专题04 有理数运算七大题型突破- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数运算七大题型，以归类、凑整等方法为核心，构建从基础到进阶的解题体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |归类法|4题|按符号/类型分组简化运算|从数的分类到运算归类，夯实基础| |凑整法|4题|将数凑成整十/百数简便计算|基于数的组成，培养数感与估算能力| |拆项法|5题|整数与分数拆分后分别运算|深化数的分解思想，提升运算灵活性| |组合法|3题|分组结合简化复杂运算|强化整体思维，建立部分与整体联系| |逆向法|3题|逆用乘法分配律提取公因式|培养逆向思维，理解运算律双向应用| |裂项相消法|4题|分式拆分后正负抵消|从特殊到一般，构建规律探究能力| |倒数求值法|4题|先求倒数再取倒数得结果|突破除法运算限制，发展转化思想|

专题04 有理数运算七大题型突破 【题型01 归类法】 【题型02 凑整法】 【题型03 拆项法】 【题型05 逆向法】 【题型04 组合法】 【题型06 裂项相消法】 【题型07 倒数求值法】 【题型01 归类法】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法化为加法，再把小数化为分数，再根据加法法则计算，即可作答． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据交换律和结合律进行简便计算； （2）根据交换律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 3．计算下列各式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算顺序，运算法则和运算律是解题的关键． （1）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （2）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （3）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （4）化简符号，运用加法交换律与结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型02 凑整法】 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加法法则以及加法的交换律和结合律进行解答即可． （2）根据有理数加法法则以及加法的交换律和结合律进行解答即可． 本题考查了有理数加法，解题的关键是掌握有理数加法的法则和运算律． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)5 (2)-2 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键． （1）将能凑整的数先相加，再进行运算最终得出答案即可． （2）将能凑整的数先相加，再进行运算最终得出答案即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）原式， ， ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先由加法交换律和结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再由加法交换律和结合律恒等变形，最后由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再利用加法法则计算； （2）利用加法交换律和结合律计算即可； （3）先把减法转化为加法并化简绝对值，再 按加法法则计算； （4）先把减法转化为加法，再利用加法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型03 拆项法】 9．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 11．计算： 【答案】 【分析】把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）可将转化为，然后利用乘法分配律求解； （2）将转化为，然后利用乘法分配律求解． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 13．先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题． （1）计算： 解： ． 上面这种解题方法叫作拆项法． （2）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，读懂阅读材料，熟练掌握有理数的加法法则、掌握拆项法进行解题是关键． 认真观察（1）的解法，利用此方法求出（2）中各小题的结果即可． 【详解】解： 原式 ． 【题型05 逆向法】 14．下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题主要查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 【题型04 组合法】 17．下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题主要查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 【题型06 裂项相消法】 20．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 21．阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），将原式整理为，再计算即可； 对于（2），仿照上述做法，应用裂项公式，提取公因数后消项即可； 对于（3），先提出负号，再将分母写成乘积的形式，然后裂项，消项即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 22．阅读材料： ； 请根据以上各式解答下列问题： (1)仿照阅读材料，将下列算式变形： ___________，___________ (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解拆项相消是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料变形即可； （2）仿照阅读材料，裂项相消即可； （3）先把分母变形，再裂项相消即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 23．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中n是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)_____． (2)根据以上观察，聪明的你发现_____． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项相消法是解答本题的关键． （1）利用裂项相消法求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可； （3）利用裂项相消法求解即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 【题型07 倒数求值法】 24．由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数后，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果，下面是小明的计算过程： 解：原式的倒数为 故原式 请你根据对小明方法的理解，计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 先计算的倒数，利用法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】解：原式的倒数为 ， 故原式． 25．先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 26．数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 【答案】 （1） ∴小明的解法的正确 （2）这个数本身； （3）-3 【分析】（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可； （2）根据题意得出结论即可； （3）仿照已知的方法计算即可． 【详解】（1）略 （2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身 （3） ∴ 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 27．数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数乘法分配律，先根据分配律求出的结果，再仿照题意即可得到答案． 【详解】解： ， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题04有理数运算七大题型突破 题型归纳 【题型01归类法】 【题型02凑整法】 【题型03拆项法】 【题型05逆向法】 【题型04组合法】 【题型06裂项相消法】 【题型07倒数求值法】 专题训练 【题型01归类法】 1.计算：0.5+-2.75 2.计算： (1)73+-84-36+-73° (2 3.计算下列各式 (1)12+-18--7-20 2s号24-1号-16l 4.计算下列各题： 1-59--46+-34-+731:(2-72--37--22-17 1星-7}325-}--升+36引 【题型02凑整法】 5.计算： 叫+-号+1哈-卦a-o5-3-25+7 e8-+b0--4b+- -8--s-+e-4g o :6T--|EL+-L-+s-l 点18 ze-H9e+月e+eaz-la:ez-4sT+cz+e-+9z-m 煮1L 6(z-Pa-k 意1‘9 【题型03拆项法】 9.计算：7777×9+1111×37 10.黑板上有一道题：计算71 点5×-8，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法。 6 嘉嘉： 原武1+}-8 淇淇： ×-8 =71x-8+2号-8 =-568-15 -575号 (1)请将淇淇的解法补充完整： 2计算：-4947×6. 48 11.计算：-2 23×12 2 12.计算： 1-99 11×24 (2)-99×999 4 13.先阅读第(1)题的计算过程，再根据第(1)题的解题方法完成第(2)题. (1)计算： -5 3 解-5+-9+17-3号 -5副-++-3- =-5--3引 =0*- 上面这种解题方法叫作拆项法. (2)计算： 20245 -202号 +4049 引 【题型05逆向法】 14.下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算. 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是ab+c=ab+ac,反过来ab+ac=ab+c,这就是说，当 ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac=ab+c,进而使运 5 算简便.例如，计算： 引+ 若利用先乘后减显然很繁琐， 可以注意到两项都有一 6 因此逆用乘法分配律可得 个引-}号号5=-6计第低 5 多 根据以上信息，解答下列问题 (1)计算：-29×2025+30×2025. 2)计算：-2025×6 +2025× - +2025x4 15.我们知道，乘法分配律是a×m+n=am+an,反过来am+an=a×m+n,这就是 逆用乘法分配律.逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： 15×2+6×2=2x15+6=2×21=6. 77 7 逆用乘法分配律计算： _3x3- 35 ×281 220251}2025×2025×2 7 16.阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算. 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是ab+c=ab+ac,反过来ab+ac=ab+c.这就是说，当 ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac=ab+c,进而可使运算 了爱天：洛诺酒豫马￥甜唑头·×日一沉×名一中阿胸到奥一 8 ,因此逆用乘法分配律可得一 5×23-5×17=-5×(23+17)=-三×40=-25，这样计 8 算就简便得多 计算： (1)-29×588+28×588 2023×号+2023×-9引+2023×号 6-47.651×2号-3715×-2号}+105×-7品 【题型04组合法】 17.下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算. 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是a(b+c=ab+ac,反过来ab+ac=ab+c,这就是说，当 ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac=ab+c,进而使运 算简便.例如，计算： 6 2+ 6x+1 若利用先乘后减显然很繁琐， 53 3 可以注意到两项都有 6 因此逆用乘法分配律可得 -引号×小+号子×5-6这样院脑和 多 根据以上信息，解答下列问题 (1)计算：-29×2025+30×2025 (2)计算：-2025 号+2025× 3 5 +2025× 18.我们知道，乘法分配律是a×m+n=am+an,反过来am+an=a×m+n,这就是 逆用乘法分配律.逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： 15x2+6x2 7 -2n5+61-号x21=6. 77 逆用乘法分配律计算： 35 ×281 (2)2025× 13 17 -2025×号+2025×29 19.阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算， 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是ab+c=ab+ac,反过来ab+ac=ab+c.这就是说，当 ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac=ab+c,进而可使运算 。例如：计算×23一×17，若利用先乘后减显然很紧项，注意到两项都 5 8 8 因此逆用乘法分配律可得-3×23-5×17=-×23+17)=-5×40=-25，这样计 8 8 算就简便得多 计算： (1)-29×588+28×588 21-2023×号+2023× +2023号 6-4765×2品-37.15-2号+105×-7是 11 【题型06裂项相消法】 20.请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 11_111_11 1122×323”3×43 1×2 计算： 1t12t,1t…+ 1 1×22×33×4 2020×2021 21+,1t1++ 1 1×44×77×102014×2017 21.阅读材料： 在计第行立分…十而时.文装计基很装原。我打可以采用裂原一清 9 项”法简化运算.如下所示： 1+1+1+1+…+1=1+1+1++1 2'61220 4201×22×33×4 20×21 -1}…+品 1分 =20 21 方法应用：试用“裂项一一消项”法解下面各题： 国通过项然，计2*女3*34…石7的位 一；（直接写出结 果) .1 3×77×1111×1555×5959×63 甘亡定高的高 22.阅读材料： 7123 文非引 请根据以上各式解答下列问题： (1)仿照阅读材料，将下列算式变形： 1= 1 5× -’13×17 a计编：女6g以n6*+ 1 2021×2026 10 11 1…+ 1 (3)计算：22030210 十 十 23.阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题， 1+2+3+4+..+100=?经过研究，他得出这个问题的一般性结论是： 1+2+3+4++n=nn+1 2 ,其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题： 1×22×33×4+nn+1F?观察下面三个特殊的等式： 1+1+1++1 01安站34古 把①、②、③三个等式相加，于是 2+23*412片-1子 1×22×33×4 22334 阅读以上材料，请你解答以下问题： ,1+1+1 1×2'2×33×4 +…+ 2024×2025 1 (2)根据以上观察，聪明的你发 1x22x44x7++10 +2+3 46×56- (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算，1。十，十1+…+ 1 1×33×55×7 2023×2025 【题型07倒数求值法】 24.由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒 数后，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒 11 数的意义得出原结果，下面是小明的计算过程： 1 5,3 1 481246 解：原式的倒数为 ×(-48） =-是×-48)+2×(-48)-言×(-48) =20-36+8 =-8 故原式一 8 请你根据对小明方法的理解，计算 1 5+ 24 12 25.先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算： 2.3 7 ×36 9418 (2)认真阅读材料，解决问题：计算：1÷2-1+1-2 3031065 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算.但可以先交换除数与被除数的位置，求 出原 式的倒数. 解：原式的倒数是： 2-1+1-2:1 3106530 +2×30 31065 12 号0-×30+哈×30-号×30 6 =20-3+5-12 =10 故原式。 请你根据以上方法，计算： 1:3-5+1-2 52426213 26数学类行布置-世思四到立传君 .小明仔细思考了一番，用了一 种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为 居}x2=4+10-6m居引-专 (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于一一； 》粉运#小男法计：异名引 27.数学老师布置了一道思考题：“计算： 1_5”小明仔细思考了一番，用了 种特别的方法解决了这个问题： 的数传引}吾-12=4+10-6 13 bI 图+台： :真1张明拍出4单 是帽任