第十八章 分式 冲刺学案（知识体系+考情分析+知识点精讲+解题方法技巧+真题精炼） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十八章 分式 📚知识体系导图(精炼化、可视化) 2 📈 考情深度剖析（数据驱动、趋势明确） 3 （一） 高频考点分析 3 （二） 命题趋势 3 （三） 分值分析 5 （四） 考生备考建议 5 📖 知识点精讲精析（法则解析+示例+易错陷阱） 5 （一） 分式的概念（基础基石） 5 （二） 分式的基本性质（核心工具） 6 （三） 分式的运算（重点突破） 7 （四） 分式方程（能力提升） 9 （五） 分式的实际应用（实际建模） 10 ⚠️ 高频易错知识点总结及避坑指南（靶向突破） 11 （一） 分式概念理解偏差 11 （二） 分式运算符号错误 12 （三） 分式方程增根遗漏检验 12 （四） 实际应用建模错误 13 💡 核心解题方法技巧提炼（策略导向、高效解题） 14 （一） 分式化简技巧——因式分解优先 14 （二） 分式求值技巧——整体代入法 14 （三） 分式方程增根问题技巧——抓住“最简公分母为0” 15 🔖 中考真题精粹集训（精选2025真题，覆盖考向） 16 （一） 基础概念类（3-4分） 16 （二） 分式性质与运算类（4-6分） 16 （三） 分式方程类（6-8分） 16 （四） 实际应用类（6-8分） 19 📚 知识体系导图(精炼化、可视化) 📈 考情深度剖析（数据驱动、趋势明确） 高频考点分析 分式的概念与性质：★★★★☆ 近3年全国中考覆盖率达90%，2025年单题考查率较上年提升2个百分点。题型以选择题、填空题为主（占比85%），单题分值3-4分。核心考查分式有意义/无意义/值为0的条件，以及约分、通分操作，2025年结合绝对值、平方数非负性考查分式值为0的题目占比显著上升（约35%）。 分式的运算：★★★★★ 近3年覆盖率95%，2025年解答题占比提升至50%，单题分值4-6分。分式乘除混合运算、异分母加减运算为高频考点，且常与因式分解结合（如先分解分子分母再约分），2025年“分式化简+代数式求值”综合题占比达40%，强调运算步骤完整性与结果准确性。 分式方程：★★★★☆ 近3年考查率88%，2025年解答题占比45%，单题分值6-8分。核心考查分式方程的解法（去分母、检验增根）及实际应用，2025年实际应用题以“工程效率优化”“行程速度调整”为主要场景，结合生活实际，体现数学实用性。 命题趋势 1. 基础运算精准化，易错点强化考查 2025年“分式运算符号错误”“去分母漏乘常数项”“增根检验遗漏”失分率均超40%，预计2026年仍将聚焦这些易错点，可能增加“分式运算正误判断”题型，如辨析“ ”的正确性，或“解分式方程时检验步骤的必要性”。 知识融合深度化，跨模块联系紧密 2025年“单一考点题”占比降至25%，综合题以“分式+因式分解+整式运算”“分式方程+一元一次不等式”为主流。结合2025年考情调整（非选择题占比升至65%），2026年预测增加分式与函数的融合题，如“用分式表示函数解析式并求自变量取值范围”。 情境创设实用化，数学文化渗透增强 2025年应用题占比30%，涵盖“疫情防控物资运输”“乡村振兴工程建设”等现实场景，2026年预计新增“古代数学著作中的分式问题”（如《九章算术》中的比例分配问题），同时强化“绿色环保”“经济优化”等主题的应用，体现数学的社会价值。 核心素养显性化，思想方法贯穿始终 2025年规律探索题占比12%，“分式变形规律”考查转化思想；“分式方程实际应用”强化建模思想。2026年预测分类讨论思想考查增加，如“含参数的分式方程解的情况分析”，同时新定义运算题可能结合分式设题，考查信息迁移能力。 分值分析 题型 单题分值 题量 累计分值 ✔️选择题/填空题 3-4分 2-3题 6-12分 ✔️解答题（分式运算） 4-6分 1题 4-6分 ✔️解答题（分式方程应用） 6-8分 1题 6-8分 考生备考建议 🚩靶向突破基础薄弱点：整理“分式有意义/值为0条件对比表”“分式运算符号法则清单”，针对2025年高频错误，每天进行10道基础题训练，重点强化“分母不为0”“增根检验”的意识，确保基础题型零失误。 🚩强化跨模块综合训练：重点练习“分式化简+因式分解”“分式方程+实际应用”题型，总结“先分解再约分”“先化简再求值”“实际问题建模”的解题模板，每周完成3-5道综合题，提升知识整合能力。 🚩积累创新题型经验：收集2025年规律探索题、新定义运算题，建立“观察分式结构→猜想变形规律→验证结论”的解题流程，错题本按“概念混淆”“运算失误”“建模错误”标注错误类型，每两周复盘1次，避免重复失误。 📖 知识点精讲精析（法则解析+示例+易错陷阱） 1. 分式的概念（基础基石） 法则解析形如 的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母、B≠0，这样的式子叫做分式。分式的关键特征是“分母含字母且不为0”，与整式（分母为常数）本质区别在于分母是否含未知数。 ✨ 示例： 若分式 有意义，求x的取值范围。 【解析】分母，因，故，所以x可取任意实数。 若分式 的值为0，求x的值 【解析】分子|x|-3=0，得x=±3；分母x-3≠0，得x≠3，故x=-3。 ❗ 易错陷阱： 忽略“分式值为0的双条件”：如错误认为分式 值为0时x=±1（未排除x=1时分母为0的情况，正确应为x=-1）； 误将常数分母当作含字母分母：如认为 是分式（分母3是常数，不含字母，实际是整式）。 1. 分式的基本性质（核心工具） 法则解析 · 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即：（M是不为0的整式）。 · 核心应用是“约分”与“通分”，前者简化分式，后者为分式加减奠定基础。 ✨ 示例 约分 【解析】先因式分解，分子，分母，约去公因式(x-2)，得 。 通分 【解析】最简公分母为（各分母因式最高次幂的积），，。 ❗ 易错陷阱 约分时分母漏乘（或除以）公因式：如错误约分； 通分时最简公分母确定错误：如通分，误将最简公分母定为6x（正确应为）。 1. 分式的运算（重点突破） 1. 分式的乘除 法则解析 乘法：（分子相乘作分子，分母相乘作分母，结果约分）； 除法：（除以一个分式等于乘它的倒数，C≠0，D≠0）。 ✨ 示例 计算 【解析】先因式分解，分子；将除法变乘法，乘倒数：；约分后得1。 ❗ 易错陷阱 除法变乘法时漏乘倒数：如错误计算（正确应为）； 因式分解不彻底导致约分不完整：如计算，未将分解为(x+2)(x-2)，直接得（正确应为）。 1. 分式的加减 法则解析 同分母：（分母不变，分子相加减，结果约分）； 异分母：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 ✨示例 计算 【解析】同分母，分子相加：。 计算 【解析】异分母，先分解分母，通分后得。 ❗ 易错陷阱 异分母加减时漏通分：直接分子分母分别相减，如错误计算（正确应为）； 分子相加减时符号错误：如计算，未注意3-x=-(x-3)，错误得（正确应为）。 1. 分式的混合运算 法则解析 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（小括号→中括号→大括号）。计算时需结合因式分解、约分等技巧简化步骤。 ✨示例 计算 【解析】第一步，处理括号内：通分，分母，得；第二步，除法变乘法：。 ❗ 易错陷阱 运算顺序混乱：先算加减再算乘除，如错误计算（正确应为）； 去括号时符号错误：如计算（正确应为。 1. 分式方程（能力提升） 法则解析 分母中含有未知数的方程叫做分式方程（如）。解法核心是“去分母化为整式方程”，但需检验排除增根（使最简公分母为0的解）。 解法步骤 确定最简公分母：先拆解各分母的系数与因式（多项式需先分解），取系数最小公倍数作为公分母系数，取所有因式最高次幂相乘作为字母 / 多项式部分，两者组合即得最简公分母； 去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； 解整式方程：按一元一次方程（或一元二次方程）解法求解； 检验：将整式方程的解代入最简公分母，若不为0，则是原分式方程的解；若为0，则是增根，原方程无解。 ✨ 示例 解分式方程 【解析】第一步，去分母，最简公分母为(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3；第二步，展开化简：；第三步，检验：x=1时，(x-1)(x+2)=0，故x=1是增根，原方程无解。 ❗ 易错陷阱 去分母时漏乘不含分母的项：如解，错误得3x+1=2x（漏乘1×6，正确应为3x+6=2x）； 检验步骤遗漏：直接将整式方程的解当作原方程的解，未排除增根（如解，解得x=3，未检验直接得出结论，虽本题x=3是有效解，但需养成检验习惯）。 分式的实际应用（实际建模） 常见场景与核心公式 场景 核心公式 工程问题 工作效率=，总效率=各部分效率和 行程问题 顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度 利润问题 ，总价=单价×数量 解题步骤 · 设未知数：根据题意设关键未知量（如工作效率、速度等）； · 列分式方程：根据等量关系（如“甲工作时间=乙工作时间-2”“顺水路程=逆水路程”）列出方程； · 解方程并检验：按分式方程解法求解，检验解的合理性（既要满足方程，也要符合实际意义，如时间、速度不为负数）； · 答：写出最终答案。 ✨ 示例 某工程队计划修建一条长1200米的公路，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成任务，求原计划每天修建公路的长度。 【解析】第一步，设原计划每天修建x米，则实际每天修建米；第二步，根据“原计划时间-实际时间=2”列方程：；第三步，解方程：去分母得1200×1.2-1200=2×1.2x→1440-1200=2.4x→x=100；第四步，检验：x=100≠0，1.2x=120≠0，且x=100符合实际意义；第五步，答：原计划每天修建公路100米。 ❗ 易错陷阱 · 等量关系找错：如将“提前2天完成”错误列为“实际时间-原计划时间=2”（正确应为“原计划时间-实际时间=2”）； · 单位不统一：如路程单位为千米，时间单位为分钟，未转化为统一单位（如千米/小时）直接列方程。 ⚠️ 高频易错知识点总结及避坑指南（靶向突破） 1. 分式概念理解偏差 ❌ 错误示例 认为分式值为0时x=±3（未排除x=-3时分母为0的情况，正确应为x=3）； 判定是分式（π是常数，分母不含字母，实际是整式）。 📌 避坑指南 牢记“分式值为0的双条件”：分子为0且分母不为0，计算时先求分子为0的解，再代入分母检验是否为0； 明确“分式的分母特征”：必须含有字母（π、数字均为常数），判断前先看分母是否含未知数。 1. 分式运算符号错误 ❌ 错误示例 计算时，错误得（未注意y-x=-(x-y)，正确应为）； 分式除法变乘法时，倒数符号错误，如（正确应为）。 📌 避坑指南 遇到“互为相反数的分母”（如x-y与y-x），先将其变形为统一形式（加负号），再计算； 除法变乘法时，先写出除数的倒数，再检查符号，确保“负号跟着分子走”。 1. 分式方程增根遗漏检验 ❌ 错误示例 解分式方程，解得x=-6后，未检验直接得出x=-6是解（虽x=-6是有效解，但需规范检验步骤）； 解，解得x=1，未检验直接认为x=1是解（x=1使分母为0，是增根，原方程无解）。 📌 避坑指南 养成“检验三步法”：①将整式方程的解代入最简公分母；②判断最简公分母是否为0；③为0则是增根，原方程无解；不为0则是原方程的解； 在答题步骤中明确写出检验过程，如“检验：当x=2时，最简公分母x(x-2)=0，故x=2是增根”。 1. 实际应用建模错误 ❌ 错误示例 行程问题中，“顺水速度=静水速度+水流速度”错误记为“顺水速度=静水速度-水流速度”，导致方程列错； 工程问题中，设“原计划工作时间为x天”，但后续列方程时混淆“工作效率”与“工作时间”的关系。 📌 避坑指南 整理“常见应用场景公式表”，贴在笔记本上，熟记核心公式； 设未知数后，先用含未知数的式子表示“中间量”（如工作效率、速度），再根据“关键等量关系”（如“时间差”“效率比”）列方程，避免直接套用公式导致混淆。 💡 核心解题方法技巧提炼（策略导向、高效解题） 1. 分式化简技巧——因式分解优先 适用场景 分式的乘除、加减及混合运算中，分子或分母为多项式时，先因式分解再运算，简化计算。 ✨ 示例 化简 【解析】先因式分解，分子，分母；除法变乘法：；约分后得1，比直接计算更简便。 技巧总结 常用因式分解方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）要熟练，看到多项式先尝试分解，尤其注意等可分解结构，分解后再通过约分减少运算量。 1. 分式求值技巧——整体代入法 适用场景 已知条件为“分式或整式的倍数关系”（如、x-2y=0），求复杂分式的值时，用整体代入简化计算。 ✨ 示例 已知，求的值 【解析】由得x=3y，代入分式：；或分子分母同除以（y≠0），得，更简洁。 技巧总结 当已知“”（k为常数）时，可设a=kb（或），代入分式消元；或分子分母同除以含b（或a）的式子，将分式转化为含k的表达式，再代入求值。 分式方程增根问题技巧——抓住“最简公分母为0” 适用场景 含参数的分式方程有增根或无解时，求参数值。 ✨ 示例 若分式方程有增根，求a的值 【解析】第一步，去分母，方程两边乘(x-3)，得x-a=2(x-3)；第二步，整理整式方程：x-a=2x-6→x=6-a；第三步，增根使最简公分母(x-3)=0，故增根为x=3；第四步，将x=3代入x=6-a，得3=6-a→a=3。 技巧总结 含参数分式方程“有增根”的解题流程：①去分母得整式方程；②求增根（令最简公分母为0）；③将增根代入整式方程，解出参数；“无解”需分两种情况：①整式方程无解；②整式方程的解为增根。 🔖 中考真题精粹集训（精选2025真题，覆盖考向） 1. 基础概念类（3-4分） 1. 选择题 1． 【2025·山东省威海市】下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 1. 填空题 2． 【2025·山东】写出使分式有意义的的一个值______． 3． 【2025·广西】写出一个使分式有意义的的值，可以是______． 1. 分式性质与运算类（4-6分） 1. 选择题 1． 【2025·天津】计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 2． 【2025·河南】化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3． 【2025·河北】若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 4． 【2025·新疆】计算：（ ） A. 1 B. C. D. 1. 填空题 5． 【2025·四川省达州市】化简：_______． 6． 【2025·广东省深圳市】计算：__________． 7． 【2025·江苏省扬州市】计算：______． 8． 【2025·湖北】计算的结果是______． 9． 【2025·甘肃省平凉市】化简：． 1. 解答题 10． 【2025·北京】已知，求代数式的值． 11． 【2025·内蒙古】计算：． 12． 【2025·吉林】先化简，再求值：，其中． 13． 【2025·四川省德阳市】先化简，再求值：，其中． 14． 【2025·四川省泸州市】化简：． 15． 【2025·四川省遂宁市】先化简，再求值：，其中a满足． 16． 【2025·安徽】先化简，再求值：，其中． 17． 【2025·山东】先化简，再求值：，其中． 18． 【2025·江苏省苏州市】先化简，再求值：，其中． 19． 【2025·江西】化简： 20． 【2025·重庆】 先化简，再求值：，其中． 21． 【2025·陕西】化简：． 22． 【2025·四川省眉山市】先化简，再求值：．其中x、y满足 1. 分式方程类（6-8分） 1. 选择题 1． 【2025·湖南】将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 2． 【2025·黑龙江省齐齐哈尔市】如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 1. 填空题 3． 【2025·北京】方程的解为_______． 4． 【2025·四川省宜宾市】分式方程的解为_______． 5． 【2025·江西】小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 6． 【2025·甘肃省平凉市】方程的解是______． 1. 简答题 7． 【2025·上海】解方程：． 8． 【2025·山东省威海市】解分式方程． 9． 【2025·广东】在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 10． 【2025·江苏省连云港市】解方程． 11． 【2025·浙江】解分式方程：． 1. 实际应用类（6-8分） 1. 选择题 1． 【2025·广东省深圳市】 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2． 【2025·黑龙江省绥化市】用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3． 【2025·四川省遂宁市】若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3 1. 解答题 4． 【2025·云南】某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 5． 【2025·内蒙古】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． （1）求的值； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 6． 【2025·四川省自贡市】去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？ 7． 【2025·山西】我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 8． 【2025·江苏省扬州市】某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 9． 【2025·重庆】列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案及解析 1. 基础概念类（3-4分） 1. 选择题 1． 【2025·山东省威海市】下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 1. 填空题 2． 【2025·山东】写出使分式有意义的的一个值______． 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． ∴的取值可以为． 故答案为：1（不唯一）． 3． 【2025·广西】写出一个使分式有意义的的值，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母的值不等于，求出的取值范围，进而写出符合条件的一个的值即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义，则， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：． 1. 分式性质与运算类（4-6分） 1. 选择题 1． 【2025·天津】计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 2． 【2025·河南】化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3． 【2025·河北】若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 4． 【2025·新疆】计算：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 1. 填空题 5． 【2025·四川省达州市】化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键． 先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可． 【详解】解：， 故答案：． 6． 【2025·广东省深圳市】计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7． 【2025·江苏省扬州市】计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8． 【2025·湖北】计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 9． 【2025·甘肃省平凉市】化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 1. 解答题 10． 【2025·北京】已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 11． 【2025·内蒙古】计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的乘法的运算法则化简即可． 【详解】 解： ． 12． 【2025·吉林】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 13． 【2025·四川省德阳市】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法运算，然后计算分数乘法即可． 【详解】 解：原式 ， 当时， 原式 ． 14． 【2025·四川省泸州市】化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把分子合并同类项后分解因式，再把第一个分式的分子分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 15． 【2025·四川省遂宁市】先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原分式，然后结合分式有意义的条件代值求解即可． 【详解】解： ， ∵a满足，即但， ∴， ∴当时，原式． 16． 【2025·安徽】先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 17． 【2025·山东】先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 18． 【2025·江苏省苏州市】先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则进行化简，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19． 【2025·江西】化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 20． 【2025·重庆】 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21． 【2025·陕西】化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 22． 【2025·四川省眉山市】先化简，再求值：．其中x、y满足 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 1. 分式方程类（6-8分） 1. 选择题 1． 【2025·四川省眉山市】若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ） A. 8 B. 14 C. 18 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 2． 【2025·湖南】将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 3． 【2025·黑龙江省齐齐哈尔市】如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 1. 填空题 4． 【2025·北京】方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 5． 【2025·四川省宜宾市】分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，原分式方程的解为， 故答案为：． 6． 【2025·江西】小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 7． 【2025·甘肃省平凉市】方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 检验，当时，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 1. 简答题 8． 【2025·上海】解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解。 9． 【2025·山东省威海市】解分式方程． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是 10． 【2025·广东】在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 11． 【2025·江苏省连云港市】解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 12． 【2025·浙江】解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 1. 实际应用类（6-8分） 1. 选择题 1． 【2025·广东省深圳市】 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 2． 【2025·黑龙江省绥化市】用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 3． 【2025·四川省遂宁市】若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 1. 解答题 4． 【2025·云南】某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可． 【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 5． 【2025·内蒙古】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． （1）求的值； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【答案】（1）8 （2）至少需要6个这样的机器人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； 【小问2详解】 解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 6． 【2025·四川省自贡市】去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？ 【答案】10筐 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，可得：，再解方程即可. 【详解】解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐． 方程两边同乘得：， 展开并化简：， 移项：， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意； 所以，小李平均每小时掰玉米10筐． 7． 【2025·山西】我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是原方程根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 8． 【2025·江苏省扬州市】某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 9． 【2025·重庆】列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】（1）该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 （2）每天乙文创产品增加的数量是个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． 【小问2详解】 解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 学科网（北京）股份有限公司 $