第1章 教材变式专题 构造直角三角形解决问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

教材变式专题 构造直角三角形解决问题 【例】（教材第27页题20）一块四边形空地如 A.h=h2 B.h<h2 下图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m). C.h>h2 D.以上都有可能 2.如右图，在一次课外实践活C 30m 50m 动中，同学们要测量某公园 60 60° 人工湖两侧A,B两个凉亭 50m 20m 之间的距离.现测得AC=30m,BC=70m, 【解】如图，连接BD,作DE⊥AB于点E, ∠CAB=120°.请计算A,B两个凉亭之间 作BF⊥CD于点F 的距离 D 30m 50m F 60 609>c 50m 20m ,∠A=∠C=60°，∴.DE=30·sin60 =155(m),BF=20·sin60°=105(m), 六Sg边形CD=S△ABD十S△DBC=2AB·DE十 号CD·BF=号×50×155+号×50X105 3.如右图，一滑板运动场斜 坡上的点A处竖直立着一 ≈1082.53(m2). 根旗杆，旗杆在其点B处 【方法指导】锐角三角函数是在直角三角 折断，旗杆顶部落在斜坡 形中定义的，解直角三角形的前捉是在直角三 30 上的点C处，AC=2√3m,折断部分与斜坡 角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意 的夹角∠BCA为75°，斜坡与水平地面的夹 观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直 角三角形来解.一般在遇到有直角而没有三角 角为30°.求旗杆原来的高度(2≈1.4,5≈ 形时，通常连接两个定点或延长两条边相交于 1.7,结果精确到1m). 一点构造直角三角形.遇见无直角、无等角涉 及三角函数时，通常作高得到直角三角形 变式⑦无直角、无等角三角形作高 1.如图，△ABC底边BC上的高为h1,△PQR 底边QR上的高为h2,则 1259 第1题周 12 九年级数学BS版 变式②有直角、无三角形连接顶点或延长边 6.(2025烟台期中)图①是某浴室花洒的侧面示 4.图①是世界第一“大碗”一景德镇昌南里 意图，已知活动调节点B(可以上下调整高度) 文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于 离地面CD的初始距离BC-160cm.设花洒臂 宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母” 与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度， 如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体AB 且花洒臂长AB=30cm.假设水柱AE垂直 CD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF, AB直线喷射，小华在离墙面120cm处淋浴. AM,DN是太阳光线，AM⊥MN,DNI MN,点M,E,F,N在同一条直线上.经测量 ME=FN 20.0 m,EF =40.0 m,BE 160cm 160cm 2.4m,∠ABE=152°，则“大碗”的高度AM 120cm 120cm D DE 的长为 m(结果精确到0.1m, 图① 图② 参考数据：sin62°≈0.88，c0s62°≈0.47， (1)当a=30°时，水柱正好落在小华的头顶 tan62°≈1.88). 上，求小华的身高DE 太阳光线 (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE,使 点E与点D重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点B向下移动. 移动的距离BF与小华的身高DE之间有什么 图 图2 第4题图 数量关系？请直接写出你的结论： 5.一题多解法如下图，一块四边形土地AC ②活动调节点B不动，只要调整a的大小， DB,其中∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥ 如图②，试求α的度数.（结果保留一位小数， CD,AB=305m,CD=505m.求这块土 参考数据：5≈1.73，sin8.6≈0.15，sin36.9°≈ 地的面积（结果保留根号） 0.60,tan36.9°≈0.75) 下册第一章 3△又：∠BAM=75°，.∠BAC=180°-75-60°=45°. 由题意知，∠NBC=15°，∠NBA=75°， .∠ABC=75-15=60, AC BC 在△ABC中，Sn∠ABC-sinZBAC BC=AC·sin∠BAC_8×sin45 sin∠ABC sin60 __8/6ckm). 2 故乙船航行的路程为 3 km. 教材变式专题构造直角三角形解决问题 1,A【解析】如图①、图②，分别过点A,P作AD⊥BC于点 D,PHLQR交QR的延长线于点H,则h1=5sin55°，h:= 5sin(180°-125)=5sin55°.∴h,=h2. 5 1259 图① 图2 2.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. ,∠CAB=120°， 70 .∠CAD=60 301209 在Rt△ADC中，CD=AC·sin60°=30 =155(m), AD=AC·os60'=30×z=15(m. 在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=/70-(15J5)= /4225=65(m), .AB=BD-AD=65-15=50(m). 故A,B两个凉亭之间的距离为50m. 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 由题意可知，∠DCA=30°，.AD= AC=E,CD=AC·os30-2B× 1 23 ∠BCA=75, .∠BCD=75-30°=45°. :.CD=BD=3...AB=AD+BD=3+3.BC=3. .AB+BC=3+5+323+1.7+3×1.4≈9. 故旗杆原来的高度约为9m. 4.40.0【解析】延长EB交AD于点H,如图. AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN. ,四边形AMND是矩形 ,四边形BEFC为矩形 .EH⊥AD, 四边形AMEH为矩形..AM=EH AH-ME. :∠ABE=152°， ∴.∠ABH=180°-∠ABE=28°， .∠HAB=90-28°=62°， 器-g1 ∴.BH=20.0×1.8837.6(m), .∴.AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m), 故“大碗”的高度AM的长约为40.0m 5.解：如图，延长CA,DB交于点P, ∠ABD=120°.AB⊥AC,BD⊥CD .∠C=60°，∠PBA=60. 在△CDP中mC-器。 .PD=CD·tanC=503X3=150(m). 在R△PAB中，m∠PBA-器 .PA=AB·tan∠PBA-30X5=90(m), Ssw=5Am-SaPn三X50万×150一 1-2 305×90=24005(m). 故这块土地的面积为2400/5m. ◆一题多解法《 如图，过点A作AE⊥DB,交DB 的延长线于点E,作AF⊥CD于 点F, :∠ABD=120°，·∠ABE=60°， ∴.∠BAE=30 AB=305m,.AE=AB·sim∠ABE=45m, BE=AB·sin∠BAE=153m. 由题意可知，四边形AEDF为矩形， ∴.FD=AE=45m. ∴.CF=CD-FD=(503-45)m ,AB⊥AC.BD⊥CD,∠ABD=120°， ∴.∠ACD=60°， .AF=CF·tan∠ACD=(150-455)m, 1 六S边51ns=Sa带E一S△能=之X(45十50B) ×150-45,5)-×155×45=24005(m). 故这块土地的面积为2400m 6.解：(1)如图①，过点A作AG⊥CB交延 长线于点G,交DE的延长线于点H. '∠C=∠D=90°， .四边形GCDH为矩形， 160m .GH=CD=120 cm.DH=CG,/H= 120cm 90°.在Rt△ABG中，∠ABG=a=30°， AB=30 cm, 图①D .AG=15 cm,BG=15/3 cm. ∴.AH=120-15=105(cm). ,AE⊥AB, .∠EAH=30 又，∠H=90°. ,∴.EH-AH·tan30°-35Ecm ..DE=DH-HE=BC+BG-HE=160+153-35 125.4(cm). (2)①BF=DE ②如图②，连接BD.在R△BCD中， BD=√C+CD=200cm, 5 下册参考答案 129=0.6 ÷sin∠1-200 .∠1￥36.9° 在R1△BAD中，AB=30cm 160c AB 30 六in∠2=元20=0.15， 120cm D(E) ∠2s8.6°， 图2 .∠3=90°-8.6°=81.4°， .a=180°-∠1-∠3=180°-36.9°- 81.4°=61.7 【解析】(2)①如图③，由平移的性质可知， AB=A'F,AB∥AF, 160 em ·四边形ABFA'为平行四边形. F120 cm ..BF=AA'. 同理可得，四边形AEDA'为平行四边形 图) ..DE-AA'..BF-DE. 5三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.105 2.解：如图，过点P作PC⊥AB,垂足为C 由题意可知，∠A=∠1=37”，∠B=∠2=45， 在Rt△APC中，∠A=37,AP 37 =100 n mile, .PC=AP·sin4=100Xsin37"≈100×0.60 =60(n mile), AC=AP·cosA=100Xcos37≈100×0.80= 80(n mile). 在Rt△PBC中，，'∠B=45..BC=PC=60 n mile ..AB=AC+BC=80+60=140(n mile). 故B处距离A处约140 n mile. 3.D 变式题(2+1)【解析】如图，过点A B作BE⊥AD,交AD于点E,则 ∠AEB=∠DEB=90°. 由题意，得∠A=90°一60°=30 在R1△AEB中，BE=AB·sinA=4X =2(km).AE= AB·c0sA=4X2 =25(km) 在R1△BDE中，∠EBD=45,∴.DE=BE=2km AD=DE+AE=(2+23)km, ,.CD=AD-AC=2+23-1=(25+1)km. 4.解：：点A,B均在点C的北偏东37方向上，点A在点D的 正北方向，且点D在点C的正东方向， .△ACD是直角三角形， ∴.∠BCD=90°-37°=53° ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37 在R1△ACD中， CD =sinA,CD=90 m. Ac-品8-10m :∠CDA=90°.∠BDA=53°， ,∴.∠BDC=90°-53°=37°， ,.∠BCD+∠BDC=37+53°=90 ∴∠CBD=9O°，即△BCD是直角三角形， 6 九年级数学BS版 %-∠BC .BC=CD·sin∠BDC≈90×0.60=54(m》, .AB=AC-BC=150-54=96(m) 故A,B两点间的距离约为96m, 5.D【解析】如图，过点O作OM⊥ BC于点M,ON⊥AC于点N. AC⊥BC..四边形ONCM为 矩形，.ON=MC,OM=NC.设 OM=x,则NC=x.AN=840- x,在R△ANO中，∠OAN=45, ∴.ON=AN=840-x,∴.MC=ON=840-x.在Rt△BOM OM 中.BM an∠0B*1.BC-500m840-x+2 =500.解得x=480,即点(O到BC的距离约为480m. 6.解：如图，过点C作CH⊥AB于 点H. CAB-45".AC-30 n mile, 45 ∴.AH=CH=AC·sin45= 15/厄n mile. 由题意，得∠CBH=60° 2.BC-CH10/(n mile). sin60 2 由题意得∠HCD=60°，∠HCB=30°，.∠BCD=30. 又：∠CBD=30°+60°=90°. ,在R1△CBD中，CD= BC106 c0s30 =20√2(n mile). 2 故C,D间的距离为20反n mile. 7,解：(1)如图，过点D作DF⊥ D EA,垂足为F. 易得四边形ABCF是矩形， .∴.AF=BC=10km. 在Rt△ADF中，∠DAF=45 AD=AF 10 0s45° ≈14(km), E 2 ∴.AD的长度约为14km (2)在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAF=45°，AF=10km. .DF=AF=10 km. 在R△ABE中.∠ABE=90°-60°=30°.：AB=CF=DF +CD=24km,AE=AB.an30=24×5=85(km). 3 ∴.EB=2AE=2X85=163(km). 按路线①A一D一C一B锻炼的路程为AD+DC+CB=14 +14+10=38(km), 按路线②A一E一B银炼的路程为AE+EB=85+165= 42(km). :38km<42km,∴.小明应该选择线路①， 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.A 23【得折】在R△D中，m∠BDC器 .BC=CD·tan∠BDC=101an45=10X1=10(m).