______ 图象关于______对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的______； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 2．奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有______. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性______． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性______． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 ______ 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 ______ 奇函数 奇函数 奇函数 ______ 奇函数 零点及二分法 1．函数的零点 （1）零点的概念：对于一般函数，我们把使的______叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个______，当自变量取该值时，其函数值等于零． （2）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 2．函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有______，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 3．二分法 （1）二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间______,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． （2）二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： ①确定的初始区间,验证； ②求区间的______； ③计算,并进一步确定零点所在的区间 若 (此时),则就是函数的零点； 若 (此时零点),则令； 若 (此时零点),则令）. ④判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤②～④ 易错01 不理解函数的概念 注意：函数是一个非空数集到另一个非空数集上的对应,且对于法则只能是一对一或多对一,不能是一对多. 【例1】下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【例2】给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 易错02 求定义域时对解析式变形导致自变量范围扩大 定义域必须看根据原来解析式的限制进行求解 【例3】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 【例4】函数的定义域为 . 【变式2-1】函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2-2】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-3】函数的定义域是 ． 易错03 分段函数问题 分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况 【例5】已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【例6】设函数若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】设函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）已知函数，若，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，若，，则 易错04 使用换元法,使变量范围扩大致误 使用换元法,设,则t的范围由的值域确定 【例7】若，则函数 ． 【例8】已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 【变式4-1】函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数，求 ． 易错05 单调性求参数范围易错 【例9】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 【变式5-1】已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 易错06 奇函数忽略x为0的情况 若奇函数定义域内含0，则必有 【例11】已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【例12】若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是 【变式6-3】已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 1．已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 3．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则不等式的解集为 ． 4．已知函数，若，则 . 5．设函数，若，则实数的取值范围是 . 6．已知函数，则函数的解析式为 ． 7．下列对应为函数的是 ．（填相应序号） ①；②，其中，； ③；④，其中，，． 8．已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 9．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 10．已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 标题 知识内容 函数的概念及其表示 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 4．常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 5．函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 6．分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 函数的单调性 1．单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值, 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 3．复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 2．奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 零点及二分法 1．函数的零点 （1）零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． （2）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 2．函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 3．二分法 （1）二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． （2）二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： ①确定的初始区间,验证； ②求区间的中点； ③计算,并进一步确定零点所在的区间 若 (此时),则就是函数的零点； 若 (此时零点),则令； 若 (此时零点),则令）. ④判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤②～④ 易错01 不理解函数的概念 注意：函数是一个非空数集到另一个非空数集上的对应,且对于法则只能是一对一或多对一,不能是一对多. 【例1】下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作直线，，通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 【例2】给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A: 对，当时，，无实数解， 即不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故A不正确； 对于B: 对，不妨设，则，解得， 不满足唯一的实数与对应，不符合函数定义，故B不正确； 对于C: 对，当时，由得， 即在中不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故C不正确； 对于D:由得，对，都有唯一确定的与之对应， 符合函数定义，可知D正确. 故选：D. 【变式1-1】托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，，A不是； 对于B，集合中的每个值，按，在集合中都有唯一值与之对应，B是； 对于C，集合中没有元素与集合中的0对应，C不是； 对于D，当时，，D不是. 故选：B 【变式1-2】已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，它没有对应的元素，故A错误； 对于BC，，而，故BC错误； 对于D，当时，，且与唯一一个对应， 根据函数定义可得构成从到的函数， 故选：D. 【变式1-3】（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 易错02 求定义域时对解析式变形导致自变量范围扩大 定义域必须看根据原来解析式的限制进行求解 【例3】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 【答案】D 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【例4】函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意可知解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2-1】函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C 【变式2-2】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 【变式2-3】函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】要使原函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 易错03 分段函数问题 分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况 【例5】已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由，可知当时，函数是增函数， 当时，函数也是增函数，且，作出其图象如图：    因，且，则， 故得，解得或， 由知，故，则. 故选：B. 【例6】设函数若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令，由，得. ①时，，方程无解. ②时，， 或（舍去）， . 时，，则或（舍去）； 时，无解. 综上，. 故选：B. 【变式3-1】设函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 当时，可得，解得，又，所以， 当时，可得，解得， 所以，所以， 当时，得，解得，满足， 当时，得，所以，又，所以， 所以实数的取值范围是或. 故选：C. 【变式3-2】（多选）已知函数，若，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当时，，，，不合乎题意； 当时，，，，不合乎题意； 当时，，，，合乎题意. 故选：CD. 【变式3-3】已知，若，，则 【答案】或 【详解】当时，. 若，则，解得. 若，则，解得或（舍去）. 故答案为：或. 易错04 使用换元法,使变量范围扩大致误 使用换元法,设,则t的范围由的值域确定 【例7】若，则函数 ． 【答案】， 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 【例8】已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 【答案】A 【详解】令，则，． 因为，则，所以． 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 故选：A 【变式4-1】函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 【变式4-2】已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 【变式4-3】已知函数，求 ． 【答案】 【详解】因为函数， 令，则， 因为，所以， 所以. 故答案为： 易错05 单调性求参数范围易错 【例9】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 【例10】已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 【变式5-1】已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【变式5-2】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【变式5-3】函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，且， 当时，函数在上单调递减； 当时，函数无单调性； 当时，函数在上单调递增， 由函数在区间上是减函数，得，且， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 易错06 奇函数忽略x为0的情况 若奇函数定义域内含0，则必有 【例11】已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【答案】 【详解】当时，则， 由奇函数性质知， 所以. 故答案为：. 【例12】若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对，且有，所以在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上也单调递减，且， 所以当时，，当时，，当时，， ①当时，要使得，则要求，所以，解得； ②当时，符合； ③当时，要使得，则要求，所以，解得； 综上，x的取值范围是， 故选：B. 【变式6-1】已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 【变式6-2】若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是 【答案】 【详解】由题意得，，，函数在上单调递增， 函数的图象大致如下： ∵，∴或， 当时，或，解得， 当时，或，解得， 综上得，满足的x的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的性质画出简图，根据函数图象分析讨论可解不等式. 【变式6-3】已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 1．已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，易知在上，在上，且， 由，则或， 所以原不等式的解集为. 故选：C 2．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 3．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题知，， 又在上单调递减，所以在上单调递减， 由可得，且或且， 则或，所以不等式的解集为． 故答案为：. 4．已知函数，若，则 . 【答案】 【详解】当时，由得，或（舍）， 当时，由得，，不合题意，舍去， 综上得，. 故答案为：. 5．设函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】画出函数的图象如下图所示： 易知当可得； 当时，，此时恒成立，即； 当时，，即，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 6．已知函数，则函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】函数， 设，则，且， 所以，， 则． 故答案为：． 7．下列对应为函数的是 ．（填相应序号） ①；②，其中，； ③；④，其中，，． 【答案】①②③ 【详解】①中满足每一个都有唯一的与之对应，满足函数的定义； 同理可知②③也满足函数的定义； ④中，每一个除外）都有两个与之对应，不满足函数的定义； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查函数的定义，注意任意性和唯一性，属于基础题. ． 8．已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在R上递减，符合题意； 当时，由二次函数的性质可知，且对称轴，解之得. 综上：的取值范围是. 故答案为： 9．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 【答案】，是的严格减区间；是的严格增区间． 【详解】当时，，对称轴为，根据奇函数关于原点对称，画出函数的图象， 由图象可知，，是的严格减区间； 是的严格增区间． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $