1.2一元二次方程的解法（第1课时直接开平方法）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 1.2 一元二次方程的解法 第一课时 直接开平方法 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解平方根的意义，并运用于解形如 x2 = a ( a ≥ 0 ) 的简单一元二次方程 认识直接开方法的使用情形，并进一步将直接开平方法运用于解形如 ( mx + h )2 = k ( m ≠ 0，k ≥ 0 ) 的一元二次方程 新知探究 思 考 1. ( 1 ) 4的平方根是________，________的平方是4； ( 2 ) 2的平方根是________，________的平方是2； ( 2 ) 0的平方根是________，________的平方是0。 ±2 ±2 ± ± 0 0 2. ( 1 ) x2 = 4，x = ________； ( 2 ) x2 = 2，x = ________； ( 3 ) x2 = 0，x = ________；。 ±2 ± 0 【总结】 一元二次方程 x2 = 0 的根为 x1 = x2 = 0； 一元二次方程 x2 = a ( a > 0 ) 的根为 x1=，x2=-。 新知探究 直接开平方法的定义： 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 知识要点 典例分析 典例1 解方程： ( 1 ) x2 - 5 = 11； ( 2 ) 9x2 = 1； 解：( 1 ) 移项：x2 = 16， 直接开方：x= ±4， ∴ x1 = 4，x2 = -4； ( 2 ) 两边同时除以9：x2 = ， 直接开方：x = ±， ∴ x1 = ，x2 = ； 典例分析 典例1 解方程： ( 3 ) 1 - 4x2 = -24。 ( 3 ) 移项：-4x2 = -25， 两边同时除以-4：x2 = ， 直接开方：x = ±， ∴ x1 = ，x2 = -。 方法技巧 解题关键： 形如 x2 = a ( a ≥ 0 ) 的一元二次方程的根为 x1 = ，x2 = -； 这种形式下的两根互为相反数。 除了 x2 = a ( a ≥ 0 )，直接开平方法是否还有其他的使用情形呢？ 典例分析 典例2 解方程： ( 1 ) ( x + 2 )2 = 4； ( 2 ) ( x - 1 )2 + 4 = 20； ( 3 ) ( 2x + 3 )2 = 25。 分析：整体法 只要把( x + 2 )、( x - 1 )、 ( 2x + 3 ) 分别看作一个整体，就可以用直接开平方法求解 解：( 1 ) 直接开方：x + 2 = ±2， x = 0 或 x = -4， ∴ x1=0，x2=-4； 典例分析 典例2 解方程： ( 1 ) ( x + 2 )2 = 4； ( 2 ) ( x - 1 )2 + 4 = 20； ( 3 ) ( 2x + 3 )2 = 25。 ( 2 ) 移项：( x - 1 )2 = 16， 直接开方：x - 1 = ±4， x = 5 或 x = -3， ∴ x1 = 5，x2 = -3； ( 3 ) 直接开方：2x + 3 = ±5， 2x = 2 或 2x = -8， ∴ x1 = 1，x2 = -4。 方法技巧 解题关键： 若已知一元二次方程 ( mx + h )2 = k ( m ≠ 0，k ≥0 )，则 mx1 + h =，mx2 + h = -。 新知探究 直接开平方法的使用情形： ① 形如 x2 = a ( a ≥ 0 ) 的一元二次方程的根为 x1 = ，x2 = -； 这种形式下的两根互为相反数。 ② 若已知一元二次方程 ( mx + h )2 = k ( m ≠ 0，k ≥0 )， 则 mx1 + h =，mx2 + h = -。 注意：等号左边是一个数或式的平方的形式， 而等号右边是一个非负数。 知识要点 新知探究 直接开平方法的实质： 通过降次，把一个一元二次方程转化为一元一次方程求解。 知识要点 典例分析 典例3 解方程： ( 1 ) ( x - 520 )2 = 0； ( 2 ) ( x - 1 )2 = -1314。 解：( 1 ) 直接开方：x - 520 = ±0， ∴ x1 = x2 = 520； 注意： 两个相同的根是两根，不是一根哦，一定要写成“x1 = x2 = …”的格式 ( 2 ) 等式左边不是非负数， 方程没有实数解。 典例分析 典例4 ( x - 3 )2 = 25 ( x - 1 )2。 【分析】 ( x - 3 )2 = [5 ( x - 1 ) ]2 = ( 5x - 5 )2， 可将( x - 3 )、( 5x - 5 )2 分别看作一个整体。 解：( x - 3 )2 = [5 ( x - 1 ) ]2 = ( 5x - 5 )2， 直接开方：x - 3 = = ± ( 5x - 5 )， x - 3 = 5x - 5 或 x - 3 = -5x + 5， -4x = -2 或 6x = 8， ∴ x1=，x2=。 方法技巧 解题关键： 若A2 = B2，则A = ± = ±B。 题型探究 【例1】解方程： ( 1 ) 16x2 = 0； ( 2 ) x2 - = 0。 直接开平方法解方程 题型一 解：( 1 ) x2 = 0， ∴ x1 = x2 = 0； ( 2 ) x2 - 8 = 0， x2 - 16 = 0， x2 = 16， ∴ x1 = 4，x2 = -4。 题型探究 直接开平方法解方程——含整体法 题型二 解：( 1 ) ( x + 6 )2 = 9， x + 6 = ±3， x = 3 或 x = -9， ∴ x1 = -3，x2 = -9； ( 2 ) 2x + 1 = ±7， 2x = 6 或 2x = -8， ∴ x1 = 3，x2 = -4。 【例2】解方程： ( 1 ) ( x + 6 )2 - 9 = 0； ( 2 ) ( 2x + 1 )2 = 49； 题型探究 直接开平方法解方程——含整体法 题型二 【例2】解方程： ( 3 ) ( x - 3 )2 = 16 ( 2x + 1 )2。 ( x - 3 )2 = [4 ( 2x + 1 )]2 = ( 8x + 4 )2， x - 3 = ± ( 8x + 4 )， x - 3 = 8x + 4 或 x - 3 = -8x - 4， -7x = 7 或 9x = -1， ∴ x1 = -1，x2 = 。 根据直接开平方法的使用情形求参 题型三 题型探究 【例3】 ( 1 ) 如果关于x的方程 ( x - 4)2 = m - 1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是_______； ( 2 ) 要使一元二次方程 ax2 + b = 0 有实数根，需满足条件______________。 解：( 1 ) 由题意可得：m - 1 ≥ 0，解得：m ≥ 1； ( 2 ) ∵一元二次方程ax2 + b = 0有实数根， ∴ax2 = -b，∴x2 = ( a ≠ 0 )， ∴a ≠ 0， ≥ 0 ，即a ≠ 0，ab ≤ 0。 m ≥ 1 a ≠ 0，ab ≤ 0 根据形如 x2 = a ( a ≥ 0 ) 的一元 二次方程的两根的结构特征求参 题型四 题型探究 【例4】 ( 1 ) 关于x的一元二次方程 x2 = a 的两个根是2m - 1和m - 5， 则m = _______； 解：( 1 ) ∵一元二次方程 x2 = a 的两个根互为相反数， ∴2m - 1 + m - 5 = 0，解得：m = 2； 2 根据形如 x2 = a ( a ≥ 0 ) 的一元 二次方程的两根的结构特征求参 题型四 题型探究 【例4】 ( 2 ) 若一元二次方程 ax2 = b ( ab > 0 ) 的两个根是2m + 1和m - 4， 则 = _______。 ( 2 ) ∵ax2 = b ( ab > 0 )，∴x2 = ， ∵一元二次方程 x2 = 的两个根互为相反数， ∴一元二次方程 ax2 = b ( ab > 0 ) 的两个根互为相反数， ∴2m + 1 + m - 4 = 0，解得：m = 1， ∴一元二次方程ax2 = b ( ab > 0 ) 的两个根是3和-3，∴ = 32 = 9。 9 课堂小结 直接开平方法的定义： 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 直接开平方法的使用情形： ① 形如 x2 = a ( a ≥ 0 ) 的一元二次方程的根为x1 = ，x2 = -； 这种形式下的两根互为相反数。 ② 若已知一元二次方程 ( mx + h )2 = k ( m ≠ 0，k ≥0 )， 则mx1 + h =，mx2 + h = -。 注意：等号左边是一个数或式的平方的形式， 而等号右边是一个非负数。 直接开平方法的实质： 通过降次，把一个一元二次方程转化为一元一次方程求解。 感谢聆听! $$