专题3.2 函数的单调性与奇偶性（考点清单，5个考点梳理+14题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题3.2 函数的单调性与奇偶性 【清单01】单调性的定义与证明 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．证明函数单调性的定义法： 【清单02】函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 【清单03】函数的平均变化率 1.函数单调性与平均变化率 2.利用平均变化率证明单调性 （1）∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． （2）步骤：设元--算差--求比--定号--结论 【清单04】函数的奇偶性 .1.函数的奇偶性及函数图像的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 【清单05】函数奇偶性的应用 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. 2.提醒：函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【考点题型一】判断、证明函数的单调性 【例1】（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【变式1-1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中，满足对任意，有的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为，且，下列选项可判断为单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性． 【变式1-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 【考点题型二】求函数的单调区间 【例2】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【变式2-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 【变式2-3】（24-25高一上·福建莆田·期中），用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为 . 【变式2-4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . （2）函数的单调递减区间是 . 【考点题型三】复合函数的单调性问题 【例3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·辽宁·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【变式3-4】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【考点题型四】根据函数的单调性求参数 【例4】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·广东·期中）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（20-21高一上·江苏镇江·期中）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，在上单调递增，写出满足条件的实数的一个值 . 【变式4-4】（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【考点题型五】应用函数单调性求最值（值域） 【例5】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）设函数，为常数 (1)对任意，当时，有，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求在区间上的最小值，并求的最小值． 【变式5-1】（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 . 【变式5-2】（2023高二上·宁夏·学业考试）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调区间和值域（不要求步骤）． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【变式5-4】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【考点题型六】根据函数的最值（值域）求参数 【例6】（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【变式6-3】（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为 ． 【变式6-4】（2024高三·全国·专题练习）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【考点题型七】函数奇偶性的判断 【例7】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【变式7-4】（多选）（2023秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型八】抽象函数的奇偶性问题 【例8】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【变式8-1】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【变式8-2】（多选）（21-22高二下·江苏扬州·期末）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【变式8-3】（多选）（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【变式8-4】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【考点题型九】由函数的奇偶性求参数 【例9】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】（24-25高一上·重庆·期中）若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式9-2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若函数为上的奇函数，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式9-3】（24-25高一上·云南楚雄·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A． B．， C．， D．， 【变式9-4】（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ． 【考点题型十】函数性质与函数图象 【例10】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．    (1)现已画出函数在轴左侧的图象，请补全函数的图象，并根据图象写出函数的单调递增区间； (2)求出函数的解析式． 【变式10-1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 【变式10-2】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式10-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-4】（24-25高三上·福建福州·期中）若函数的图象关于点成中心对称，则 . 【考点题型十一】比较函数值大小 【例11】（24-25高一上·湖南永州·期中）函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记，求之间的大小关系. 【变式11-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，且，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-4】（23-24高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】解函数不等式 【例12】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求的值域； (3)若不等式，求实数的取值范围. 【变式12-1】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数为上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 【变式12-4】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系内画出的图象，并指出的单调区间（不必说明理由）； (3)求在上的最大值和最小值（不必说明理由）； (4)求不等式的解集． 【考点题型十三】函数性质与不等式恒成立 【例13】（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数且． (1)证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数t的取值范围． 【变式13-1】（2024高三·全国·专题练习）若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（多选）（贵州省贵阳市2024-2025学年高一上学期联合考试（二）数学试题）定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C． D．任意实数都满足 【变式13-3】（24-25高三上·安徽蚌埠·阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则实数的值是 . 【变式13-4】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【考点题型十四】函数性质的综合应用 【例14】（23-24高一上·天津·期中）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，. (1)证明：为奇函数. (2)解不等式. (3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【变式14-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的，已知常数，若函数与在上是“密切”的；则的取值范围为 . 【变式14-2】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 . 【变式14-3】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若，满足，求实数的取值范围. 【变式14-4】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域； (3)解不等式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的单调性与奇偶性 【清单01】单调性的定义与证明 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．证明函数单调性的定义法： 【清单02】函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 【清单03】函数的平均变化率 1.函数单调性与平均变化率 2.利用平均变化率证明单调性 （1）∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． （2）步骤：设元--算差--求比--定号--结论 【清单04】函数的奇偶性 .1.函数的奇偶性及函数图像的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 【清单05】函数奇偶性的应用 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. 2.提醒：函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【考点题型一】判断、证明函数的单调性 【例1】（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值 【分析】（1）根据给定条件，建立方程组并求解即得. （2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理论证. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）由（1）知，，函数在上单调递增. 任意，则， 由，得，即，因此， 所以函数在上单调递增. 【变式1-1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中，满足对任意，有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由题意，可得函数在区间上单调递减即可，根据函数性质可判断各选项. 【详解】对任意，有，则函数在区间上为减函数， 对于A，，由二次函数的图象与性质可知函数在区间上为减函数，故A正确； 对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B错误； 对于C，，函数在区间上为减函数，故C正确； 对于D，，当时，递增，所以函数在区间上不是单调函数，故D错误． 故选：AC 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为，且，下列选项可判断为单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，，故为减函数，A正确． 对于B，由，得， 因为，所以，即，所以为增函数，B正确． 对于C，由可得，故，所以为增函数，C正确． 对于D，易得或不是单调函数，D错误． 故选：ABC 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性． 【答案】答案见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用作差法分和两种情况讨论即可. 【详解】任取，且， 则， 当时，，即， 函数在区间上单调递减； 当时，，即， 函数在区间上单调递增． 【变式1-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】函数在上单调递减，利用单调性的定义证明即可. 【详解】函数在上单调递减. 证明如下：任取，且， 则 . 因为， 所以，，， 所以，即. 所以函数在上是单调递减函数. 【考点题型二】求函数的单调区间 【例2】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【知识点】求函数的单调区间 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 【变式2-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数的单调区间、判断二次函数的单调性和求解单调区间、分段函数的单调性 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 【变式2-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 【答案】和 【知识点】求函数的单调区间 【分析】分离常数即可求解. 【详解】， 所以的单调递增区间为和 故答案为：和 【变式2-3】（24-25高一上·福建莆田·期中），用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、一次函数的图像和性质、二次函数的图象分析与判断、函数新定义 【分析】根据函数新定义及一次、二次函数的图象，数形结合确定的单调递减区间. 【详解】根据已知函数解析式，可得如下示意图，为实线部分图象， 由图知，的单调递减区间为. 故答案为： 【变式2-4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . （2）函数的单调递减区间是 . 【答案】 ，. 【知识点】求函数的单调区间 【分析】（1）作出的图象，利用图象可得单调区间； （2）求得函数，利用函数单调性的定义可证函数在上单调递减，同理可证函数在上单调递减. 【详解】（1），其图象如图所示， 则的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）函数的定义域为， 设，且，则. 因为， 所以，，， 所以，即. 所以函数在上单调递减，同理函数在上单调递减. 综上，函数的单调递减区间是和. 故答案为：（1），；（2）和. 【考点题型三】复合函数的单调性问题 【例3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复合函数的单调性 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·辽宁·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】D 【知识点】复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案. 【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B， 、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C， 若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对. 故选：D 【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】复合函数的单调性 【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间. 【详解】由可得且， 所以，函数的定义域为， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和， 因为函数在、上均为减函数， 所以，函数的单调增区间为和． 故选：C. 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【知识点】复合函数的单调性 【分析】分别分析内外层函数的单调性，由此可得的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增， 所以的单调递增区间是， 故答案为：. 【变式3-4】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【知识点】复合函数的单调性 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来判断出正确答案. 【详解】函数的定义域为． ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增． 又在上也为增函数，从而在上是增函数． 故答案为： 【考点题型四】根据函数的单调性求参数 【例4】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 【变式4-1】（24-25高一上·广东·期中）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A 【变式4-2】（20-21高一上·江苏镇江·期中）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】依题意可得是上的增函数，则函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数， 则，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，在上单调递增，写出满足条件的实数的一个值 . 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】利用函数单调性和赋值法即可得 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以， 当时，此时，满足题意 故答案为：3 【变式4-4】（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】借助反比例函数求出函数的单调区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】函数的定义域为，且， 当时，函数在上单调递减； 当时，函数无单调性； 当时，函数在上单调递增， 由函数在区间上是减函数，得，且， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【考点题型五】应用函数单调性求最值（值域） 【例5】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）设函数，为常数 (1)对任意，当时，有，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求在区间上的最小值，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】（1）根据单调性的定义，结合分段函数的单调性，列不等式即可求解， （2）根据二次函数的性质，结合分类讨论可得，进而根据的单调性求解. 【详解】（1）由可得函数在定义域上单调递增，则， 所以； （2），对称轴为， 由（1）得， 当，即时，在单调递减，此时， 当，即时，在单调递减，在单调递增， 此时， 故， 当时，单调递减，故， 当时，单调递减，故， 综上可得 【变式5-1】（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值 【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 【变式5-2】（2023高二上·宁夏·学业考试）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调区间和值域（不要求步骤）． 【答案】(1)答案见解析 (2)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． 【知识点】画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论，得函数的分段解析式，从而作出函数的图象； （2）根据图象可得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）当时，，当时，，即， 函数图象如图所示: （2）根据（1）由图象可得单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)最大值和最小值分别为 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、复合函数的单调性、复合函数的最值 【分析】（1）利用复合函数单调性，结合二次函数单调性求出单调区间. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最大值. 【详解】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 【变式5-4】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性、已知函数值求自变量或参数 【分析】（1）由题意得方程，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据单调性可得最值. 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 【考点题型六】根据函数的最值（值域）求参数 【例6】（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【详解】（1）由题意得恒成立，则, 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 【分析】先根据函数单调性得出，再结合函数解析式去绝对值得出函数最值,分，两种情况讨论即可确定参数范围. 【详解】因为在上单洞递减，因此． 若，则的最大值为5，符合题意； 若时，的最大值为与中较大的，由，即，解得， 显然时，的最大值为， 时，的最大值不为定值． 综上可得，时，在上的最大值是5． 故选:A． 【变式6-2】（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、分段函数的值域或最值 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为 ． 【答案】5 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上单调性，再利用单调性求出最大值. 【详解】任取，则，由当时，都有，得， 任意的，都有， 则，因此函数在上单调递增， 当时，. 故答案为：5 【变式6-4】（2024高三·全国·专题练习）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的最值求参数 【分析】由题设由里往外依次计算和，即可得解；由题设分和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解. 【详解】由已知，，所以； 当时，由可得，所以； 当时，由可得，所以， 所以等价于， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：；. 【考点题型七】函数奇偶性的判断 【例7】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意求出各选项的解析式，结合奇函数的定义及单调性判断即可. 【详解】对于A，， 定义域为，在上单调递减； 对于B，， 定义域为，在上单调递减； 对于C，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数不为奇函数； 对于D，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项. 【详解】对于A，, 不满足，故不是奇函数，故A错误； 对于B，，定义域为, 满足，是奇函数，故B正确； 对于C，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：B 【变式7-2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用奇函数及在上单调递增，逐项判断即得. 【详解】对于A，定义域为R，，是偶函数，A不是； 对于B，定义域为，而， 即函数在上不单调，B不是； 对于C，定义域为R，，在上不递增，C不是； 对于D，定义域为R，，是奇函数， 当时，在上单调递增，D是. 故选：D 【变式7-3】（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【答案】C 【分析】 利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可. 【详解】因为函数表达式为，定义域为， 所以，所以为偶函数； 又，所以C正确. 故选：C 【变式7-4】（多选）（2023秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义逐个分析判断即可 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令， 对于A，的定义域为，因为， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的定义域为，因为，所以为偶函数，所以B错误， 对于C，的定义域为，因为，所以，， 所以为非奇非偶函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数， 故选：AD 【考点题型八】抽象函数的奇偶性问题 【例8】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【变式8-1】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额. 【详解】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式8-2】（多选）（21-22高二下·江苏扬州·期末）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用奇偶性的定义来进行判断即可. 【详解】因为两个函数的定义域都是，所以下列函数的定义域都关于原点对称， 对于A选项，因为且， 所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确； 对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确. 故选：BD. 【变式8-3】（多选）（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 【变式8-4】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【考点题型九】由函数的奇偶性求参数 【例9】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】利用定义法结合性质法判断函数奇偶性，解方程. 【详解】若函数有意义，则， 当时，不等式解集为，即函数定义域为， 又函数为偶函数，则，解得； 当时，不等式的解集为，即函数定义域为， 此时函数不是偶函数，舍； 当时，不等式的解集为，即函数的定义域为， 又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍； 当时，不等式的解集为，舍； 当时，不等式的解集为，即函数的定义域为， 又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍； 综上所述， 此时函数， 设，则， 即函数为奇函数， 所以若使为偶函数， 则需函数为奇函数， 即，即，解得， 综上所述， 满足，即为偶函数， 综上所述，， 故选：D. 【变式9-1】（24-25高一上·重庆·期中）若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【分析】利用幂函数概念可知系数为1，再检验是否为奇函数即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或, 当时，的图象关于原点对称，符合题意； 当时，的图象关于轴对称，不符合题意. 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若函数为上的奇函数，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，，得， 此时，定义域为R，则， 则函数为上的奇函数， 所以. 故选：A. 【变式9-3】（24-25高一上·云南楚雄·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数定义列方程，解方程即可. 【详解】由题意可知，，即， 整理得， 即对于恒成立， 则，所以，， 故选：D． 【变式9-4】（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解． 【详解】设，则，所以， 所以， 又当时，，所以，，故， 故答案为：． 【考点题型十】函数性质与函数图象 【例10】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．    (1)现已画出函数在轴左侧的图象，请补全函数的图象，并根据图象写出函数的单调递增区间； (2)求出函数的解析式． 【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，. (2). 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象 【分析】（1）根据函数是定义在上的偶函数，且当时，画图. （2）设，则，再根据时，结合函数为偶函数求解. 【详解】（1））函数的图象补充完整后，图象如下图所示：    由图可得，单调递增区间为，； （2）当时，，又时，， 所以， 又函数为偶函数， 所以， 所以. 【变式10-1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）如图所示是函数的图象，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域上不单调 D．对于，都有唯一的自变量与之对应 【答案】C 【知识点】函数关系的判断、具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数的图象逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由图知，的定义域为，值域为，AB错误； 显然在、上单调递减，但在定义域上不单调，C正确； 显然时，对应自变量不唯一，D错误． 故选：C． 【变式10-2】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】判定函数的奇偶性和正负即可得解. 【详解】的定义域为，它关于原点对称，且， 所以是偶函数，排除AB， 当时，，排除C，经检验，D符合题意. 故选：D. 【变式10-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数图象选择解析式 【分析】由图象可知，为奇函数且定义域为，然后逐个分析判断即可. 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为， 对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合； 对于B：定义域为，不符合； 对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合； 对于D：定义域为，不符合. 故选：C 【变式10-4】（24-25高三上·福建福州·期中）若函数的图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】在函数的图象上取两点，，求出它们关于点 对称的点，，再代入，解方程组即可得解. 【详解】因为的定义域为， 又的图象关于点成中心对称， 所以在函数的图象上取两点，， 则它们关于点对称的点，也在函数的图象上， 所以，即， 解得， 经检验，满足题意，所以. 故答案为：. 【考点题型十一】比较函数值大小 【例11】（24-25高一上·湖南永州·期中）函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记，求之间的大小关系. 【答案】 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】由题意可构造函数，结合函数单调性定义可得在上单调递减，再将用表示出来后，结合单调性即可得解. 【详解】由，，则， 设，则在上单调递减， ，， 由是定义在上的奇函数， 则， 由，即. 【变式11-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意可知函数关于直线对称且在上为单调递减函数，然后利用函数的单调性和对称性即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，即， 可知函数的图象关于直线对称，则， 又因为，且时，恒成立， 可知函数在上为单调递减函数， 可得，即，所以. 故选：B. 【变式11-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，且，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据可得出的对称轴为，又由函数在上单调递增，可得在上单调递减，然后通过比较大小从而可得的大小. 【详解】由题意知，函数满足， 所以，函数关于对称； 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 又因为， ，即. 故选：D. 【变式11-3】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由偶函数的性质再结合函数的单调性和指数幂运算以及指数函数的单调性比较大小即可； 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以， 因为，且是上的增函数，故， 又，即. 因为在上单调递增， 所以，所以，即. 故选：C. 【变式11-4】（23-24高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小. 【详解】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 【考点题型十二】解函数不等式 【例12】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求的值域； (3)若不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数奇偶性的应用、求指数函数在区间内的值域、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据函数单调性以及奇函数性质即可求解； （3）由题意，根据单调性以及定义域列出不等式组即可. 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则， 设，则，， 又由函数为奇函数，则， 则； （2）当时，；当时，； 当时，； 所以的值域为； （3）根据题意，当时，.则函数在上单调递增， 又由函数是定义在上的奇函数，则函数在上单调递增， 由，有， ，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式12-1】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】先证明，然后结合的定义域解不等式即可得到答案. 【详解】在中取得，结合归纳可知. 所以对任意正有理数有，故. 而是增函数，故对任意正实数都有. 这表明原不等式等价于，即. 解得或，所以原不等式的解集为，选项A正确. 故选：A. 【变式12-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，根据单调函数和奇偶函数的定义可知为偶函数且在上单调递增，利用函数的单调性好奇偶性解不等式即可. 【详解】设，则， 所以为偶函数. 对于，且，有， 设，则，得，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 且，. 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：B. 【变式12-3】（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数为上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据函数奇偶性和题设条件求出的值，再由奇偶性求出时的函数解析式； （2）根据（1）求得的函数解析式，判断函数在上的单调性和对称性，得到与等价的不等式组解之即得. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数，且当时，， 因，即，解得， 所以当时，. 当时，则，，则. 故有. （2）由（1）已得： 可得在上单调递减，在上单调递增. 又，所以 由① 得：；由② 得：；由③ 得：. 故的取值范围是. 【变式12-4】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系内画出的图象，并指出的单调区间（不必说明理由）； (3)求在上的最大值和最小值（不必说明理由）； (4)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)图象见解析，单调区间见解析 (3)最大值为，最小值为 (4) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、求二次函数的值域或最值、解分段函数不等式 【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的画法即可得到函数图象，结合图像即可得到单调区间； （3）由二次函数的性质即可得到结果； （4）分，两种情况解不等式求解即可. 【详解】（1）函数是定义在的奇函数， 当时，， 可得时，，即有， 即有， 综上可得. （2）函数的图象如图，    由图可知，函数的单调递减区间为， 单调递增区间为. （3）由图可知，，. （4）当时，， 由，得，解得； 当时，， 由，得，解得. 综上所述，不等式的解集为． 【考点题型十三】函数性质与不等式恒成立 【例13】（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数且． (1)证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）先求得a的值，再利用函数单调性的定义证明即可. （2）不等式转化为对恒成立，令，利用函数的单调性求得最大值，即可得解． 【详解】（1）由题意得，，解得，则. ，， 则， ∵，∴，， ∴，即， ∴在区间上单调递减. （2）由题意得，对恒成立， ∴对恒成立， 令， ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上为减函数，， ∴，即实数t的取值范围为. 【变式13-1】（2024高三·全国·专题练习）若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性，求出最小值即可得答案. 【详解】解：因为对于一切恒成立， 则在上恒成立， 又因为和在上单调递减， 故在上单调递减， . 即. 故选：D. 【变式13-2】（多选）（贵州省贵阳市2024-2025学年高一上学期联合考试（二）数学试题）定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C． D．任意实数都满足 【答案】BCD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用赋值法计算可得C正确；根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确. 【详解】对于C，令，则，所以，故C正确； 对于A，令得，所以， 即，又不恒为0，所以只能为奇函数，故A错误； 对于B，令，且，故， 因为时，，所以， 即，所以，所以在上单调递增，故B正确； 对于D，由在上成立，得， 由为增函数，所以， 又为奇函数，所以，所以，故D正确， 故选：BCD． 【变式13-3】（24-25高三上·安徽蚌埠·阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则实数的值是 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】不等式转化成，结合和在上的单调性即可求解. 【详解】因为，所以恒成立，即恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于轴正半轴上一点（否则必存在，使）， 所以当，即且时，原不等式恒成立， 所以（负值舍去）. 故答案为： 【变式13-4】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）将不等式变形成结合函数的单调性，即可求解参数范围. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减． （2）由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ，所求实数的取值范围为． 【考点题型十四】函数性质的综合应用 【例14】（23-24高一上·天津·期中）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，. (1)证明：为奇函数. (2)解不等式. (3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）用赋值法先求出，再令即可得证； （2）先证明函数在上是减函数，再求得，最后将不等式转化为求解即可； （3）将题意转化为，恒成立即可. 【详解】（1）由题意函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，则，故. 令，则，故. 故为奇函数. （2）任取，且. 由题意，，， 故，即， 又，故在上为减函数. 因为，所以，， 故即， 即，化简可得，解得. （3）由（2）知在上为减函数，故在上最大值为. 要使对任意的，恒成立，则，即对任意恒成立. 又是关于的一次函数，故只需， 即，解得. 【变式14-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的，已知常数，若函数与在上是“密切”的；则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为与在上是“密切”的， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 因为，，所以由指数函数的单调性得，， 所以在上恒成立； 根据对勾函数的性质可得，函数在上单调递增， 又因为，且，所以函数在上单调递增； 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以，即， 所以，解得，即， 所以，解得； 而,故 故答案为： 【变式14-2】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】因为，作出函数的图象如下图所示：    当时，， 当时，由，即，解得或（舍）， 由可得， 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解，则该整数解为， 则，即； 若，则，无解； 若，则有，由图可知，则满足不等式的整数解为， 所以，，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式14-3】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由二次函数的单调性求解即可； （2）存在成立问题，分离参数后结合基本不等式求解即可； 【详解】（1）当时，，对称轴，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以函数在上的值域为. （2）若，满足， 即，满足，即，即， 又，当且仅当即时取等号， 所以. 【变式14-4】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域； (3)解不等式. 【答案】(1)在区间上的单调递增，证明见解析 (2)为奇函数，理由见解析，在区间的值域为； (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、高次不等式 【分析】（1）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）由题可得函数的定义域，并得到，可判断函数的奇偶性，并根据函数单调性得到函数值域； （3）先根据定义域得到，分和两种情况，变形得到和，标根法求出不等式的解集，得到答案. 【详解】（1）在区间上的单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，故， 所以，故在区间上的单调递增； （2）为奇函数，理由如下： 的定义域为， ，故为奇函数， 由于在区间上的单调递增，故在上单调递增， 又，， 故在上值域为； （3）的定义域为， 令，解得， 由得， 当，即时， 可得， 整理得，所以， 所以， 所以， 其中的根为或， 由数轴标根法得到不等式解为或， 又，所以或， 当，即或时， 由得， 所以， 其中的根为或， 同理得到不等式解为或或， 又或， 所以或， 故不等式的解为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$