专题23.2 解直角三角形及其应用重难点题型专训（2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

专题23.2 解直角三角形及其应用重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型三 解非直角三角形 题型四 仰角俯角问题 题型五 方位角问题 题型六 坡度坡比问题 题型七 其他问题 拓展训练一 解三角形的相关问题 拓展训练二 解直角三角形的应用 知识点一：解直角三角形 1. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·期中）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握，求出，再根据勾股定理，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 知识点二：解直角三角形的应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．    A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可． 【详解】解：由题意，得：海里， ∴海里； ∴渔船每小时航行海里； 故选：C 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再利用定义求解即可．本题考查了锐角三角函数，解题关键是先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用正切的定义求解． 【详解】解：由题意，可得， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，．求： (1)边上的高（精确到0.01）． (2)的度数（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形中三角函数值的计算、根据三角函数值用计算器求角度． （1）作边上的高，垂足为，在中，利用可求； （2）在中，利用可求，在中，利用，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可． 【详解】（1）解：如图，作边上的高，垂足为． 在中，， ． （2）解：在中，， ， 在中，， ． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题可在直角三角形中，利用三角函数的定义，找出竖直高度与斜坡长度、倾斜角的关系来求解．本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数（正弦函数）的定义，熟练掌握正弦函数的含义是解题的关键． 【详解】解：在中，，米，． 米 即卡车在竖直方向上升的高度为米， 故选： ． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：C． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；作于，根据题意得，则，进而根据即可求解． 【详解】解：作于，则，， 根据题意得， ， ． 故答案为： 4．（2025·浙江杭州·一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米；（2）米 【分析】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的应用. （1）利用直角三角形中角的正弦值即可求出结果； （2）利用等腰三角形的三线合一构造出直角三角形，再根据直角三角形中角的正切值即可求出结果． 【详解】（1）由题可知墙角为， ∴另一端距离地面的高度米； （2）由题可知双梯可抽象为等腰三角形， ∴由等腰三角形三线合一可知，双梯顶端距离地面的高度米． 【经典例题二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 【例2】（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 1．（2023·河北石家庄·一模）如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则       A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】根据方位角的定义求得∠BMA=∠BAM=15°，即可得到BM=AB=8海里. 【详解】∵处测得灯塔在它的北偏西方向上 ∴∠BAM=90°-75°=15°， ∵灯塔在B的北偏西方向上， ∴∠BMA=75°-60°=15°， ∴∠BMA=∠BAM=15°， ∴BM=AB=8海里 故选A. 【点睛】此题主要考查方位角的计算，解题的关键是熟知外角定理与等腰三角形的性质. 2．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，，则的面积为（ ） A．6 B．12 C．12 D．24 【答案】C 【分析】过A做的高，然后根据的三角函数值求出高，进而求出面积。 【详解】解：过A点作AE⊥BC，垂足为E， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积，． 故选C． 【点睛】本题考查了利用三角函数求线段长度，构造直角三角形，并掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 【答案】20 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 4．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 【答案】10.5 【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值． 【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在RtΔACD中，， AC＝5， ∴CD=ACcosC＝5=4． ∴由勾股定理得：AD＝＝3． ∵sinB＝， ∴∠B＝45°． ∴∠BAD＝∠B＝45°． ∴BD＝AD＝3． ∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形． 【经典例题三 解非直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 1．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 2．（2023·重庆·模拟预测）金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 【答案】D 【分析】在Rt△BCF中，根据BC的坡度i＝1：，求得∠CBF＝30°，根据三角函数的定义得到CF＝1300，BF＝1300，根据矩形的性质得到DE＝BF＝1300，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：， ∴∠CBF＝30°， ∵BC＝2600， ∴CF＝1300，BF＝1300， ∵CD⊥AD于点D，BF⊥CD，BE⊥AD， ∴四边形BEDF是矩形， ∴DE＝BF＝1300， ∵AE＝1000米， ∴AD＝AE+DE＝1000+1300， ∵∠CAD＝37°， ∴CD＝AD•tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75， ∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米， 答：BE的高度为1136.8米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 【经典例题四 仰角俯角问题】 【例1】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了仰角俯角问题，用辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点作于点，根据题意得，，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得，，， 在中，， 在中，， ， 即这栋楼的高度为， 故选A． 【例2】（2024·广东·二模）因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了仰角俯角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是正确的将仰角俯角问题转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识求解． 利用锐角三角函数分别求出和，利用两者的差等于3求得的长即可． 【详解】解：∵侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和， ∴，， ∵垂直于地面，立杆高度是， ∴()， ∴()， ∴指示牌的高度为()． 1．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；利用三角函数把和用含的代数式表示出来，再根据求出结果即可． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 故选：C． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 【答案】57 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，，在中，，根据，可得，即可求出，则问题得解． 【详解】解：如图， 根据题意可知四边形是矩形，，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：57． 4．（25-26九年级上·山东·课后作业）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键．根据题意可得，，在和中，利用锐角三角函数求得米，米，再利用求解即可． 【详解】解：由已知，得，，米，，于点， ，， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， （米）． 答：建筑物、间的距离为米． 【经典例题五 方位角问题】 【例1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 【例2】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 【答案】该车从点到点的平均速度为，该车超速 【分析】本题考查了解直角三角形，利用了锐角三角函数，直角三角形的性质，画出直角三角形得出的长是解题关键．过作于点，根据等腰直角三角形得出，进而利用三角函数解答即可． 【详解】解：如图，过作于点， 由题意得：， 在中，， ， （）， 在中，， （m）， （）， （）， ， 超速了． 答：该车从点到点的平均速度为，该车超速． 1．（2023·浙江金华·二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可． 分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用分别表示出、，利用两线段的差等于20 列出关于线段的式子，求得即可． 【详解】解：过点C作，， ∵在中，， ， ∵在 中，， ， ∵米， 米， 解得：米． 故选：B． 3．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 【答案】 【详解】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提．通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案． 【解答】解：由题意可得， ∴， 过点B作，垂足为E， 在中，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 【答案】轮船距离码头约为36海里 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得海里，，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：根据题意，得海里． 在中，，， ， ∴， ∴（海里）； 答：轮船距离码头约为36海里． 【经典例题六 坡度坡比问题】 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得，，，再由正弦的定义求解即可，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴米， 即该电梯的竖直高度为米， 故选：A． 【例2】（2025·吉林·模拟预测）一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 【答案】电线杆的高约是 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作于点，于点，由坡比可得，设，，在中，由勾股定理可求的值，继而可得，，的长，在中，利用解直角三角形，，即可解答． 【详解】解：过点作于点，于点，如图． 斜坡的坡比为， ． 设，， ， 解得， ，． 在中， ， ． ． 答：电线杆的高约是． 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角；丙的坡度为．那么，这三个梯子的倾斜程度为（   ） A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接利用坡度的定义求出坡角，进而比较得出答案． 【详解】解：∵乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角， ∴设乙梯子与地面的夹角为， ∴， ∴， ∵丙的坡度为， ∴设丙梯子与地面夹角为， ∴， ∴， 又甲与地面的夹角为， ∴这三个梯子的倾斜程度相同， 故选：D． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数定义，熟练掌握正弦函数的定义，是解题的关键． 根据三角函数定义进行解答即可． 【详解】解：∵滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了， ∴该同学在竖直方向上下降的高度为． 故选：A． 3．（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【答案】18 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，根据题意，得到米，，进而求出的长，勾股定理，求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意，得：米，， ∴米， ∴米； 故物体从到所经过的路程为18米． 故答案为：18． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，一个物体沿着坡度的坡面AB前进了到达B处．求此时物体距离地面的高度BC． 【答案】此时物体距离地面的高度BC为 【分析】此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况，解题的关键是能够构造直角三角形. 【详解】解：根据题意可知，， 设，则， 根据勾股定理，得，解得（负值已舍去）． 故此时物体距离地面的高度BC为． 【经典例题七 其他问题】 【例1】（2025·吉林长春·二模）如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查解直角三角形应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果． 【详解】解：如图，在中，，， ， ， （米）， （米）． 故选∶B． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 【答案】47厘米；453厘米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 连接，根据正切函数求解即可确定，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F，得出，确定结合图形求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∴挡光板的宽度至少应是厘米； 由C进入的太阳光照进室内最远， 如图，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内厘米． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）商场有一个自动扶梯，倾斜角为，高为，则扶梯的长度为（    ）． A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据倾斜角为，高为，得到扶梯的长度为，进行求解即可． 【详解】解：∵自动扶梯的倾斜角为，高为， ∴扶梯的长度为； 故选A． 3．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 【答案】/7厘米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 【拓展训练一 解三角形的相关问题】 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 【例2】（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 1．（2024·广西贵港·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E为边上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，三角形三边关系，关键是通过作辅助线构造直角三角形，得到，由三角形三边的关系得到． 作交延长线于，由平行四边形的性质得到， 因此，由锐角的正弦得到， 因此，由，得到当时，最小， 此时的值最小，由锐角的正弦求出长即可． 【详解】解：作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴当时，最小，此时的值最小， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 2．（2023·吉林长春·一模）如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可. 【详解】 如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形， ∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 3．（23-24九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可． 【详解】如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 4．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，美丽的洛河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小霄在河西岸滨河大道一段上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得，．又已知，求观景台D到洛河西岸的距离（精确到1m）．（，） 【答案】约为323米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 如图，过点D作于点E．通过解和分别求得的长度，然后根据图示知：，把相关线段的长度代入列出关于的方程，通过解该方程求得的长度即可． 【详解】如图，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∴， 同理，在中，得到， 又∵米， ∴米， 即， 则≈≈323（米）． 答：观景台D到洛河西岸的距离约为323米． 【拓展训练二 解直角三角形的应用】 【例1】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为（   ）米． A． B．30 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题、仰角俯角问题，如图过点B作交于点D，过于点E，由题意求得，由平行可求得，再根据三角形外角的性质进而求得，由平行线的性质得，进而得，根据等角对等边得，设，在中，利用锐角三角函数求得， ，进而可得，再求解即可． 【详解】解：过点B作交于点D，过于点E，如图所示， 斜坡的坡度， ， ， ， ， ， ，竖直向上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 即，， ， ， ， ， 解得，， ， 故选：A． 【例2】（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 1．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 2．（2025·浙江杭州·三模）如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据线段中点的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：为的中点，， ， 在中，， ， 故选：A． 3．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力 F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：N）（参考数据：）. 【答案】32 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据锐角三角函数的定义解直角三角形是解题的关键． 先求出，由得，求出，求出，在中，根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：32． 4．（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查学生对锐角三角函数的定义的理解，利用“设未知数法”表示出三角形的三边求解更加简便．作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解． 【详解】解：， ∴设，， ∴由勾股定理得： ， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，以点D为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点E，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解直角三角形，三线合一定理，过点D作于F，连接，可利用勾股定理的逆定理证明，则，由作图方法可得，由三线合一定理得到，解，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·浙江金华·一模）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm 【答案】D 【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=x cm，则AD=3x,则,然后利用AB•AD=求出x的值，即可得到AD,AB的长度，则周长可求． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，   ∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°， ∴设AE=xcm，则AD=3x， ∵∠AEB=120°， ∴∠EAB=30°， ∴AB=2AF=， ∵六角星纸板的面积为cm2  ， ∴AB•AD=，即， 解得x=， ∴AD=，AB=3， ∴矩形ABCD的周长=cm． 故选:D． 【点睛】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键． 4．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 5．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知，则该斜坡的坡度是（　　） A．1：2.5 B．1：2.4 C．12：5 D．12：13 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的应用，如图，作，由题意易得，，，根据坡度垂直高度：水平高度即可求出答案． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 该斜坡的坡度是， 故选：B． 6．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，要测量一条小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．根据正切函数可求小河宽的长度． 【详解】解：根据题意可知， ， 米，， （米）． 故选：C． 7．（2025·广东深圳·三模）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　） （参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，作，先解直角三角形求出，再根据求出答案． 【详解】解：过点B作，垂足为E， 在中，， ∴（米）． ∵米， ∴（米）， 握手点B离水平地面的竖直高度约为米． 故选：B． 8．（2025·四川南充·模拟预测）如图，有一个圆柱形容器(容器内壁厚度忽略不计)，里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出(此时液面与地面水平)，则此时容器最高处距离地面的高度是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于，交于，过点作于，得出四边形是矩形，解， ，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图， 过点A作于，交于，过点作于， 四边形是矩形， ．由题意得，则． 在中，，则， ． 在中，，， ， 则容器最高处距离地面的高度是＋ ． 故选：A． 9．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树的顶端C的俯角为，又知水平距离，楼高，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 过点作于点E，利用矩形的判定和性质，正切函数的应用，特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：过点作于点E， 则四边形是矩形，， 则，， 由， 得， 由， 故， 故选：A． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动到点，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为，与的函数图象如图2所示，的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数综合、等边三角形性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可求解． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， ∵是等边三角形，点在边上，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B ． 11．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得，则大桥的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】407 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可求出． 【详解】解：在中，米，， ∴ ，则（米） ∴故答案为：407. 12．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D是的中点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义和锐角三角函数值是解题的关键； 本题先利用，再由中点可知，从而求出的值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．作于，则，四边形是矩形，得出，，求出，证出，得出，在中，由直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：作于E，如图所示： 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； 故答案为14.4． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 15．（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 【答案】 / 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键．如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求出此支点O到小竹竿的距离出；如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 即点到小竹竿的距离为米； 如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可得，米，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴水桶水平移动的距离米． 故答案为：， 16．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，在菱形中，于，求此菱形的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，先得出，再设，，根据勾股定理得出，进而得出，得出，，即可得出答案．解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 17．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了利用，，的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相关的知识点是解此题的关键．通过理解，，的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积． 【详解】解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 即四边形的面积为． 18．（2025·陕西咸阳·二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为，证明四边形为正方形，在中，利用即可列出方程进行求解．本题主要考查解三角形的应用． 【详解】如图，过点作，垂足为， ，，， 四边形是矩形． ， ， 四边形为正方形， ． 从点测得点的俯角为， ∴根据平行直线的性质可知， ， 在中，， 解得， 该塑像的高度约为． 19．（2024·广东深圳·一模）住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为．已知当地冬至这天中午时太阳光线与地面所成的角是．（参考数据：） (1)要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到）？ (2)如果两栋楼房之间的距离为，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光（忽略其他影响采光的因素）？ 【答案】(1)两楼间的距离应为 (2)这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，仰角俯角问题： （1）根据直角三角形的边角关系得到，即可求得的长； （2）根据直角三角形的边角关系，得到的长，利用即可求出影子长，即得结论． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 答：两楼间的距离应为； （2）解：如图2，过点作平行于， 在中，， ， ， 答：这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在的高度为． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米） (2)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，掌握解直角三角形的计算是关键． （1）根据题意得到四边形和四边形为矩形，结合图形即可求解； （2）根据题意，设长为x米，则（米），根据，，分别求出，结合列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形， 米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，， ， ，， ， 由（1）得四边形和四边形为矩形， ， 米， ， 解得， 米， 答：旗杆的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.2 解直角三角形及其应用重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型三 解非直角三角形 题型四 仰角俯角问题 题型五 方位角问题 题型六 坡度坡比问题 题型七 其他问题 拓展训练一 解三角形的相关问题 拓展训练二 解直角三角形的应用 知识点一：解直角三角形 1. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·期中）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，若，，则的长度为 ． 知识点二：解直角三角形的应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．    A．3 B．4 C． D．5 2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，．求： (1)边上的高（精确到0.01）． (2)的度数（精确到） 1．（2025·吉林长春·模拟预测）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 4．（2025·浙江杭州·一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，） 【经典例题二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【例2】（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 1．（2023·河北石家庄·一模）如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则       A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，，则的面积为（ ） A．6 B．12 C．12 D．24 3．（2024·湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 4．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 【经典例题三 解非直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 1．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023·重庆·模拟预测）金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    【经典例题四 仰角俯角问题】 【例1】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东·二模）因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 1．（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 4．（25-26九年级上·山东·课后作业）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 【经典例题五 方位角问题】 【例1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 1．（2023·浙江金华·二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 3．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 4．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 【经典例题六 坡度坡比问题】 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【例2】（2025·吉林·模拟预测）一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角；丙的坡度为．那么，这三个梯子的倾斜程度为（   ） A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，一个物体沿着坡度的坡面AB前进了到达B处．求此时物体距离地面的高度BC． 【经典例题七 其他问题】 【例1】（2025·吉林长春·二模）如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（2025·安徽·模拟预测）已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 1．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）商场有一个自动扶梯，倾斜角为，高为，则扶梯的长度为（    ）． A．12 B． C．6 D． 3．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【拓展训练一 解三角形的相关问题】 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【例2】（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 1．（2024·广西贵港·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E为边上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林长春·一模）如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 4．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，美丽的洛河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小霄在河西岸滨河大道一段上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得，．又已知，求观景台D到洛河西岸的距离（精确到1m）．（，） 【拓展训练二 解直角三角形的应用】 【例1】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为（   ）米． A． B．30 C． D． 【例2】（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 1．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 2．（2025·浙江杭州·三模）如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力 F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：N）（参考数据：）. 4．（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，以点D为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点E，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 3．（2023·浙江金华·一模）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm 4．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知，则该斜坡的坡度是（　　） A．1：2.5 B．1：2.4 C．12：5 D．12：13 6．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，要测量一条小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2025·广东深圳·三模）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　） （参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2025·四川南充·模拟预测）如图，有一个圆柱形容器(容器内壁厚度忽略不计)，里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出(此时液面与地面水平)，则此时容器最高处距离地面的高度是(   ) A． B． C． D． 9．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树的顶端C的俯角为，又知水平距离，楼高，则树高为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动到点，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为，与的函数图象如图2所示，的长为（    ） A． B．3 C． D．4 11．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得，则大桥的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：） 12．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D是的中点，则的值是 ． 13．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为 ． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 15．（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 16．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，在菱形中，于，求此菱形的周长． 17．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 18．（2025·陕西咸阳·二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 19．（2024·广东深圳·一模）住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为．已知当地冬至这天中午时太阳光线与地面所成的角是．（参考数据：） (1)要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到）？ (2)如果两栋楼房之间的距离为，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光（忽略其他影响采光的因素）？ 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 学科网（北京）股份有限公司 $