专题22.2 相似三角形的判定重难点题型专训（2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题22.2 相似三角形的判定重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行判定相似 题型二 利用两角对应相等判定相似 题型三 利用三边对应成比例判定相似 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 拓展训练一 根据条件判断相似 知识点一：相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【即时训练】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 知识点二：相似三角形的判定 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 2．（24-25九年级上·江苏南充·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【经典例题一 利用平行判定相似】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 4．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【经典例题二 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 【例2】（24-25九年级上·云南·阶段练习）如图，．求证：． 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【经典例题三 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 4．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【经典例题四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 4．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【经典例题五 相似三角形的判定综合】 【例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）根据下列条件判断与是否相似，其中（需说明理由）． (1)． (2)． 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【经典例题六 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【例2】（22-23九年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 1．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 4．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【拓展训练一 根据条件判断相似】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 1．（25-26九年级上·全国·周测）依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 4．（2022·福建福州·二模）如图，点D为边上一点．求证：． 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件：，，，，，；，，，，，；，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①②有四个说法，其中正确的是（　　） A．一定不相似 B．一定全等 C．一定相似，且相似比为 D．一定相似，且相似比为 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知两个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为2，4和3，6，则这两个直角三角形（   ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，那么与的相似比为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 10．（2024·重庆江北·二模）在▱ABCD中，E是BC的中点，F是AB的中点，AE与DF交于点H，过点H作MN⊥BC，垂足为M，交AD于N．那么=（　　） A．1 B．2 C． D． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，梯形ABCD中，．若，则等于 ． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则图中相似三角形的对数是 ． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，与相交于点，可添加一个条件： ，使得与相似． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 15．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 16．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在与中，，，求证：． 17．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，是上的一个动点．当时，求证：． 18．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，D为上一点，，求证：． 19．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点、、分别在边、、上，，． （1）求证：． （2）若、的面积分别为和，则的值为______． 【拓展】如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.2 相似三角形的判定重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行判定相似 题型二 利用两角对应相等判定相似 题型三 利用三边对应成比例判定相似 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 拓展训练一 根据条件判断相似 知识点一：相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【即时训练】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 知识点二：相似三角形的判定 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南充·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 【经典例题一 利用平行判定相似】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于利用相似三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系，确定相似比，进而求出周长比．先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比即可． 【详解】设， 是等腰直角三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， 与的周长比为：． 故选：D． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意判定三角形相似，由相似三角形的性质列比例关系，代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∴， 设树高米， ∵米，米，米， ∴， ∴， ∴树高米， 故答案为：． 4．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【经典例题二 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质，难度不大，运用空间想象判断是解题的关键．根据题意可得，即一组角相等，选项A、C，都可以利用平行证明另一组角相等，选项D直接给出另一组角相等，从而可以证明相似，选项B不能证明三角形相似，从而得解． 【详解】解：连接， ∵与在一条直线上， ∴点B，C，E，F四点共线， ∵， ∴， A、如下图，过点E作，交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项A正确，不符合题意； B、如下图，取的中点M，连接， 无法证明，，因此无法证明，选项B错误，符合题意； C、如图在线段和上分别取点M、N，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项C正确，不符合题意； D、如下图，在上取一点G，使得， ∵，， ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·云南·阶段练习）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是顶角为，底角为的等腰三角形， A、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； B、三边相等的三角形是等边三角形，每个内角都为，与不相似，故不符合题意； C、是顶角为的等腰三角形，则底角为，与相似，故符合题意； D、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 3．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 【经典例题三 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 4．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【经典例题四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可． （2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，，． 故答案为：，； （2）解：结论：． 理由：，，，， ， ， ． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 2．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 4．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 【经典例题五 相似三角形的判定综合】 【例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以A选项中的三角形与相似． 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）根据下列条件判断与是否相似，其中（需说明理由）． (1)． (2)． 【答案】(1)与相似．理由见解析 (2)与不相似．理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形相似的判定方法以及勾股定理的应用，正确把握判定方法是解题关键． （1）易得且，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，进而判断即可； （2）通过计算可得，进而判断即可． 【详解】（1）解：与相似．理由如下： ． ， ． （2）解：与不相似．理由如下： 在中，， ． ，， ． 又， ， 与不相似． 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由，，可判定，故①符合题意； ②由，，可判定，故②符合题意； ③由，可判定，故③符合题意． ∴能判定与的有3个． 故选：D． 2．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【详解】解：过点作的垂线，作的垂线，作的垂线共三条直线， 故选：C． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 故答案为：． 【经典例题六 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 【例2】（22-23九年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】添加（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）， 理由如下： 又∵，， ∴． 1．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A、且夹角，可判断，故A选项不符合题意； B、，可判断，故B选项不符合题意； C、，可判断，故C选项不符合题意； D、，不能确定，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 4．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【拓展训练一 根据条件判断相似】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 1．（25-26九年级上·全国·周测）依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】选项A：，， ， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项B：，，，， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项C：，，，， ． 又，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； 选项D：，，，，，， ， ，故此选项不符合题意． 故选C． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 4．（2022·福建福州·二模）如图，点D为边上一点．求证：． 【答案】见解答过程 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”是解题关键． 根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似” 即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件：，，，，，；，，，，，；，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知判定定理是解决本题的关键．由相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：由，，故，故符合题意； 由，，故，故符合题意； 由，故，故符合题意． 能判定与相似的有个． 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 由，不能证明，符合题意； 故选：． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①②有四个说法，其中正确的是（　　） A．一定不相似 B．一定全等 C．一定相似，且相似比为 D．一定相似，且相似比为 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理， 根据勾股定理分别求出这两个三角形的三边，再结合三边成比例的两个三角形相似得出答案. 【详解】解：根据勾股定理， 三角形①的三边长为； 三角形②的三边长为， ∴， ∴这两个三角形相似，且相似比为. 故选：C. 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知两个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为2，4和3，6，则这两个直角三角形（   ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法以及勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法 是解题的关键． 根据勾股定理分别求出两个直角三角形的另一条直角边，再判断对应边是否成比例． 【详解】解：对于第一个直角三角形，已知一条直角边为，斜边为， 另一条直角边为： 其三条边分别为、、． 对于第二个直角三角形，已知一条直角边为，斜边为， 另一条直角边为： 其三条边分别为、、． 所有对应边的比例均为，满足相似三角形的条件， 这两个直角三角形一定相似． 故选：A 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，，那么与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需求出的值即可得到答案. 【详解】， ， ． 又， ， 与的相似比为． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求出的值是解题的关键. 6．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 7．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 8．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键； 根据相似三角形的判定定理分析即可求解； 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 10．（2024·重庆江北·二模）在▱ABCD中，E是BC的中点，F是AB的中点，AE与DF交于点H，过点H作MN⊥BC，垂足为M，交AD于N．那么=（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】作辅助线构造相似三角形即可. 【详解】如图，延长DF使DF=FL，又因为F为AB中点，所以△DAF≌△LBF.且易知△ADH∽△ELH，所以.又因为E为BC中点，AD=BL，所以，所以选D. 【点睛】构造相似三角形是解题的关键. 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，梯形ABCD中，．若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，属于综合题，有一定难度，注意通过添加辅助线，将EF、AB分割计算是解答本题的关键． 过作交于，交于，根据平行四边形的性质先求出，从而得到的长，再根据平行线分线段成比例定理可求出的值． 【详解】如图，过点D作交AB于点G，交EF于点H． ， 四边形都是平行四边形， ， ． ， ， ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则图中相似三角形的对数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 由即可得继而证得. 【详解】解： ∴图中相似三角形的对数是：对. 故答案为：． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，与相交于点，可添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：如图所示：，再添加另一对对应角相等或该夹角两组对应边的比相等即可． 例如：或或． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【答案】11 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据平面内点使得与相似，即可得到不与点重合的点的个数． 【详解】解：如图所示，当时，（当点在另一侧时，也符合题意，下同）； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，（点与点重合时不合题意）． 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 综上所述，符合题意的点的位置有11个． 故答案为：11． 16．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 17．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，是上的一个动点．当时，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得，，根据两个角分别对应相等的两个三角形相似即可求证． 【详解】证明：， ， ， 又， ， ， ． 18．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，D为上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键． 由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】解：， ，， ， 又∵， ． 19．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点、、分别在边、、上，，． （1）求证：． （2）若、的面积分别为和，则的值为______． 【拓展】如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）；拓展：27 【分析】（1）根据已知条件可以判定四边形BFED是平行四边形，得出BF=DE，由EF∥AB证出，从而得出，由DE∥BC得出∠AED=∠C，根据SAS判定两个三角形相似； （2）根据相似三角形的性质，相似比的平方等于面积比，求出对应边的比值； 拓展 过D作DM∥AC交BC于点M，先证明△ADE≌△EGC，求出△BDM的面积，在证明△ADE∽△BDM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出AD与BD的比值，最后求出△ABC的面积． 【详解】（1）∵EF∥AB，DE∥BC， ∴四边形BFED是平行四边形，∠AED=∠C， ∴BF=DE， ∵EF∥AB， ∴， ∴， ∵∠AED=∠C， ∴△ADE∽△EFC（SAS）． （2）∵△ADE∽△EFC， ∴． 【拓展】．如图，过点D作DM∥AC交BC于点M， ∴∠DMF=∠C， ∵DE∥BC，DF∥EG， ∴四边形DFGE是平行四边形， ∴DF=EG，∠DFM=∠EGC， ∵∠DFM=∠C， ∴△AFM≌△EGC（AAS）， ∴S△DFM=S△EGC=5， ∴S△BDM=S△DFM+S△DBF=12， ∵DE∥BC，DF∥EG， ∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠A， ∴△DAE∽△BDM（AA）， ∴， ∴， ∴， 同理可证△ADE∽△ABC， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似比的平方等于面积比求出答案即可． 学科网（北京）股份有限公司 $