1.2 一元二次方程的解法——因式分解法　课件2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

1.2 一元二次方程的解法 ——因式分解法 1 复习回顾 x2=a (a≥0) 求解一元二次方程的方法： 一元二次方程： ax2+bx +c = 0(a ，b ，c为常数, a≠0) (1)直接开平方法 (2)配方法 (3)公式法 (x+m)2=n(n≥0) 2 复习回顾 分解因式的方法有哪些? （1）提公因式法: （2）公式法: am+bm+cm=m(a+b+c). a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 3 探究新知 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,这个数是几？你是怎样求出来的？ 解：设这个数为x,依题意得,可得方程 x2 = 3x 思考：该如何求解方程 x2 = 3x ？ 配方法： x2 -3x=0 公式法： x2 -3x=0 4 探究新知 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,这个数是几？你是怎样求出来的？ 由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0 因此 x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3. 小颖的思路： 小明的思路： 方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3. 解：设这个数为x,依题意得,可得方程 x2 = 3x 他们做得对吗？为什么？ 5 小亮的思路： 由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0 即 x (x - 3) = 0 于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0. 因此 x1 = 0 , x2 = 3 所以这个数是0或3 根据：“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。” 即：如果a·b= 0 ， 那么 a=0 或 b=0 用因式分解法求解一元二次方程 6 概念归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记： 右化零 左分解 两因式 各求解 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解。这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。 7 小试牛刀 下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (1) x1=0, x2=2； (2) (y+2)(y-3)=0； (2) y1=-2, y2=3 ； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (3) x1=-2, x2=2； (4) x2=x (4) x1=0, x2=1 x2-x=0 x(x-1)=0 8 典例精析 例1：解下列方程： （1） 5x2 = 4x （2）x – 2 = x (x - 2) 解：5x2 - 4x = 0 x (5x - 4) = 0 ∴x = 0 或 5x – 4 =0 ∴ x1 = 0 , x2= 解：(x - 2) – x (x - 2) = 0 (x - 2) (1 - x) = 0 ∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0 ∴ x1 = 2 , x2=1 原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程 右化零 左分解 两因式 各求解 9 学校要把小圆形操场的半径增加5m得到大圆形操场，发现面积增加了一倍，求小圆形操场的半径。 π ( r + 5 )2=2πr2 于是得 答：小圆形场地的半径是 解：设小圆形操场的半径为r，则面积为πr2 解决实际问题 r 5m ( r + 5 )2=2r2   10 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 归纳总结 11 选用适当的方法解一元二次方程 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5) (2)(5x + 1)2 = 1 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快。 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0   12 (3) x2 - 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1；     13 (1)x2-4=0 (2)(x+1)2-25=0 你能用因式分解法解下列的方程吗？ （1）解：化简 (x -2) (x + 2) = 0 即x - 2 = 0 或 x + 2 = 0 解得 x1=2 ，x2= -2 （2）化简 (x + 1- 5) (x + 1+5) = 0 即x - 4 = 0 或 x + 6 = 0 解得 x1=4 ，x2= -6 巩固提升 14 因式分解法 概念 步骤 简记： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a·b=0，那么a=0或b=0. 原理 将方程右边化为0，左边因式分解. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c) a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 课堂小结 15 课后作业 A类： 巩固知识 第1、2、3题 B类： 拓展提升 第1、2题 完成作业练习单 16 $