精品解析：安徽省合肥市庐江县柯坦中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

柯坦中学九年级下学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 3. 函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点，解答此题的关键是理解二次函数图象上的点都满足二次函数的解析式，满足二次函数解析式的点都在二次函数的图象上．将点代入解析式求解判断即可． 【详解】解：A、当时，， 函数的图象一定经过点，符合题意； B、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； C、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； D、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程 的根的情况是 （ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先确定方程中、、的值，再计算根的判别式，根据与的大小关系来判断即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式 及根据其值判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：方程中，，， ， 方程有两个不相等的实数根 故选：D ． 5. 关于函数的图象与性质说法正确的是（ ） A. 顶点坐标在第二象限 B. 图象关于轴对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值的最小值为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，在第一象限，对称轴直线为，故选项A、B错误； ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而增大，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 7. 在抛物线（）上有，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质（对称性、增减性），熟记性质是解题关键． 先求出抛物线的对称轴，再根据其对称性、增减性即可求解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴图象开口向下，且对称轴为， ∴当点与对称轴的距离越近，对应的函数值越大， ∵点，，在抛物线上， 点A与对称轴的距离为， 点B与对称轴的距离为， 点C与对称轴的距离为， 且， ，即． 故选：B． 8. 若一元二次方程的两根为与，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得．由①式求出m的值，再代入②式即可得解． 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵与是一元二次方程的两根， ∴， 由①得， ∴，， 代入②得，， ∴． 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合判断，根据一次函数图象以及二次函数图象与系数之间的关系，进行判断即可． 【详解】解：，， ∵当时，对于，，对于，， ∴直线和抛物线交于点， ∵的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴位于轴的右侧， 综上，观察可知，只有选项D的图象符合题意； 故选D． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； 根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限， ∴， ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故多项式可因式分解为， 故③不正确； 根据题意，得，即， 根据题意，当时，抛物线有最大值，且为， 故当时，在抛物线顶点的上方， 故关于的方程无实数根． 故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若函数是二次函数，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 12. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得的抛物线为， 整理得； 故答案为：． 13. 在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有________人． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 14. 实数a，b，c满足． （1）当时，则_______ ； （2）实数a的取值范围是___________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程： （1）把代入两个式子，进行求解即可； （2）根据，得到，得到为一元二次方程的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出的范围即可． 【详解】解：（1）把代入，得： ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴可以看作是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 16. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算中的化简求值，并且结合了一元二次方程根的相关知识点． 解题的关键是会灵活应用整体代入，要先化简，再观察方程与代数式的形，最后变形整体代入即可求得结果． 【详解】解： ， 是方程的一个根， ， ， 原式 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．设抛物线的解析式为，把，，三点分别代入求出a，b，c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得． ∴． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【小问1详解】 解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【解析】 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 20. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求b和c的值． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）；2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过两点， ∴， 解得， 即b的值为，c的值为2； 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数的解析式为 ， ∴该函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵，且， ∴当时，该函数取得最大值9； 当时，该函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是． 六、（本题满分12分） 21. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． 【小问2详解】 设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 抛物线过点，顶点为Q，抛物线（其中t为常数）． （1）求a的值和点Q的坐标； （2）通过计算说明，无论t为何值，将的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在上； （3）当时，与的交点为A，B，请直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1），点Q的坐标为； （2） 证明：将向左平移1个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在抛物线上． 即无论t为何值，将的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在上； （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把点代入即可求出，把抛物线的解析式化为顶点式即可求出点Q的坐标； （2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证． （3）求出两个交点的横坐标，结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴点Q的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 联立得到， 则， 得到， 解得，， ∴与的交点为A，B的横坐标分别为，， ∴如图可知，当时， 八、（本题满分14分） 23. 在二次函数中． （1）若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，二次函数的最值问题，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意可知，，即可算得，然后表示出顶点坐标； （2）分2种情况考虑，一个是对称轴在0和3之间，一个是对称轴在3的右边，分类讨论即可得出答案； （3）由题意可知，对称轴为，那么可知，得到，因图象过，可知该图象也过，①当在对称轴左边时，要使时，需要满足，②当在对称轴右边时，要使时，需要满足，分别解不等式即可． 【小问1详解】 解：，它的图象与轴只有一个交点， ， 或， ， ， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 其对称轴为，其顶点坐标为， 当时，的最小值为， ①当时，时，取最小值，其最小值为， ， ， ， ； ②当时，当时，取最小值，其最小值为， ， ，不符合题意； 综上，； 【小问3详解】 解：，都在这个二次函数的图象上， 对称轴为， 的对称轴为， ， ， ， ， 当时，，对称轴为， 时，， ①当在对称轴左边时，要使时，需要满足， ； ②当在对称轴右边时，要使时，需要满足，即， ； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柯坦中学九年级下学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程 的根的情况是 （ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 关于函数的图象与性质说法正确的是（ ） A. 顶点坐标在第二象限 B. 图象关于轴对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值的最小值为2 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在抛物线（）上有，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根为与，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若函数是二次函数，则的值为________． 12. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为__________． 13. 在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有________人． 14. 实数a，b，c满足． （1）当时，则_______ ； （2）实数a的取值范围是___________ ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 16. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 20. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求b和c的值． （2）当时，求y的取值范围． 六、（本题满分12分） 21. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 七、（本题满分12分） 22. 抛物线过点，顶点为Q，抛物线（其中t为常数）． （1）求a的值和点Q的坐标； （2）通过计算说明，无论t为何值，将的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在上； （3）当时，与的交点为A，B，请直接写出时，x的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 在二次函数中． （1）若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $