17.3勾股定理（第1课时）（教学课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，涵盖面积法证明、直角三角形边长计算、折叠问题及分类讨论等内容，构建“定理证明—基础应用—综合提升”的学习支架，助力学生逐步理解并掌握勾股定理的核心知识与应用逻辑。 其特色在于融合数学眼光、思维与语言，通过折叠问题（如直角三角形纸片折叠求CD长）培养几何直观，借助分类讨论题（如两边为3和4求第三边）发展推理意识，以规范解题步骤强化模型应用。学生能提升问题解决能力，教师可直接利用分层例题与方法点拨优化教学效率。

17.3 勾股定理 第1课时 勾股定理 第十七章 特殊三角形 冀教版2024 八年级上册 导入●新课 什么是直角三角形？ 直角三角形 有一个角为90° 一般三角形 直角边 直角边 斜边 “直角三角形ABC”用符号“＿＿＿＿＿”表示。 Rt△ABC 1 2 3 理解如何用面积法证明勾股定理（难点） 掌握勾股定理的内容.（重点） 能用勾股定理进行简单的计算.（重点） 学习●目标 新知●探究 一起探究 问题1.如图(1)，每个小方格都是边长为1的小正方形，在所围成的△ABC中，∠ACB=90°，那么，图中以AC，BC，AB为边的三个正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系? 以AC为边的正方形面积为９； 以BC为边的正方形面积为16； 以AB为边的正方形面积为25； 易知，SAC＋SBC＝SAB 新知●探究 一起探究 问题2.图(2)是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图，∠ACB=90°，那么，分别以AC，BC，AB为边的三个正方形(红色框标出)的面积之间有怎样的关系? 由图可知，SAC＋SBC＝SAB． 新知●探究 一起探究 问题3.如图(3)，∠ACB=90°，三个正方形的边长分别是AC， BC，AB.请依据问题1和问题2中得出的结论，猜想Rt△ABC 三边之间的关系，并表示出来. SAC＋SBC＝SAB SAC＋SBC＝SAB AC2+BC2=AB2 AC2+BC2=AB2 猜想：AC2+BC2=AB2 b2+a2=c2 a2+b2=c2 新知●探究 观察与思考 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的伟大成就.如图17.3-2所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，请根据图形的特征，寻找获得a²+b²=c²的思路，并完成推导过程。 a b c b-a 赵爽弦图 证明： ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， ∴c²=4×½ab+（b-a）² ∴c²=2ab+b²+a²-2ab ∴a²+b²=c² 面积法 新知●探究 我国古代数学名著《周髀算经》把直角三角形较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫作“弦”. 勾三股四弦五 勾²+股²=弦² 新知●探究 总结归纳 勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 揭示了直角三角形三边长的平方关系. 知二推一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 c a b 新知●探究 做一做 观察图(1)和(2)中的两个大正方形，说明a²+b²=c². ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4×ab+c2=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 面积法 典例●精析 在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. （1）如果a=9，b=12，求c. （2）如果a=8，c=17，求b. （3）如果a:b=3:4，且c=10，则a、b分别为多少？ （3）解：设a=3x,b=4x 在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理得： c2=a2+b2 102=(3x)2+(4x)2 100=9x2+16x2 25x2=100 x2=4 ∵x>0 ∴x=2 ∴a=3x=3×2=6 b=4x=4×2=5 方程的思想 c==15 c==15 例 基础巩固题 新知●应用 1.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)    A．b2＝c2－a2     B．a2＝c2－b2    C．b2＝a2－c2     D．c2＝a2＋b2 C 2.在 中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为 ( ) . D A.10 B.3 C.4 D.5 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 基础巩固题 新知●应用 3.下图中,不能用来证明勾股定理的是(　　) D 面积法 基础巩固题 新知●应用 4.观察如图所示的图形，回答问题： (1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P 的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积为______； (2)如图②，分别以直角三角形ABC 的 三边长为直径向三角形外作三个半圆， 则这三个半圆形的面积之间的关系式是 .(用图中字母表示) 基础巩固题 新知●应用 5.用四个图(1)所示的直角三角形拼成图(2).在图(2)中，用“两个正方形的面积之差=四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理. ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S小正方形=c2, ∵4S三角形=4ab=2ab, ∵S大正方形-S小正方形=4S三角形 ∴(a+b)2=a2+b2+2ab-c2=2ab ∴a2+b2-c2=0 ∴a2+b2=c2 基础巩固题 新知●应用 6.在 Rt△ABC 中，∠C=90°. (1)已知a=5，c=7，求b的值. (2)已知b=60，c=61，求a的值. 没有图形，首先根据题意画出图形，并做好标记，这样就知道已知什么求什么。 C A B 解(1)根据勾股定理得，b²=c²-a²=7²-5²= 24.因为b>0， 所以b=. (2)根据勾股定理得，a²=c²-b²=61²-60²=121.因为a>0， 所以a=. 新知●应用 能力提升题 7.Rt△ABC的两边为3和4，则第三边是____________ 5或 分析：未明确直角边和斜边 分类讨论 ①第三条边是斜边时 第三条边==5 4 3 ②第三条边是直角边时 第三条边== 4 3 方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理. 新知●应用 能力提升题 8.有一块直角三角形纸片, 两直角 边AC=6 cm, BC=8 cm, 如图所示. 现将 △ACD沿直线AD折叠(点D在BC边上), 使直角边 AC落在斜边AB上, 点C落在点E处. 求CD的长. 新知●应用 能力提升题 解： ∵△ADE是由△ADC折叠得到的, ∴△ADE≌△ADC, ∴∠DEA=∠DCA=90°, DE=CD, AE=AC. 设CD=x cm(x>0), 则DE=x cm, BD=BC-CD=(8-x)cm. ∵AC=6 cm, BC=8 cm, ∴AB= =10(cm), ∴BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4(cm). 在Rt△BDE中, 由勾股定理, 得BD2 =BE2 +DE2 , 即(8-x)2 =42 +x2 , 解得x=3, 即CD=3 cm. 新知●应用 能力提升题 9. 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16； 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 新知●应用 能力提升题 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形． 课堂●小结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 $