2.3 有理数的乘除运算课件 2025-2026学年 北师大版七年级数学上册

第二章　有理数及其运算 　3 有理数的乘除运算 第二章　有理数及其运算 　有理数的乘法（1） （预习教材P49～P50，完成以下练习） 甲平均每月增重2 kg，乙平均每月减重2 kg，规定增重记为正，减重记为 负，则3个月后，甲体重的变化量列式计算为2＋2＋2＝2×3＝6（kg）， 乙体重的变化量列式计算为 ⁠ ⁠. 思考：（－2）×（－3）的结果是多少？ 注：反用乘法对加法的分配律.（－2）×（－3）＋（－2）×3＝（－ 2）×[（－3）＋3]＝－2×0＝0. 而（－2）×3＝－6，因此（－2）×（－3）＝6. （－2）＋（－2）＋（－2）＝（－2）×3 ＝－6（kg）　 预习导学 有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 ⁠ 相乘. 任何数与0相乘，积仍为 ⁠. 正　 负　 绝 对值　 0　 预习导学 知识点1　有理数的乘法 【例1】计算： （1）（－3）×9＝ ；　　（2）8×（－1）＝ ；　　　　 （3）（－0.5）×（－8）＝ ⁠. 【变式1】计算： （1）6×（－9）＝ ⁠； （2）（－5）×（－4）＝ ⁠； （3）2.5×（－4）＝ ⁠. －27　 －8　 4 　 －54　 20　 －10　 课堂导学 （1） ×（－12）； 解：（1）原式＝－ ＝－10. （2） × ； 解：（2）原式＝ × ＝4. （3）（－2.5）× . 解：（3）原式＝－ ＝－ . 解：（1）原式＝－ ＝－10. 解：（2）原式＝ × ＝4. 解：（3）原式＝－ ＝－ . 【例2】计算： 课堂导学 （1） × ； 解：（1）原式＝－ ＝－ . （2） ×（－0.1）； 解：（2）原式＝ × ＝ . （3）（－0.25）× . 解：（3）原式＝ × ＝ . 解：（1）原式＝－ ＝－ . 解：（2）原式＝ × ＝ . 解：（3）原式＝ × ＝ . 【变式2】计算： 课堂导学 知识点2　有理数的倒数 【例3】填空： （1） ×（－2）＝ ⁠； （2） × ＝ ⁠； （3）1 × ＝ ⁠. 注意：乘积是 的两个数互为倒数，0没有倒数. 1　 1　 1　 1　 课堂导学 【变式3】填空： （1）－1的倒数是 ，－ 的倒数是 ，7的倒数是 　 　； （2）－1 的倒数是 　　－ 　，－0.3的倒数是 　－ 　. －1　 －3　 　 － 　 － 　 课堂导学 知识点3　有理数的乘法的实际应用 【例4】上午8：00水箱内的水温为90 ℃，以后每小时下降2.5 ℃.求： （1）到下午2：00时水箱内的水温的变化量； 解：（1）上午8：00到下午2：00，经过了14－8＝6（h）. （－2.5）×6＝－15（℃）. 答：到下午2：00时水箱内的水温的变化量为－15 ℃. （2）下午2：00时水箱内的水温. 解：（2）90－15＝75（℃）. 答：到下午2：00时水箱内的水温为75 ℃. 解：（1）上午8：00到下午2：00，经过了14－8＝6（h）. （－2.5）×6＝－15（℃）. 答：到下午2：00时水箱内的水温的变化量为－15 ℃. 解：（2）90－15＝75（℃）. 答：到下午2：00时水箱内的水温为75 ℃. 课堂导学 【变式4】（北师教材P56T8节选）某地气象统计资料表明，海拔每增加 1 000 m，气温就降低大约6 ℃.现在地面气温是 37 ℃，则10 000 m高空 的气温大约是多少？ 解：37－ ×6＝－23（℃）. 答：10 000 m高空的气温大约是－23 ℃. 课堂归纳： 1. 有理数的乘法计算步骤：（1）定符号；（2）定绝对值. 2. 互为倒数的两个数的符号一定相同.如：2和 ，－ 和－ . 解：37－ ×6＝－23（℃）. 答：10 000 m高空的气温大约是－23 ℃. 课堂导学 1.3的倒数是（　A　） A. B. 3 C. ±3 D. －3 2. 下列运算结果为负值的是（　B　） A. （－3）×（－4） B. （－5）×3 C. （－2）×0 D. 7×8 3. （易错）倒数等于它本身的数是（　C　） A. 1 B. －1 C. 1，－1 D. 0，1，－1 A B C 课堂评价 4. 填空：0× ＝ ，（－3）× 　 　＝1，－3×0.3＝ ⁠ ， × ＝ 　 　. 5. 若ab＞0，则一定有（　D　） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＜0 C. a＜0，b＞0 D. a与b同号 0　 　 － 0.9 　 D 课堂评价 6. 计算： （1）－ × ；　　　　　　　　　　 解：（1）原式＝ × ＝ . （2）｜－1.5｜× . 解：（2）原式＝ × ＝－ ＝－ . 7. 若a，b互为倒数，c的绝对值为2，则 ab－c的值为 ⁠. 解：（1）原式＝ × ＝ . 解：（2）原式＝ × ＝－ ＝－ . －1或3　 课堂评价 8. 小卓有5张写着不同数字的卡片如图所示，他想从中取出2张卡片. （1）使数字的积最小，应如何抽取？最小积是多少？ 解：（1）抽取－8，＋6这2张卡片时，其乘积最小， ∴最小的乘积是－8×6＝－48. （2）使数字的积最大，应如何抽取？最大积是多少？ 解：（2）抽取－8，－4.5这2张卡片时，其乘积最大， ∴最大的乘积是－8×（－4.5）＝36. 解：（1）抽取－8，＋6这2张卡片时，其乘积最小， ∴最小的乘积是－8×6＝－48. 解：（2）抽取－8，－4.5这2张卡片时，其乘积最大， ∴最大的乘积是－8×（－4.5）＝36. 课堂评价 第二章　有理数及其运算 　有理数的乘法（2） （预习教材P50～P52，完成以下练习） 乘法运算律 举例验证 字母表示 乘法交换律 2×（－5） （－5）×2 ab＝ba 乘法结合律 [3×（－5）]×2 3×[（－5） ×2] （ab）c＝ ⁠ ⁠ 乘法对加法 的分配律 5×[2＋（－1）] 5×2＋5× （－1） a（b＋c） ＝ ⁠ ＝　 ＝　 a （bc）　 ＝　 ab＋ac　 预习导学 知识点1　有理数的乘法运算律——交换律和结合律 【例1】计算：（－85）×（－25）×（－4）. 解：原式＝ （－85）×[（－25）×（－4）] ＝（－85）×100 ＝－8 500. 【变式1】计算： ×15× . 解：原式＝ × ×15 ＝15. 解：原式＝ （－85）×[（－25）×（－4）] ＝（－85）×100 ＝－8 500. 解：原式＝ × ×15 ＝15. 课堂导学 知识点2　有理数的乘法运算律——乘法对加法的分配律 【例2】计算：（－12）× . 解：原式＝（－12）× ＋（－12）× －（－12）× ＝－3－2＋6 ＝1. 【变式2】计算： ×（－24）. 解：原式＝ ×（－24）－ ×（－24）＋ ×（－24） ＝－16＋20－9 ＝－5. 解：原式＝（－12）× ＋（－12）× －（－12）× ＝－3－2＋6 ＝1. 解：原式＝ ×（－24）－ ×（－24）＋ ×（－24） ＝－16＋20－9 ＝－5. 课堂导学 知识点3　多个有理数相乘（先定符号，再定绝对值） 探究： （1）2×3×4×（－5）＝ ，2×3×（－4）×（－5） ＝ ⁠； （2）2×（－3）×（－4）×（－5）＝ ，（－2）×（－3） ×（－4）×（－5）＝ ⁠； （3）（－2）×3×0×（－4）×5×7×（－8）＝ ⁠. 发现：几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是 数；负 因数的个数是奇数时，积是 数（简记：奇负偶正）.几个数相乘， 如果其中有因数为0，则积为 ⁠. －120　 120　 －120　 120　 0　 正　 负　 0　 课堂导学 【例3】计算：（－5）×8×（－7）×（－0.25）. 解：原式＝－5×7×（8×0.25） ＝－35×2 ＝－70. 【变式3】计算： × ×6× . 解：原式＝ × ×6× ＝ . 解：原式＝－5×7×（8×0.25） ＝－35×2 ＝－70. 解：原式＝ × ×6× ＝ . 课堂导学 1. 下列各式中，积为负数的是（　D　） A. （－5）×（－2）×3 B. （－5）×（－2）×｜－3｜ C. （－5）×0×7 D. （－5）×（－2）×（－3） 2. 绝对值小于4的所有整数的和为 ，所有整数的积为 ⁠. 3. 有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，则abc 0， abcd 0.（填“＞”“＜”或“＝”） D 0　 0　 ＞　 ＞　 课堂评价 4. 用简便方法计算： （1）（－8）× ×（－1.25）× ；　　　　 解：（1）原式＝－8×1.25× ＝－10× ＝－ . 解：（1）原式＝－8×1.25× ＝－10× ＝－ . 课堂评价 （2） ×（－48）. 解：（2）原式＝1 ×（－48）－ ×（－48）－ ×（－48） ＝－50＋36＋6 ＝－8. 解：（2）原式＝1 ×（－48）－ ×（－48）－ ×（－48） ＝－50＋36＋6 ＝－8. 课堂评价 5. 如图，是一个简单的数值运算程序： 若输入的数值x为 ，列式计算输出的结果. 解：依题意，得 × × × ＝ × ＝ × ＝ ，故输出结果为 . 解：依题意，得 × × × ＝ × ＝ × ＝ ，故输出结果为 . 课堂评价 6. （新运算问题）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝2ab， 如2*3＝2×2×3＝12. （1）求3*（－5）的值； 解：（1）3*（－5）＝2×3×（－5）＝－30. （2）求（－2）*（－4*3）的值. 解：（2）（－2）*（－4*3）＝（－2）*[2×（－4）×3]＝（－2）* （－24）＝2×（－2）×（－24）＝96. 解：（1）3*（－5）＝2×3×（－5）＝－30. 解：（2）（－2）*（－4*3）＝（－2）*[2×（－4）×3]＝（－2）* （－24）＝2×（－2）×（－24）＝96. 课堂评价 7. （中考热点·创意计算）如图是一个“乘法迷宫”游戏，需要选择一条 路线从入口走到出口，当走到出口时，将经过的每个数字相乘，如果结 果大于8，则游戏过关.请你找出一条过关的路线并求得最终出口的结果. 解：（答案不唯一）∵2×（－3）× ×（－4）×（－5）＝20，且 20＞8， ∴路线2，－3，－ ，－4，－5能过关. 解：（答案不唯一）∵2×（－3）× × （－4）×（－5）＝20，且20＞8， ∴路线2，－3，－ ，－4，－5能过关. 课堂评价 第二章　有理数及其运算 　有理数的除法 （预习教材P52～P54，完成以下练习） 如何计算6÷（－2）？因为（－2）×（－3）＝6，所以6÷（－2） ＝ ⁠. 根据除法是乘法的逆运算填空： （－18）÷（－6）＝ ，（－10）÷5＝ ⁠. 有理数的除法法则1：两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝 对值 .0除以任何非0的数都得 ⁠. 注意：0不能作除数. －3　 3　 －2　 正　 负　 相除　 0　 预习导学 知识点1　有理数的除法法则1 【例1】（北师教材P53例4改编）计算： （1）（－20）÷4＝ ，18÷（－6）＝ ，0÷（－10） ＝ ，（－4）÷（－8）＝ ⁠； （2）12÷ ；　　　　　　 解：（2）原式＝－ ＝－36. －5　 －3　 0　 　 解：（2）原式＝－ ＝－36. 课堂导学 （3）（－0.75）÷（－0.25）；　　　 解：（3）原式＝0.75÷0.25 ＝3. （4）（－2.5）÷1 . 解：（4）原式＝－ ＝－ . 解：（3）原式＝0.75÷0.25 ＝3. 解：（4）原式＝－ ＝－ . 课堂导学 【变式1】（北师教材P54T1改编）计算： （1）（－63）÷（－7）＝ ，1÷（－0.2）＝ ，（－2） ÷6＝ 　－ 　，（－4）÷ ＝ ⁠； （2） ÷ ；　　　　 解：（2）原式＝－ ＝－ . 9　 －5　 － 　 8　 解：（2）原式＝－ ＝－ . 课堂导学 （3）（－1）÷（－1.5）； 解：（3）原式＝1÷1.5 ＝ . （4）（－14）÷3 ÷（－10）. 解：（4）原式＝－ ÷（－10） ＝（－4）÷（－10） ＝4÷10 ＝ . 解：（3）原式＝1÷1.5 ＝ . 解：（4）原式＝－ ÷（－10） ＝（－4）÷（－10） ＝4÷10 ＝ . 课堂导学 知识点2　有理数的除法法则2 比较下列各组数的计算结果，你能得到什么结论？请用文字描写出来. （1）1÷ ＝ 　－ 　，1× ＝ 　－ 　；　　　 （2） ÷（－2）＝ 　－ 　， × ＝ 　－ 　. 有理数的除法法则2：除以一个数等于 ，即a÷b＝ a× ，除法统一成乘法. － 　 － 　 － 　 － 　 乘这个数的倒数　 　 课堂导学 （1）（－18）÷ ；　　　　　 解：（1）原式＝（－18）× ＝18× ＝12. （2）0.8÷ ；　　　　　　 解：（2）原式＝0.8×（－5） ＝－0.8×5 ＝－4. 解：（1）原式＝（－18）× ＝18× ＝12. 解：（2）原式＝0.8×（－5） ＝－0.8×5 ＝－4. 【例2】（北师教材P54例5改编）计算： 课堂导学 （3）（－2.5）÷ ÷（－4）. 解：（3）原式＝（－2.5）× × ＝1. 1）原式＝－42× ＝－ . 解：（3）原式＝（－2.5）× × ＝1. 课堂导学 【变式2】计算： （1）－42÷12；　　　　 解：（1）原式＝－42× ＝－ . 解：（1）原式＝－42× ＝－ . （2） ÷ ；　　　　 解：（2）原式＝ × ＝ × 解：（2）原式＝ × ＝ × ＝2. 课堂导学 （3） × ÷（－0.25）. 解：（3）原式＝ × ×（－4） ＝－ . 解：（3）原式＝ × ×（－4） ＝－ . 课堂导学 1. 计算：（－9）÷ ＝ ；16÷（－5）＝ 　－ 　. 2. （易错）若a＋b＝0，则 的值是（　D　） A. －1 B. 0 C. 无意义 D. －1或无意义 3. 两个不为零的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么 （　D　） A. 两数相等 B. 两数互为相反数 C. 两数互为倒数 D. 两数相等或互为相反数 －18　 － 　 D D 课堂评价 4. （多维原创）a，b在数轴上表示如下： 则下列说法正确的是 .（填序号） ①｜a｜＜｜b｜；②a＋b＜0；③a－b＞0；④ab＞0；⑤ ＜0. ②⑤　 课堂评价 5. （北师教材P54T1节选）计算： （1）（－3）÷ ÷ ；　　　　　　　　　 解：（1）原式＝（－3）× ×（－4） ＝－30. （2）（－3）÷ . 解：（2）原式＝（－3）÷ ＝（－3）÷ ＝（－3）× ＝－ . 解：（1）原式＝（－3）× ×（－4） ＝－30. 解：（2）原式＝（－3）÷ ＝（－3）÷ ＝（－3）× ＝－ . 课堂评价 6. （新概念问题）【阅读材料】当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作f（2，x）＝x÷x； 把3个相同的有理数x的除法运算记作f（3，x）＝x÷x÷x； 把4个相同的有理数x的除法运算记作f（4，x）＝x÷x÷x÷x； …… 特别地，规定f（1，x）＝x. 课堂评价 【解决问题】 （1）若f（n，－2）＝（－2）÷（－2）÷（－2）÷（－2），则n ＝ ⁠； （2）f ＝ ⁠； （3）计算：f ÷f（3，－3）. 解：（3）原式＝ ÷[（－3）÷（－3）÷（－3）]＝1÷ ＝ －3. 4　 27　 解：（3）原式＝ ÷[（－3）÷（－3）÷（－3）]＝1÷ ＝ －3. 课堂评价 $