精品解析：陕西咸阳市秦都区多校联考2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

陕西咸阳市秦都区多校联考2025-2026学年九年级上学期9月月考 数学试题 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程可配成，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 4. 在下列结论中，不属于矩形性质的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 5. 如图，在菱形中，，于点，与对角线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，如图，从这块空地上划出部分区域作为安全区（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为．若起飞区的面积为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为正方形外一点，连接，且，连接，交对角线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______． 10. 如图，点在正方形的边的延长线上，连接，，若，，则的值为______． 11. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是______． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是矩形的对角线的延长线上一点，连接，若，，则的度数为______． 13. 某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为_______． 14. 菱形的对角线相交于点O，，点P为边上一点，且点P不与点A，B重合。过点P作于点E，于点F，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：x2﹣2x﹣6＝0． 16. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 17. 如图，在正方形和正方形中，，连接，，若，求的度数． 18. 某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 19. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 20. 如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 21. 如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 22. 如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，于点E，求的度数． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算判断方程是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程的根，且方程是“倍根方程”，求的值． 24. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图1，菱形的四个顶点、、、分别在正方形的边、、、上，其中．求证：菱形是正方形； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个正方形的游乐场，其中，，为了进一步提高周围居民的生活质量，政府计划对其进行扩建，根据规划要求，游乐场的三个游乐项目、、分别在正方形的边、、上，游乐项目扩建在正方形外，且，．当美食城区域的面积为时，求游乐项目到入口的距离的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西咸阳市秦都区多校联考2025-2026学年九年级上学期9月月考 数学试题 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 则“□”含，可以是， 故选：A． 2. 如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 3. 已知一元二次方程可配成，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 4. 在下列结论中，不属于矩形性质的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，比较简单，熟记矩形的各种性质是解题关键．根据矩形的各种性质解答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知：矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，邻边互相垂直．但矩形的两条对角线不一定互相垂直， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 5. 如图，在菱形中，，于点，与对角线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质，熟练掌握平行线的判定，直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据菱形性质得，进而得，则，再根据得，然后在中，根据直角三角形性质可得的度数． 【详解】解：∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 故选：A． 6. 某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，如图，从这块空地上划出部分区域作为安全区（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为．若起飞区的面积为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：设原正方形空地的边长为．则起飞区的边的长为，得到 ， 故选：C 7. 如图，点为正方形外一点，连接，且，连接，交对角线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形和三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角． 根据正方形的性质，得，，得；根据，得；根据等边对等角，，可求出；根据三角形的内角和，得；根据和全等，得，即可求出的角度． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、方程根的定义等知识． ①与②根据方程的根的定义和解方程即可作出判断；根据根与系数关系即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴方程必有一根为； ∴①正确； ②当时，则一元二次方程变为， 则， ∴或， 解得或， ∴方程至少有一个根为； 故②正确； ③若方程的两根为和， ∴， ∴， 故③正确； ④若，则． ∴方程的判别式为, ∵，， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根； 故④正确； 综上可知，①②③④正确； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，能使一元二次方程左右两边的未知数的值是一元二次方程的解，将代入一元二次方程得：，再解关于的方程即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：将代入一元二次方程得：， 解得：， 故答案为：． 10. 如图，点在正方形的边的延长线上，连接，，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理等知识．由正方形的性质得到，，根据勾股定理求出，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了开平方法解一元二次方程．根据平方的非负性得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数解， 而， ∴， 解得， 故答案为： 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是矩形的对角线的延长线上一点，连接，若，，则的度数为______． 【答案】50 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．根据矩形的性质得到，，则，由三角形内角和得到，证明，根据等边对等角即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 13. 某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 14. 菱形的对角线相交于点O，，点P为边上一点，且点P不与点A，B重合。过点P作于点E，于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键． 连接，作于点H，由菱形的性质及勾股定理计算出，用面积法计算出，再证四边形是矩形，推出，由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：如图，连接，作于点H， 四边形是菱形，， ，，， ． ， ． ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：x2﹣2x﹣6＝0． 【答案】x1＝1+，x2＝1﹣． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法解题即可. 【详解】解：x2﹣2x﹣6＝0， x2﹣2x＝6， x2﹣2x+1＝1+6， （x﹣1）2＝7， x﹣1＝±， x1＝1+，x2＝1﹣． 【点睛】本题考查医院二次方程的配方法,关键在于掌握配方法步骤. 16. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，再把变形后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 17. 如图，在正方形和正方形中，，连接，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．根据正方形和正方形是两个全等的正方形，得出，，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出即可解得． 【详解】解：在正方形和正方形中，， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ． 18. 某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得， 解得：（舍去） 答：单台服务器运行成本的月平均降低率为． 19. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再结合四边形是矩形，证明，即可作答． 【详解】略 20. 如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次的方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式． 设切去的正方形边长为，根据“无盖方盒的底面积为，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设切去的正方形边长为． ． ， ，．（舍去） 切去的正方形边长为． 21. 如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形判定与性质及含30度角的直角三角形性质，根据菱形性质得出是等边三角形，进而求出，，再根据直角三角形性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， . 22. 如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，于点E，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算判断方程是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程的根，且方程是“倍根方程”，求的值． 【答案】（1）是，理由： 解方程得，， ， 方程是“倍根方程”． （2）14或5 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程和一元二次方程的解的定义，准确理解“倍根方程”的定义是关键． （1）解方程并根据“倍根方程”的定义进行解答即可； （2）求出的另一个根为或，分两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 关于的方程的根， ，即， ， 又方程是“倍根方程”， 该方程的另一个根为或， 当时，， 解得， ，， 当时，， 解得， ， ， 综上所述，的值为14或5． 24. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 25. 小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 两个正方形的面积之和不可能等于．理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ∴， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根的判定式，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）两个正方形的周长之和为，则两个正方形的边长之和为，设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．根据面积之和等于建立方程求解； （2）先建立方程，再根据根的判定式判定即可． 【小问1详解】 设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得． 整理得：， 解得，， 因此这两个正方形的边长分别是，； 【小问2详解】 略 26. 【问题提出】 （1）如图1，菱形的四个顶点、、、分别在正方形的边、、、上，其中．求证：菱形是正方形； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个正方形的游乐场，其中，，为了进一步提高周围居民的生活质量，政府计划对其进行扩建，根据规划要求，游乐场的三个游乐项目、、分别在正方形的边、、上，游乐项目扩建在正方形外，且，．当美食城区域的面积为时，求游乐项目到入口的距离的长度． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 在和中，，， ， ， ， ， 菱形为正方形． （2）游乐项目到入口的距离的长度为 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）证明，则，求出，即可证明结论成立； （2）过点作，交的延长线于点，连接，证明四边形为菱形，求出，设，则，得到，求出，即，即可得到答案． 【详解】（1） 略 （2）解：过点作，交的延长线于点，连接， ∴， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， ， ，即， 故游乐项目到入口的距离的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $