专题22.3 相似三角形的性质及实际应用重难点题型专训（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题22.3 相似三角形的性质及实际应用重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 证明三角形的对应线段成比例 题型三 利用相似求坐标 题型四 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型五 相似三角形——动点问题 题型六 相似三角形的判定与性质综合 题型七 相似三角形的综合问题 题型八 重心的有关性质 题型九 相似三角形实际应用 拓展训练一 相似三角形的性质、判定及应用 拓展训练二 重心相关问题 知识点一：相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）[易错]相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，D，E分别在边上，已知，若，则 ． 知识点二：重心 1.核心定义：图形（或物体）重力均匀分布时的平衡点，是几何中心之一 2.重点：三角形的重心 1)定位：三角形三条中线（顶点连对边中点的线段）的交点 2)关键性质：①分每条中线为2:1（顶点到重心:重心到对边中点）；②把原三角形分成3个等面积小三角形 3)坐标计算：若顶点为、、，重心,) 3.其他图形重心 1)线段：中点（两端点坐标平均值） 2)平行四边形/正多边形：对角线交点（顶点坐标平均值） 4.易混区分：与垂心（三条高线交点）、内心（角平分线交点，内切圆圆心）、外心（垂直平分线交点，外接圆圆心）不同，仅正三角形中四“心”重合 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，的中线，相交于点，若，则的长为 ． 【经典例题一 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（2023·广东清远·一模）与相似且周长之比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，分别是这两个三角形的高，分别是这两个三角形的中位线．与相等吗？请说明理由． 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知的三边长分别为5，6，7，另有一个与它相似的，其最短边为15，则的周长是（　　） A．45 B．48 C．51 D．54 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，且与相似比为，若，则 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，，．求． 【经典例题二 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，＝，的角平分线CD＝4cm，的面积为64cm2 求：（1） 的角平分线的长； （2）的面积． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 3．（23-24九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 【经典例题三 利用相似求坐标】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【例2】（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 1．（2024·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    4．（23-24九年级上·广东珠海·期末）如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求BE的长． 【经典例题四 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【经典例题五 相似三角形——动点问题】 【例1】（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【例2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 1．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 3．（23-24九年级·浙江·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【经典例题六 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，中，，，， 则边的长是（   ）      A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，，E是的中点，的延长线交的延长线于点F．求证：． 1．（2024九年级下·天津河西·学业考试）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 2．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 3．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，点，分别在边，上，且，若，，的面积是4，则的面积是 ． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，点分别是上的点，且，若，则的长是多少？ 【经典例题七 相似三角形的综合问题】 【例1】（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【例2】（2025九年级·广西梧州·学业考试）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 1．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，菱形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是（    ） A．和都是等边三角形 B．四边形和四边形都是菱形 C．四边形与四边形是位似图形 D．且 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由. 【经典例题八 重心的有关性质】 【例1】（2025九年级上·上海·专题练习）在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【例2】（2023·吉林松原·二模）如图，在正方形网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中作的重心（提示：三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心）； (2)在图2中作，且G是格点．（画出一个即可） 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，为的中线，G为的重心，若，则 ． 4．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知AD是等边△ABC的中线，请用尺规作图法，在线段AD上求作一点P，使得△ABP的面积是△ABC面积的．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题九 相似三角形实际应用】 【例1】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与成角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转，沿方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【拓展训练一 相似三角形的性质、判定及应用】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？ A． B． C．15 D． E． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知于点B，于点C，，，，P为BC上的点．若以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似，求的长． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为上一点，延长至点，连接、．若，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处．已知，且测得，那么该古城墙的高度是（    ） A．6m B．8m C．18m D．24m 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 4．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【拓展训练二 重心相关问题】 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 1．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，，，点是的重心，连接交于，于，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知G为的重心，且，，连结交于点D，则的面积是 （  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 1．（24-25九年级下·湖南湘西·期中）若，相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·安徽合肥·专题练习）如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·广东中山·竞赛）如图，在中，，，，则 的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，D、E、F是三边上的点，把三角形分成三部分，其中，的面积为9，则平行四边形的面积为（   ） A．4 B．9 C．12 D．25 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（2025·北京·模拟预测）已知的两条中线与交于点，连接．若，，下列四个结论正确的是（   ） ①；②的最小值是；③的面积最大值是3；④； A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 10．（2025·浙江·三模）如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 11．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，为上一点，若，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，若与相似，则 ， ， ． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点G是的重心，，垂足为点H，若，则点A到的距离为 ． 14．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 15．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，于点E，于点D．求证：． 17．（2024九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 18．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 19．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）    (1)在图1中，画出的重心G； (2)在图2中，画线段，点E在上，使得； (3)图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置． 20．（24-25九年级上·广东清远·期末）有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.3 相似三角形的性质及实际应用重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 证明三角形的对应线段成比例 题型三 利用相似求坐标 题型四 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型五 相似三角形——动点问题 题型六 相似三角形的判定与性质综合 题型七 相似三角形的综合问题 题型八 重心的有关性质 题型九 相似三角形实际应用 拓展训练一 相似三角形的性质、判定及应用 拓展训练二 重心相关问题 知识点一：相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）[易错]相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论． 【详解】解：当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，D，E分别在边上，已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．由题意直接根据相似三角形的性质列出比例式，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 知识点二：重心 1.核心定义：图形（或物体）重力均匀分布时的平衡点，是几何中心之一 2.重点：三角形的重心 1)定位：三角形三条中线（顶点连对边中点的线段）的交点 2)关键性质：①分每条中线为2:1（顶点到重心:重心到对边中点）；②把原三角形分成3个等面积小三角形 3)坐标计算：若顶点为、、，重心,) 3.其他图形重心 1)线段：中点（两端点坐标平均值） 2)平行四边形/正多边形：对角线交点（顶点坐标平均值） 4.易混区分：与垂心（三条高线交点）、内心（角平分线交点，内切圆圆心）、外心（垂直平分线交点，外接圆圆心）不同，仅正三角形中四“心”重合 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的重心的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点， ∴是的中线，是的中线，故ABC不符合题意； ∴， ∴与的面积相等，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，的中线，相交于点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形三条边中线的交点及三角形的重心把三角形的中线分成两部分是解题的关键；因此此题可根据三角形重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵的中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴； 故答案为3． 【经典例题一 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（2023·广东清远·一模）与相似且周长之比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得与的相似比为，然后根据两个三角形相似，那么它们的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与相似且周长之比为，可知：与的相似比为， ∴； 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，分别是这两个三角形的高，分别是这两个三角形的中位线．与相等吗？请说明理由． 【答案】与相等．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．也考查了三角形中位线性质． 先根据相似的性质由得到 ，再根据三角形中位线性质得 ，利用比例性质变形为 ，所以，然后根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比得到，于是有. 【详解】解：与相等．理由如下： 分别是这两个三角形的中位线， ∴ 分别是这两个三角形的高， ∴. 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知的三边长分别为5，6，7，另有一个与它相似的，其最短边为15，则的周长是（　　） A．45 B．48 C．51 D．54 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质：周长的比等于相似比，掌握此性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵和相似， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，且与相似比为，若，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可解得答案． 【详解】解：，且与相似比为， ， ， ． 故答案为：20． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，，．求． 【答案】 【分析】通过相似三角形的性质，对应边成比例，将转化为已知边的比值求解. 【详解】解：， 是边上的中线，是边上的中线． ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是利用相似三角形的对应边成比例来求解线段的比值. 【经典例题二 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，＝，的角平分线CD＝4cm，的面积为64cm2 求：（1） 的角平分线的长； （2）的面积． 【答案】（1）8cm；（2）256cm 【分析】（1）利用三角形相似性质得到对应边的比相似比角平分线的比解题即可； （2）根据相似的性质求得相似比，再根据面积比相似比的平方解题即可． 【详解】解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，， . ∵△ABC的角平分线CD＝4 cm， ∴C′D′＝4×2＝8 (cm)． (2)∵△ABC∽△A′B′C′，， . ∵△ABC的面积为64 cm2，∴△A′B′C′的面积＝64×4＝256 (cm2)． 【点睛】本题考查三角形相似的性质，是常见考点，难度一般，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题关键． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 3．（23-24九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA， ∴BC：BF=BA：BC， 而∠ABC=∠CBF， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴DF：BC=DG：BA， ∴DF•AB=BC•DG； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图， ∵DE∥BC， ∴AH∥DE， ∵点E为AC的中点， 为的中位线， ∴AH=2EG， ∵AH∥DG， ∴， ∴， ∴， 即2DF•EG=AF•DG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 【经典例题三 利用相似求坐标】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【例2】（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 1．（2024·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 4．（23-24九年级上·广东珠海·期末）如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求BE的长． 【答案】（1），（2）12 【分析】（1）由相似可求得点在坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求得比例系数的值； （2）把的横坐标代入反比例函数解析式，能求得长，． 【详解】解：（1）， ． ，， ． 在中，， ， 不妨令， ， ， 解得： ，． ． 点在函数的图象上， ． ． （2）是图象与的交点， ． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的对应边成比例，求反比例解析式、解题的关键是掌握垂直于轴的直线上的点的横坐标相等；过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 【经典例题四 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质,为使,需满足对应边成比例和对应角相等的条件,通过分析的形状和比例,确定中点的位置,使得与,与,与成比例. 【详解】解：应该为; 当在时,若设每一个小正方形的边长为， 则的各边分别为， 原的各边长为， 此时对应边成比例且比例相等为， 则可得到两个三角形相似， 故选：C ． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【分析】此题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ； （2）解：如图：即为所求． 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为2即可； （2）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为即可． 【详解】解：如图(1)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求； 如图(2)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求． 【经典例题五 相似三角形——动点问题】 【例1】（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【例2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 1．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】D 【分析】求出，分两种情况：当和，利用30°角直角三角形的性质求解即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ， ∴， ∵D为BC的中点， ∴E为的中点， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵D为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为4或7， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 3．（23-24九年级·浙江·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 【答案】4.8s或3s 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质．根据对应角不同进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过或后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【答案】当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设运动的时间为秒，则，，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，，， 当时， ，即， 解得：； 当时， ，即， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【经典例题六 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，中，，，， 则边的长是（   ）      A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 根据题意知，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，，E是的中点，的延长线交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由已知条件得到，根据余角的性质得到，由直角三角形的性质和对顶角相等得到，证明出，得到，根据已知条件推出，得到，进而求解即可． 【详解】解：，于， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴． 1．（2024九年级下·天津河西·学业考试）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定可证，再利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ∴， ∴ ， ， ， （米， 故答案为：7． 2．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，点，分别在边，上，且，若，，的面积是4，则的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据得出，由相似三角形的性质即可得到面积之比从而求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的面积是4， ∴的面积是25． 故答案为：25． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，点分别是上的点，且，若，则的长是多少？ 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的面积比与相似比，根据已知面积求出根据得，从而可得，再根据即可求解． 【详解】∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【经典例题七 相似三角形的综合问题】 【例1】（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【例2】（2025九年级·广西梧州·学业考试）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【答案】（1）见解析  （2） 【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG； （2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 1．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，菱形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是（    ） A．和都是等边三角形 B．四边形和四边形都是菱形 C．四边形与四边形是位似图形 D．且 【答案】C 【分析】根据菱形的性质及直角三角形的性质即可判断. 【详解】∵、分别是边、的中点，AC⊥BD， ∴MO=AM=BM=AB=NO,∴和都是等腰三角形，A错误； ∵MN=BD=BO=DO,∴四边形和四边形都是平行四边形，B错误； 由AM=AB, AO=AC, AN=AD, ∴四边形与四边形是位似图形，正确； ∵、O分别是边、AC的中点 ∴，但是不一定等于CO，故D错误. 故选C 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知中位线定理与直角三角形的性质. 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 【答案】1：3． 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△AEC， ∴=()2 ∵S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8， ∴S△ABC＝9， ∴=， ∴， 故答案为1：3． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由. 【答案】和是位似图形.理由见解析 【分析】由，，得到，，从而得到.由对应点的连线都过O点，得到答案. 【详解】和是位似图形.理由如下： ∵，， ∴，，，. ∴，. ∴. 又∵对应点的连线都过O点， ∴和是位似图形. 【点睛】本题考查位似图形的判断，解题的关键是掌握位似图形的判断方法. 【经典例题八 重心的有关性质】 【例1】（2025九年级上·上海·专题练习）在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了重心的性质．根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：B． 【例2】（2023·吉林松原·二模）如图，在正方形网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中作的重心（提示：三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心）； (2)在图2中作，且G是格点．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点，分别作出三边中线即可得到答案； （2）根据题意可知，因此只要保证等于即可，利用正方形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图①，点D即为所求； ； （2）解：如图2，，，，即为所求． ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，三角形重心，熟知矩形的性质，正方形的性质是解题的关键 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的考点是三角形重心的性质．解题的关键是理解并运用三角形重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍这一性质． 【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍． 设，则， 因为， 即， 解得， 所以． 故答案选：B． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，为的中线，G为的重心，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的重心定理，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：∵为的中线，G为的重心， ∴， ∴， 故答案为：9． 4．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知AD是等边△ABC的中线，请用尺规作图法，在线段AD上求作一点P，使得△ABP的面积是△ABC面积的．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析． 【分析】根据三角形重心的性质、等边三角形的性质可得作出线段的垂直平分线，交于点即可． 【详解】解：如图，点即为所作． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键． 【经典例题九 相似三角形实际应用】 【例1】（23-24九年级上·海南海口·期中）如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．易证，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与成角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转，沿方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 【答案】48米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．先根据已知条件求出，再根据相似三角形的对应边成比例，解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， ∴的长为48米． 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 【答案】 【分析】根据题意过点A作，垂足为M，交于点N，得出，进而求出的长，进而得出答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为M，交于点N， 则四边形都是矩形， 故， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故． 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【答案】路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 【拓展训练一 相似三角形的性质、判定及应用】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？ A． B． C．15 D． E． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．，得出，求出；证明，得出，即可得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知于点B，于点C，，，，P为BC上的点．若以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似，求的长． 【答案】的长为12.6或3或18 【分析】本题主要考查了三角形相似的性质，解题的关键是注意分类进行讨论．分和两种情况进行讨论． 【详解】解：设为x，当时，， 即， 解得，， 当时，， 即， 解得， 综上可知，的长为12.6或3或18． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为上一点，延长至点，连接、．若，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，再证，然后证，得，即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处．已知，且测得，那么该古城墙的高度是（    ） A．6m B．8m C．18m D．24m 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程求解. 因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答. 【详解】由题意可知， ， 即，解得． 故答案选：B. 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 4．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 【拓展训练二 重心相关问题】 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键. 【详解】解：为的重心， ， ，， ，即， ， ． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，，，点是的重心，连接交于，于，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了重心的性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接并延长交于，由重心的性质可知，可得，由，，可得，进而可证明出，可得到，代入数据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接并延长交于， 点是的重心， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知G为的重心，且，，连结交于点D，则的面积是 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义与性质，根据重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为求解即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，， ∴，， ∵且，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．利用三角形的重心性质得到，，得出，再证明，，得出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25九年级下·湖南湘西·期中）若，相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的面积比为． 故选：C． 2．（2024九年级下·安徽合肥·专题练习）如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴相似比为， ∴面积比为， 故选：D． 3．（2024九年级下·广东中山·竞赛）如图，在中，，，，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．由，可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得 ，结合，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B ． 4．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形性质和判定的实际运用，根据题意证明，结合相似三角形性质推出求解，即可解题． 【详解】解：当夹子完全张开时（即A，B两点重合），如图所示： ，． ， ， ， ， 即， 解得； 故选：A． 5．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，D、E、F是三边上的点，把三角形分成三部分，其中，的面积为9，则平行四边形的面积为（   ） A．4 B．9 C．12 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线的性质，得出相等的角，证明，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴平行四边形的面积为， 故选：C． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平行四边形的性质先说明、，再利用相似三角形的性质求出、、的面积，最后利用面积的和差关系得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ，． ， ，， ， ． 故选：B． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 8．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 9．（2025·北京·模拟预测）已知的两条中线与交于点，连接．若，，下列四个结论正确的是（   ） ①；②的最小值是；③的面积最大值是3；④； A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了中线交点的性质，线段、面积最值的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据重心的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半可判定①；根据线段的和差关系，最值计算可判定②；但边上的高最大时，面积最大，可判定③；如图所示，过点作于点，运用勾股定理，等量代换即可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴， ∵点是中线交点， ∴，故①正确； ∵， ∴点在与为直径的圆上运动， ∴， 当共线时，值最小，最小值为：，故②错误； 如图所示， 当时，的面积最大，最大面积为，故③正确； 如图所示，过点作于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴得，， 由③得，， ∵，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：D ． 10．（2025·浙江·三模）如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即可求的面积， 故选：B． 11．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，为上一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，，证明，再代入数值到，进行化简，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，若与相似，则 ， ， ． 【答案】 6 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与相似，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：6；； ． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点G是的重心，，垂足为点H，若，则点A到的距离为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的重心问题，根据题意作图，利用重心的性质，同时还可以求出，从而得出，根据即可得出答案． 【详解】解：设边上的中线是，边上的高是， 由重心性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 14．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 15．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可. 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时， ∴ ∴，且，， ∴ ∴ ∵小长方形的宽为 ∴能分割四层小长方形 设最底层的上一层的靠近点A的边为x 根据三角形相似可得： 解得，正好能分割两个小长方形 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形 ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个 故答案为6 【点睛】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键 16．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，于点E，于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点D，于点E，得，再结合，证明，即可作答． 【详解】证明：∵于点D，于点E， ∴． 又∵， ∴， ∴， 17．（2024九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 18．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 【答案】x= 【分析】作CF⊥AB，交DE于点H，利用面积法求出CF的长，易证△DEC∽△ABC，CH:CF=DE:AB，即（-x）：=nx：5 【详解】作CF⊥AB，交DE于点H 易得CF= ∵DE∥AB ∴△DEC∽△ABC 又∵CH⊥DE，CF⊥AB ∴CH:CF=DE:AB ∴（-x）：=nx：5 解得x= 19．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）    (1)在图1中，画出的重心G； (2)在图2中，画线段，点E在上，使得； (3)图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）画出三角形两边的中线，交点即为重心； （2）取格点M，N，连接交于点E，连接即可； （3）取点D，连接，则，根据三边成比例可得，则，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；    （2）解：如图所示，即为所作；    （3）解：如图，点O即为所作，    【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线，相似三角形等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．（24-25九年级上·广东清远·期末）有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）． 【答案】见解析 【分析】在图中设正方形的边长为x，则，，由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值；在图中首先由三角形的面积公式求出的长度，然后由相似三角形的判定定理得出，设，根据相似三角形的对应边成比例求出y的长度，比较出x，y的大小即可得出结论． 【详解】解：在图中设正方形的边长为x，则，， ，， ， ，即， 解得， ， ， 在图中，， ， ， ，， ， ， 设，则， 解得， ， ， 图方法符合要求． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生理论联系实际的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $