1.3 一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 1.3 一元二次方程的 根与系数的关系 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 探索一元二次方程的根与系数的关系及其逆用，并证明 掌握一元二次方程的根与系数的关系，并解决求值、求参等问题 知识回顾 1. 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式： 2. 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况： x = ( b2 - 4ac ≥ 0 ) ①当Δ > 0时，有两个不相等的实数根； ②当Δ = 0时，有两个相等的实数根； ③当Δ < 0时，方程无实数根。 新知探究 思 考 1. 完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？ x1 x2 x1 + x2 x1·x2 x2 -3x + 2 = 0 1 2 x2 + 3x + 2 = 0 -1 -2 x2 - 5x + 6 = 0 2 3 x2 + 5x + 6 = 0 -2 -3 x2 - 3x = 0 0 3 3 2 -3 2 5 6 -5 6 3 0 两根的和与一次项系数互为相反数 两根的积与常数项相等 新知探究 思 考 1. 完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？ 【猜想】 若x2 + px + q = 0的两个根是x1，x2，则x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。 新知探究 思 考 2. 方程2x2 - 5x - 3 = 0的两根是x1 = 3，x2 = ，这两根的和、两根的积与系数有什么关系？ x1 + x2 = ≠一次项系数-5 x1·x2 = ≠常数项-3 二次项系数是2，一次项系数是-5，常数项是-3， ( -5 ) ÷ 2 = ( -3 ) ÷ 2 = 解：两根的和与互为相反数，两根的积与相等。 新知探究 思 考 3. 求出方程3x2 - 7x + 4 = 0的解，再验证这个方程的根与系数是否有 2. 中发现的关系。 解：( 3x - 4 ) ( x - 1 )=0， 3x - 4 = 0或x - 1 = 0， ∴x1 = ，x2 = 1； x1+x2 x1·x2 ∴这个方程的根与系数有 2. 中发现的关系。 新知探究 【猜想】 若ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两个根是x1，x2，则x1 + x2 = ，x1·x2 = 。 证 明 【证明】 在ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )中，若Δ = b2 - 4ac ≥ 0， 则它的两个根是x1 = ，x2 =， ∴x1 +x2 = + = = ， x1·x2 = · = = = 。 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两个根是x1，x2，x1 + x2 = ，x1·x2 = 。 特别地，方程x2 + px + q = 0的两个根是x1，x2，x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。 注意：x1 + x2 = 中，的负号不要掉！ 使用前提： 方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的有两个实数根，即Δ = b2 - 4ac ≥ 0。 知识要点 典例分析 典例1 完成下列表格。 方法技巧 解题关键：直接用韦达定理 x1 + x2 = ，x1·x2 = 。 Δ = b2 - 4ac x1 + x2 x1·x2 x2 - 2x - 3 = 0 2x2 - x - 10 = 0 4x2 + 17x + 4 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0 x2 + 4x + 5 = 0 16 > 0 2 -3 81 > 0 -5 225 > 0 1 0 1 -4 < 0 × × 再次强调： 韦达定理的使用前提：Δ = b2 - 4ac ≥ 0 典例分析 典例2 完成下列表格。 x1 + x2 x1·x2 x12 + x22 |x1 - x2| x2 - 2x - 3 = 0 2 -3 2x2 - x - 10 = 0 -5 4x2 + 17x + 4 = 0 1 4x2 - 4x + 1 = 0 1 10 4 0 方法技巧 解题关键： 掌握常见的变形公式 x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1·x2， |x1 - x2| = ， …… 新知探究 与x1 + x2，x1·x2有关的常见变形公式： 知识要点 典例分析 典例3 已知ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两根之和5， 两根之积是6，则原方程可能为__________________。 解：∵ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两根之和5， 两根之积是6， ∴ = 5， = 6， ∴b = -5a，c = 6a， ∴原方程为ax2 - 5ax + 6a = 0 ( a ≠ 0 )， 即a (x2 - 5x + 6 ) = 0 ( a ≠ 0 )， 若取a = 1，则原方程为x2 - 5x + 6 = 0。 x2 - 5x + 6 = 0 方法技巧 解题关键： 若已知两根的和、两根的积， 则可先用韦达定理，将条件转化为系数之间的关系式，再进一步求解。 新知探究 韦达定理的逆用： 若一元二次方程的两个根x1，x2满足x1 + x2 = m，x1·x2 = n， 则这个方程可以记为a ( x2 - mx + n ) = 0 ( a ≠ 0 )。 知识要点 题型探究 【例1】关于x的一元二次方程5x2 - 4x + k = 0的一个根为1，则它的另一个根是________。 已知方程的一个根，求另一个根 题型一 此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理 解：设方程的另一个根为t， 由题意可得：1 + t = ，解得：t = 。 题型探究 求关于根的代数式的值—对称型 题型二 【例2】( 1 ) 已知a、b是一元二次方程2x2 + 3x - 4 = 0的两个根，那么ab2 + a2b的值是________； 解：( 1 ) ∵a、b是2x2 + 3x - 4 = 0的两个根， ∴a + b = ，ab = -2， ∴ab2 + a2b = ab ( a + b ) = -2 × ( ) = 3； 此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理 3 题型探究 求关于根的代数式的值—对称型 题型二 【例2】( 2 ) 已知实数a、b分别满足a2 - 6a + 4 = 0，b2 - 6b + 4 = 0，且a ≠ b， 则a2 + b2的值为（　　） A．36 B．50 C．28 D．25 ( 2 ) ∵a2 - 6a + 4 = 0，b2 - 6b + 4 = 0，且a ≠ b， ∴a、b可看作方程x2 - 6x + 4 = 0的两根， ∴a + b = 6，ab = 4， ∴a2 + b2 = ( a + b )2 - 2ab = 62 - 2 × 4 = 28。 C 题型探究 求关于根的代数式的值—非对称型 题型三 【例3】( 1 ) 已知方程x2 - 2x - 2 = 0的两根分别为x1，x2，则x12 - x22 + 4x2的值为________； 解：( 1 ) ∵x2 - 2x - 2 = 0的两根分别为x1，x2， ∴x1 + x2 = 2，x1·x2 = -2， ∴x12 - x22 + 4x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 - x2 ) + 4x2 = 2 ( x1 - x2 ) + 4x2 = 2 ( x1 + x2 ) = 4； 4 此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理 解题方法与策略： 先通过韦达定理代值将非对称型的代数式转化为对称型 题型探究 求关于根的代数式的值—非对称型 题型三 【例3】( 2 ) 若α、β为x2 + 2x - 4 = 0的两根，则a2 + αβ + 2α的值为________。 ( 2 ) ∵α、β为x2 + 2x - 4 = 0的两根， ∴α2 + 2α - 4 = 0，αβ = -4， ∴α2 = -2α + 4， ∴a2 + αβ + 2α = -2α + 4 + αβ + 2α = 4 + αβ = 4 + ( -4 ) = 0。 0 解题方法与策略： 先通过原方程式降次将非对称型的代数式转化为对称型 等式左边是二次，右边是一次，从左到右，可以达到“降次”的目的 题型探究 已知方程的两根，求参数 题型四 【例4】若关于x的方程2x2 + mx + n = 0的根是x1 = -1，x2 = 3，则m + n = ________。 解：根据根与系数的关系得： = -1 + 3， = -1 × 3， 解得：m = -4，n = -6， ∴m + n = -4 + ( -6 ) = -10。 此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理 -10 题型探究 已知方程两根的关系式，求参数 题型五 【例5】若关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数，则k =（　　） A．3 B．1 C．-1 D．±1 判断下列做法是否正确： 解：∵关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数， ∴x1·x2 = k2 = 1，解得：k = 1或k = -1。 两个条件： ①两个实数根 ②两根互为倒数 当k = 1时，方程为x2 + x + 1 = 0， ∵Δ = b2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0， ∴方程无实数根，与题意不符。 题型探究 已知方程两根的关系式，求参数 题型五 【例5】若关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数，则k =（　　） A．3 B．1 C．-1 D．±1 正解： ∵关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数， ∴Δ = ( 2 - k )2 - 4k2 ≥ 0，x1·x2 = k2 = 1， 解得：-2 ≤ k ≤ ，k = 1或k = -1， ∴k = -1。 C 题型探究 解题策略 题型四： 已知方程的两根，求参数 在确保 a ≠ 0 的前提下 此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理 题型五： 已知方程两根的关系式，求参数 必须列两个式子： ①两个实数根：Δ ≥ 0（或两个不相等的实数根：Δ>0） ②韦达定理表示的两根的关系式 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两个根是x1，x2，x1 + x2 = ，x1·x2 = 。 特别地，方程x2 + px + q = 0的两个根是x1，x2，x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。 注意：x1 + x2 = 中，的负号不要掉！ 使用前提： 方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的有两个实数根，即Δ = b2 - 4ac ≥ 0。 课堂小结 感谢聆听! $$