第1章 应用技巧专题 解直角三角形与特殊几何图形的综合应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

应用技巧专题 解直角三角形与特殊几何图形的综合应用 题型① 解直角三角形与特殊三角形的综合 (2)当OB从水平状态旋转到OB'(CO延长 应用 线上)时，点E绕点F随之旋转至OB'上的 1.(2025武汉模拟)图①是一种折叠式晾衣架. 点E处，求B'E'一BE的值. 晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后的示意 图如图②所示，两支脚OC=OD=10dm,展 开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB= 10dm,晾衣臂支架GH=EF=6dm,且 HO=FO=4dm(参考数据：5≈1.73). D水平地面 图① 图2 (1)当∠AOC=90时，求点A离地面的距离 AM(结果精确到0.1dm). 2.一题多解法今年五一劳动节假期期间，小 陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在 如图①所示的椅子上休息时，小陈感觉很舒 服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出 个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根 据测量结果画出了图①的示意图（图②）.在 图②中，已知四边形ABCD是平行四边形， 座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰 三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°，靠背 20 九年级数学BS版 FC=57cm,支架AN=43cm,扶手的一部 续表 分BE=16.4cm.这时她问小余同学，你能 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座 算出靠背顶端点F距地面(MN)的高度是 的底面为矩形ABCD,其示意图如下： 多少吗？请你帮小余同学算出结果（结果保 模型 留一位小数，参考数据：sin65.8°≈0.91， 抽象 cos65.8°≈0.41，tan65.8°≈2.23). 活 ①在水池外取一点E,使得点C,B,E 动 在同一条直线上： 图① 图② 过 ②过，点E作GH⊥CE,并沿EH方向 盈 测绘 前进到点F,用皮尺测得EF的长为 过程 4m: 与数 ③在点F处用测角仪测得∠CFG= 据信 60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8: 息 ①用计算器计算得sin60.3°≈0.87， cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75， sin21,8°≈0.37，cos21.8°≈0.93， tan21.8°≈0.40 请根据表格中提供的信息，解决下列问题 (结果保留整数)： (1)求线段CE和BC的长度， (2)求底座的底面ABCD的面积。 题型② 解直角三角形与特殊四边形的综合 应用 3.项目式学习某数学研究性学习小组在老师 的指导下，利用课余时间进行测量活动。 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 下册第一章 21△7.解：如图，过点E作EH⊥AB,垂足为H. 由题意，得EH=FB,EF=BH=1,6m 设EH-FB=xm, 在R1△AEH中，∠AEH=26.6°， ,AH=EH·tan26.6°0.50xm, ∴.AB=AH+BH=(0.50.x+1.6)m ,CD⊥FB,AB⊥FB,∴.∠CDF=∠ABF=90 又，∠CFD=∠AFB, △CDFABE,÷器器 常华AB-子 3 2=0.50r+1.6dr=6.4AB=子=48m 3 该址观灯的高AB约为4,8m, 8.解：(1)76 (2)3.8 (3)如图，延长AE交PB的延长线于点K, 由(2)可知，KE-3.8m. 设AE=xm.则AK=(x十3.8)m ∠P=45,PK-AK. PQ=4, .KQ=x+3.8-4=(x-0.2)m. :tan∠AQK= AK KQ =tan60=√5. 十38 8+5 x-0.2 =尽，解得x= 5.7. 5-1 故旗杆AE的高度约为5.7m 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：(1)如图，过点O分别作OP⊥CD于点P,OQ⊥AM于 点Q. .'AM⊥CD,∴.∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， ∴.四边形OQMP是矩形，.QMOP .OC=OD=10dm.∠COD=60°， ∴△COD是等边三角形. 1 0P⊥CD.÷∠CoP=z∠coD=30 .QM=OP=OC·cos30°=53dm ∠AOC=∠QOP=90°. ·∠AC-∠CQ=∠QP-∠COQ,即∠AOQ=∠COP- A-5 dm.5 13.7(dm. 故点A离地面的距离AM约为13.7dm D水平地面 (2)如图，过点F分别作FK⊥OB于点K,FJ⊥OC于点J. 由(1).得△COD是等边三角形，∠ODC=60°. OBCD,.∠BOD=∠ODC=6o. 8 九年级数学BS版 在R1△OFK中，OK=OF·cos60°-2dm.FK=OF, sin60°=2/3dm. 在R△FKE中，EK=EF-FK=√6-(25)F 26(dm).∴.BE=OB-OK-KE=10-2-26=(8- 2√6)dm. 在Rt△OF】中，OJ=OF·cos60°=2dm,FJ=OF·sin6o =25dm. 在Rt△FJE中，E'J=EF一F下=6-(2)产 2√6(dm),.B'E'=OB'-(EJ-OJ)=10-(26-2)= (12-26)dm,.BE'-BE=12-26-(8-26) =4(dm). 故BE'-一BE的值为4dm. 2.解：如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q 四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=F: 114.2°，∴∠FCQ=∠CBH=180°- 114.2°=65.8°. :FC=5?cm,.FQ=FC·sin∠FQ= 57sin65.8°cm. 过点A作AP⊥MN于点P,由题意知AB ∥CDMN,FC∥AN. .∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8° 又：AN=43cm, ∴.AP=AN·sin∠ANP=43sin65.8°cm 过点C作CH⊥AB于点H. BC=CE.BE-16.4 cm. ∴.BH=8.2cm, ∴.CH=BH·tan∠CBH=8.2tan65.8°cm, .靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FQ+AP一HC 57sin65.8°+43sin65.8°-8.2tan65.8°100×0.91-8.2X 2.23≈72.7(cm. ◆一题多解法《 如图，过点F作FQ⊥DC交DC的F: 延长线于点Q,过点C作CH⊥AB 于点H,延长AB交FQ于点S. BC=CE.BE=16.4 cm...BH= 8.2cm. 又：ABCD. ·∠FCQ=∠HBC=180°-114.2 =65.8°， cosZHBC心FS=FB·sin∠FBS=FB. BH ∴.BC= sim∠HBC=(57- 5.F）×n65,8-(57sin65.8- 8.2 8,2sin65.8 cos65.8°/cm. 过点A作AP⊥MN于点P.由题意知AB∥CD∥ MN,FC∥AN, ∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8°. 又：AN=43cm, ∴AP=AN·sin∠ANP=43sin65.8°cm, ∴.靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FS+AP= 57sin65.8°-8.2tnn65.8°+43sin65.8°=100sin65.8 -8.2tan65.8°≈100×0.91-8.2×2.2372.7(cm). 3.解：(1)在Rt△CEF中，EF=4m,∠CFE=60.3, ∴.CE=EF·tan60.3°4X1.75=7(m). 在R△BEF中，EF=4m.∠BFE=45 .BE=EF-4 m. ∴BC=CE-BE≈7-4=3(m). 做CE的长度约为7m,BC的长度约为3m. (2)如图，过点A作AM⊥GH于点M, 则四边形ABEM是矩形， ..AM=BE=4 m. 在Rt△AMF中，∠AFM=21.8°. AM 4 MF-nn21,g*0.0-1om, ..ME=MF-EF&10-4=6(m). .AB=ME=6 m. .SBACD=AB.BC=6X3=18(m). 故底座的底面ABCD的面积约为18m. 易错重难专练 1.D② 2.解：由a=13,b=12,c=5.得a2=62+c2, ·.△ABC为直角三角形，且∠A为直角， 3.解：分两种情况讨论：①如图①，过点C作CDLAB于点D, 则AD=40cos30=20,5(cem.CD=号×40=20(cm. ∴.DB=/25-20=15(cm) 六△ABC的面积为号×20X(20万+15)-(20万十 l50)cm2: 图QD 图2 ②如图②.过点C作CD⊥AB于点D,则AD=40os30”= 20/B(cm).CD-z×40=20(cm). ∴.DB=/25-20=15(cm). 六△ABC的面积为Z×20×(205-15)=(2005- 150)cm2. 综上，△ABC的面积为(200√5+150)cm或(2005-150)cm. 4.解：，x=sinA是方程5x2一14.x十8=0的一个根， ..5sin'A-14sinA+8=0. 解得sinA-5或sinA-2, 又0<sinA<1, &imM=子 5.A【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4, ·∠A=∠B, 由折叠的性质，得△AEF2△DEF, ∴∠EDF=∠A,DE=AE=3. .∠EDF=∠B :∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B =180. .∠CDE=∠BFD AE=3,.CE=4-3=1, :在R△ECD中，sin∠CDE-症=了 CE 1 1 .sin∠BFD=3 6.B【解析】如图，连接DB,过点D作 DH⊥ON于点H. 由题意可知，∠AOD=∠D)E,OA =OB. AD/ON,∴.∠ADO=∠DOE. ∴.∠AOD=∠ADO,∴.AO=AD, ∴AD=OB.ADOB.∴.四边形AOBD是菱形 :.OB=BD=0A=10.BD//OA. ∴.∠MON=∠DBE,∠BOD=∠BLDO. DE⊥OD, ∴.∠BOD+∠DO=90°，∠BDO+∠BDE=90°， .∠BDE=∠DEO,.BD=BE=10, ..OE=0B+BE=20. .0D=OE-DE=/20-12=16. DH LOE.'.DH-OD DE_16X12_8 OE 20 5 48 DH524 sim∠MON=sin∠DBH=BDo-25 7.33【解析】如图，过点P作PQ⊥ AD,交AD延长线于点Q 四边形ABCD是平行四边形， ∴.ABCD,.∠PDQ=∠A=60° PQ=∠P0·Pm-号pD, 当B.P,Q三点共线时，PB+PD最小 此时PB+号PD-BQ=AB·sn∠A-6×号 2 35 8.B【解析】如图，过点P作PC⊥x轴于点C 0L:轴0/PC部兴， AB:BP=5:4.OC=a.PC=a. A0- .tan∠PAO PC 4 4 g解，DE1C,垂是为EimC-器-子：CD- ，CB=言BE=10-卡，：F是BD的中 DE=3 4 点8=5m-(10-专·，化简，得y- 10.解：(1)如图①，过点D作DQ⊥ PE,垂足为Q. 由题意可知，∠ADC=45,PE 1.2m,QE=0.2m. 在Rt△PDQ中，∠PDQ=4S PQ=1.2-0.2=1(m). ..DQ=PQ=1m: 因① 下册参考答案 9