精品解析：甘肃省酒泉市肃州区酒泉第六中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

酒泉第六中学2025-2026学年度第一学期 九年级数学第一次月考试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形， A、当时，四边形是正方形，正确，故A不符合题意； B、当时，无法确定矩形就是正方形，故B符合题意； C、当时，矩形是正方形，正确，故C不符合题意； D、当时，则，，所以是正方形，正确，故D不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形得到，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ，则， 在中，， ∴， 故选：C． 3. 图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据最大数为x，则可表示出最小数，由这两个数的积为588列出方程即可． 【详解】解：由题意得，最小数为， 则， 故选：B． 4. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 6. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，熟练掌握点的坐标，正方形的性质是解决问题的关键. 连接交于点，根据正方形，，，，由此即可得出点的坐标. 【详解】解：连接交于点，如图所示: 四边形是正方形， ，，，， 点， ， ， ，， 点的坐标为． 故选: B． 7. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 8. 已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（ ） A. 2500x2＝3600 B. 2500（1+x）＝3600 C. 2500（1+x）2＝3600 D. 2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：2019年年收入2500万元增长率）2=2021年年收入达到3600万元，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：根据题意所列方程为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．掌握一般平均变化率的等量关系：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决本题的关键． 9. 有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．画树状图，得到所有等可能的情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：将这三张卡片分别记为A，B，C，其中卡片B，C上的图案是中心对称图形， 根据题意，画树状图如下 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种， 故所求概率为， 故选：B ． 10. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11. 若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 _____． 【答案】24 【解析】 【分析】先求出菱形的边长，根据勾股定理再求得另一对角线的长，根据面积公式求出面积． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝4， 在直角三角形ABO中， 由勾股定理得，AO＝3， ∴AC＝6， ∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的计算方法，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解决问题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据，求解即可得到答案； 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定等等，连接，根据菱形性质得出 ，根据线段垂直平分线得出，由等边对等角可得，求出，则可求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 16. 小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查求一元一次不等式组的整数解，用树状图或列表法求概率，先解不等式组求出整数解，再画出树状图，用概率公式求出概率即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 则不等式组的整数解为,共4个， 画树状图如下； 共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为． 故答案为： 17. 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离等于___cm． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质． 【详解】解：设CD与交于点H，AC与交于点G， 由平移的性质知，与CD平行且相等，∠AC＝45°，∠DH＝∠DH＝45°， ∴△DH是等腰直角三角形，D＝DH，四边形GCH是平行四边形， ∵SA′GCH＝HC•C＝（CD﹣DH）•DH＝1cm2， ∴DH＝D＝1cm， ∴A＝AD﹣D＝1cm． 故答案为：1． 【点睛】本题需要运用等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质结合求解．注意平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 18. 如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为米，可列出方程为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】垂直于墙的一段篱筐长为米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为，又因为篱笆总长为米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为米，最后根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆． 19. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得：， 而， ． 故答案为：． 20. 如图，菱形ABCD的边长为1，，边AB在数轴上，，点E在线段AB的延长线上，若点E表示的数是1，则点A表示的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与两点之间的距离，菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理． 作于点F，可推导出， ，继而求出，即可解答． 【详解】解：如图，作于点F， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的边长为1， ∴， ， ∴ ∴， ∵点E表示的数是1， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 21. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3） 【答案】（1）或； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】本题考查了一元二方程 的解法：直接开平方法；因式分解；公式法，熟悉一元二次方程的解法是解题关键. （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解提公因式即可求解； （3）利用公式法即可求解. 【小问1详解】 解： 或； 【小问2详解】 解： 或 或； 【小问3详解】 解： 或. 22. 如图，在中，，交 于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则菱形的面积是 ． 【答案】（1）见解析； （2）30 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）根据勾股定理得出，然后利用菱形的性质及平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 在中， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积. 23. 为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图： （2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）400，60，D， （2）估计该校成绩优秀的学生有1680人 （3） 【解析】 【分析】（1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图； （2）根据样本中优秀人数占比即可估计3000人中成绩优秀的数量； （3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∴E组的人数为：（人）， 补全学生成绩频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有1680人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种， ∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键． 24. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）若方程有两个实数根，且，求值． （3）若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义．一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）先计算出，由此即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再由得到，求解即可得到答案； （3）根据题意得出求出，从而得到原方程为：，解得，由此即可得到答案． 【小问1详解】 证明：由题意得： ， 无论取任何实数值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：方程有两个实数根， ，， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根， ， 解得：， 原方程为：， 解得：， 的周长． 25. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形， 理由如下： ∵垂直平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，再证明四边形为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，得出，再由勾股定理求出，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积 26. 在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，PQ的长度等于cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t cm；(5－t)cm；（2）当t＝3秒时，PQ的长度等于cm；（3）存在，当t＝1秒时，五边形APQCD的面积等于26 cm2，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度； （2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可； （3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可． 【详解】解：(1) ∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动， ∴AP＝tcm． ∵AB＝5cm， ∴PB＝(5﹣t)cm． ∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动， ∴BQ＝2tcm， 故答案为：2t cm ，(5－t)cm ； 　(2)由题意得：(5－t)2＋(2t)2＝()2， 解得t1＝-1(不合题意，舍去)，t2＝3． 当t＝3秒时，PQ的长度等于cm．　 (3)存在． 理由如下： 长方形ABCD的面积是：5×6＝30(cm2)， 使得五边形APQCD的面积等于26 cm2， 则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)， ∴(5－t) ×2t×＝4， 解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1． 即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键． 27. 凌云文具店从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：（注：利润销售价进货价） 类别 价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 销售价（元/件） （1）该文具店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）文具店打算把款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售件．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元？ 【答案】（1）购进款钥匙扣件，款钥匙扣件 （2）当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元． （3）将销售价定为每件元或元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元 【解析】 【分析】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （3）设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用平均每天销售款钥匙扣获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件， 依题意得：， 解得：． 答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件． 【小问2详解】 设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则． ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值，此时． 答：当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 【小问3详解】 设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件元或元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 28. 【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G． （1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果） （2）连接BG，若，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 【答案】（1），（2）6【初步探究】见解析【基本应用】 【解析】 【分析】特例感知：（1）由“SAS”可证△ADE≌△DCF，即可得出结论； （2）由“AAS”可证△ADE≌△BHE，可得AD=BH，由直角三角形的性质可求解； 初步探究：由“ASA”可证△ADE≌△DCH，可得DE=CH=FG； 基本应用：由全等三角形的性质可证PQ=AM，由勾股定理可求解． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD， ∵点E，F是AB，AD的中点， ∴AE=AB，DF=AD， ∴AE=DF， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴DE=CF，∠AED=∠DFC， ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠ADE+∠DFC=90°， ∴∠DGF=90°， ∴DE⊥CF， 故答案为：DE=CF，DE⊥CF；； （2）解：延长DE交CB的延长线于H， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【初步探究】证明：如图2，过点C作，交AD于H，交DE于N， ∵，， ∴四边形FHCG是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【基本应用】如图3，过点Q作于H，则四边形ABQH中， 由翻折变换的性质得， ∵，， ∴ ∵四边形ABCD是正方形， ∴，∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点M是CD的中点， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉第六中学2025-2026学年度第一学期 九年级数学第一次月考试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 3. 图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（ ） A. 2500x2＝3600 B. 2500（1+x）＝3600 C. 2500（1+x）2＝3600 D. 2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600 9. 有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11. 若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 _____． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 13. 设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ________． 14. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则________． 15. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 16. 小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是________. 17. 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离等于___cm． 18. 如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为米，可列出方程为________________________． 19. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值等于______． 20. 如图，菱形ABCD的边长为1，，边AB在数轴上，，点E在线段AB的延长线上，若点E表示的数是1，则点A表示的数是______． 三．解答题（共8小题） 21. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3） 22. 如图，在中，，交 于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则菱形的面积是 ． 23. 为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图： （2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 24. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）若方程有两个实数根，且，求值． （3）若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 25. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 26. 在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，PQ的长度等于cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27. 凌云文具店从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：（注：利润销售价进货价） 类别 价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 销售价（元/件） （1）该文具店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）文具店打算把款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售件．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元？ 28. 【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G． （1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果） （2）连接BG，若，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $