第09讲 整式的加减（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（苏科版2024）

第09讲 整式的加减（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.单项式 2.多项式 3.整式 4.同类项 5.合并同类项 6.去括号法则 7.整式的加减运算 题型巩固 一、单项式的判断 二、单项式的系数、次数 三、单项式规律题 四、多项式的项、项数或次数 五、多项式系数、指数中字母求值 六、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 七、整式的判断 八、数字类规律探索 九、图形类规律探索 十、同类项的判断 十一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 十二、合并同类项 十三、去括号 十四、添括号 十五、整式的加减运算 十六、整式的加减中的化简求值 十七、整式加减中的无关型问题 十八、整式加减的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.单项式 1. 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式. 2. 单项式的系数与次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数. (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数. 特别提醒： (1)单项式的系数包括它前面的符号， 且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关. (2)确定一个单项式的次数时， ①没有写指数的字母， 实际上其指数是“1”，计算时不要将其遗漏； ②不要把系数的指数当成字母的指数一同计算. 如5²mn的次数是1＋4＝5，不能把系数的指数“2” 当成字母的指数. 知识点2.多项式 1. 多项式 几个单项式的和叫作多项式. 一个式子是多项式需具备两个条件： (1)式子中含有运算符号“＋” 或“－” ； (2)分母中不含有字母. 2. 多项式的项 多项式中， 每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项， 一个多项式含有几项，就把这个多项式叫作几项式. 3. 多项式的次数 多项式里， 次数最高的项的次数， 叫作这个多项式的次数. 4. 多项式的排列 我们常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序排列. 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列， 叫做这个多项式按这个字母的降幂排列, 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列, 叫作这个多项式按这个字母的升幂排列. 知识点3.整式 概念 单项式和多项式统称整式. 特别提醒：如果一个式子既不是单项式， 又不是多项式， 那么它一定不是整式. 特别解读 1. 单项式是整式. 2. 多项式是整式. 知识点4.同类项 1. 概念 一般地， 所含字母相同， 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“两个相同”：①所含字母相同； ②相同字母的指数也相同， 两者缺一不可. (2)是不是同类项有“两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关. 如3mn与－nm是同类项. (3)同类项可以有两项， 也可以有三项、四项或更多项， 但至少有两项. 知识点5.合并同类项 1. 概念 根据运算律把多项式中的同列项合并成一项叫作合并同类项. 2. 法则 同类项的系数相加， 所得的结果作为系数， 字母和字母的指数不变. 3. 合并同类项的一般步骤 (1)“找”： 找出同类项， 当项数较多时， 通常在同类项的下面做相同的标记； (2)“合”： 运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合； (3)“并”： 利用合并同类项法则合并同类项； (4)“写”： 写出合并后的结果. 知识点6.去括号法则 1. 法则 括号前面是“＋” 号， 把括号和它前面的“＋”号去掉， 括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－” 号， 把括号和它前面的“－”号去掉， 括号里各项的符号都要改变. 简言之： 括前“－” 变“＋” 不变. 2. 去括号时的注意事项 (1)去括号时， 要将括号连同它前面的符号一起去掉； (2)在去括号时， 首先要明确括号前的符号是“＋” 还是“－” ； (3)需要变号时， 括号里的各项都变号； 不需要变号时， 括号里的各项都不变号. 3. 拓展：去括号法则的逆用 (1)添括号法则： 添括号时， 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号， 如果括号前面是负号， 括号括号里的各项都改变符号． (2)添括号与去括号互为逆变形， 添括号是否正确， 可以用去括号进行检验. 知识点7.整式的加减运算 1. 运算法则 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律， 如果有括号先去括号， 再合并同类项. 2. 整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算：依据有理数的运算法则进行计算. 题型巩固 题型一、单项式的判断 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）有下列代数式：，其中单项式的个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据“单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式”即可判断，熟练掌握单项式的定义是解决此题的关键． 【详解】单项式有：、，共有2个， 故选：C． 2．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）下列代数式：①，②m，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，单项式共有 个． 【答案】3 【知识点】单项式的判断 【分析】由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：，，是单项式； ，，是多项式； ，中分母含有字母，不是单项式， 单项式共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查单项式的概念，关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 题型二、单项式的系数、次数 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（　　　） A．，2 B．，2 C．，3 D．，3 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，根据单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母指数的和，进行作答即可． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是，3， 故选：D 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数，熟练掌握单项式的数字因数是单项式的系数是解题的关键．根据单项式的系数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，单项式的系数是． 故答案为：． 5．观察下列一系列单项式的特点： ，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，… (1)写出第8个单项式； (2)猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数n+2 【知识点】数字类规律探索、单项式的系数、次数 【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…，得 第n个单项式是，系数是，字母部分是，次数n+2． 【点睛】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． 题型三、单项式规律题 6．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）按一定规律排列的单项式： …，第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式规律题，奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，系数的绝对值分别为，字母次数为序数加1，即可求解． 【详解】 所以第n个单项式是（ 故答案为：． 7．观察下列各式：﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，… (1)写出第2014个和2015个单项式； (2)写出第n个单项式． 【答案】(1)；﹣ (2)(﹣1)n 【知识点】单项式规律题 【分析】（1）由单项式的排列规律即可求出第2014个和2015个单项式； （2）由单项式的排列规律即可求出第n个单项式． 【详解】（1）解：由﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，… 可得第n项的表达式为（﹣1）n， 所以第2014个单项式为，第2015个单项式为﹣． （2）由单项式的特点可得第n个单项式为(﹣1)n． 【点睛】本题考查数式规律题，发现单项式的排列规律是解题关键． 题型四、多项式的项、项数或次数 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）多项式的次数和常数项分别是（   ） A．， B．2，1 C．， D．， 【答案】A 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查的是多项式的概念，注意掌握多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．由题意根据几个单项式的和叫做多项式，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项进行分析，即可解题． 【详解】解：多项式有三项，分别是： ，次数为2， ，次数为1， ，次数为0，是常数项， 所以多项式的次数和常数项分别是，， 故选：A． 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）多项式的次数是 ． 【答案】5 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式次数的定义求解． 【详解】解：多项式中最高次项是，次数是5． 故答案为：5． 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）一个二元三次多项式最多能有多少项？ （2）如果一个多项式的每一项次数都相等，我们就称这个多项式为“齐次多项式”．例如就是一个齐次多项式，也是一个齐次多项式，但是不是一个齐次多项式，那么一个三元三次齐次多项式最多能有多少项？ 【答案】（1）10项 （2）10项 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，正确理解多项式的项数与次数是解题的关键． （1）二元三次多项式中含有两个字母，且各项中最高次数为3次，逐一罗列各项，即得答案； （2）三元三次齐次多项式含有三个字母，且各项的次数均为3次，逐一罗列各项，即得答案． 【详解】（1）设多项式中的两种字母分别为x，y，且多项式中项的系数都为1， 由题意可知：在此情况下，项数最多的二元三次多项式为：，共10项； （2）设多项式中的三种字母分别为x，y，z，且多项式中项的系数都为1， 由题意可知：在此情况下，项数最多的三元三次齐次多项式为： ，共10项． 题型五、多项式系数、指数中字母求值 11．多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解；∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 12．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如果 是关于x，y的五次三项式，那么 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中次数最高的项的次数为多项式的次数．根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于，的五次三项式， ，， ． 故答案为：． 13．当m为何值时，是四次多项式． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据四次多项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，所以可确定m的值． 【详解】解：是四次多项式， ， ， ∴当m为16时，是四次多项式． 【点睛】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次多项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 题型六、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 14．多项式按字母的降幂排列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：． 故选A． 15．多项式按字母的降幂排列为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式，先观察多项式每一项字母的次数，然后按照字母的次数从高到低的顺序排列即可． 【详解】解：多项式各项的次数从左往右分别为，，，，， 多项式按字母的降幂排列为， 故答案为：． 16．（2023七年级上·江苏·专题练习）合并下列各式中的同类项，并将结果按字母x的降幂排列： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列、合并同类项 【分析】（1）先合并同类项，然后按字母x的降幂排列： （2）先合并同类项，然后按字母x的降幂排列，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键． 题型七、整式的判断 17．下列代数式：10，，，，，，，其中是整式的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查的是整式的概念，单项式与多项式统称整式，根据整式的定义求解即可． 【详解】解：式子10，，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式； 式子，是等式，不是整式． 故整式有5个． 故选：B． 18．下列式子中：，，，，，整式有 个． 【答案】4 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的概念，根据单项式和多项式统称为整式，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意：，，， 都是整式， ∴整式有4个． 故答案为：4． 题型八、数字类规律探索 19．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）做一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得； ……，以此类推，则（     ）． A．65 B．101 C．26 D．122 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意求出的结果，可得这一列数，每3个数为一个循环，依次为65，122，26，据此求出2012除以3的余数即可得到答案． 【详解】解；， ， ， ， ， ， ， ……， 以此类推，可知这一列数，每3个数为一个循环，依次为65，122，26， ∵， ∴， 故选：D． 20．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义一种关于整数n 的“F”运算： （1 ） 当n 是奇数时，结果为； （ 2 ） 当n 是偶数时，结果是（其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经F 运算是29；第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23， 第四次经F 运算是74…；若，则第2025次运算结果是 【答案】8 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查定义新运算，数字类规律探究，根据新运算的法则，求出前几次的运算结果，得到从第二次运算开始，偶数次运算的结果是1，奇数次运算的结果是8，即可得出结果． 【详解】解：由题意时，第一次经F运算是， 第二次经F运算是， 第三次经F运算是， 第四次经F运算是 … 从第二次运算开始，偶数次运算的结果是1，奇数次运算的结果是8， ∴第2025次运算结果是8， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·江苏盐城·）如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？   【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，找到规律是解题的关键． 观察每一行末尾的数字，发现：第1行末尾的数字；第2行末尾的数字，第3行末尾的数字；……可以总结出规律，每一行末尾的数字都是行数的平方，则第19行末尾的数是，所以第20行的第一个数是362，那么第7个数是，即可作答． 【详解】解：观察图中数字排列： 第1行末尾的数字； 第2行末尾的数字， 第3行末尾的数字； …… 以此类推：每一行末尾的数字都是行数的平方， 则第19行末尾的数是， ∴第20行的第一个数是362， 那么第7个数是， 即第20行第7个是． 题型九、图形类规律探索 22．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）用黑白两色棋子按如图所示方式摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探索，观察示例图形，探索规律是解题的关键．由所给图形，可推出第n个图形黑色棋子的个数即可． 【详解】解：第1图形，黑色棋子有个； 第2图形，黑色棋子有个； 第3图形，黑色棋子有个； …… 第n个图形，黑色棋子个， 故选：A． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 20个图形需要黑色棋子的个数是 【答案】440 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个图需要黑色棋子的个数为， 第2个图需要黑色棋子的个数为， 第3个图需要黑色棋子的个数为， 第4个图需要黑色棋子的个数为， 归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为，其中n为正整数， 则第20个图需要黑色棋子的个数为， 故答案为：440． 24．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． ． (1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． (2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 【答案】(1)，，． (2)共可坐人． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查整式的图形规律．本题关键在于通过观察桌子拼接时可坐人数的变化，归纳出通用规律张桌子可坐人，再利用该规律解决实际问题（计算多张桌子拼接后的总人数）．解题时需注意从特殊到一般的归纳方法，以及规律在实际场景中的应用． （1）通过观察1张、2张、3张桌子拼接时可坐人数的变化，找出数量规律，进而推导出张桌子拼接时可坐人数的表达式； （2）先利用（1）中得到的规律计算每5张桌子拼成的大桌子可坐人数，再乘以大桌子的数量（8张）得到总人数． 【详解】（1）解：观察图形或分析拼接规律： 1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可坐人数增加2人； 因此2张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 3张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 归纳得出，张桌子拼在一起可坐人数为人． 故答案为：，，． （2）根据（1）中得到的规律，当时，可坐人数为人， 已知40张桌子可拼成8张大桌子，每张大桌子可坐14人， 因此总人数为人． 答：共可坐人． 题型十、同类项的判断 25．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列选项中的两项是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 根据同类项定义逐一判断，即得． 【详解】解：A. 与所含字母不同，不是同类项； B. 与所含字母不同，不是同类项； C. 与是同类项； D. 与所含字母不同，不是同类项； 故选：C 26．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）写出单项式的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义即可得解． 【详解】解：单项式的一个同类项为：， 故答案为：（答案不唯一）． 题型十一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 27．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）若单项式与是同类项，则n的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 故选：C． 28．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若和是同类项，则 ． 【答案】7 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【详解】解：由同类项的定义可知，， 解得，， ∴． 故答案为：． 29．已知单项式与单项式的和仍为单项式，求的值． 【答案】1 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】由单项式与单项式的和仍为单项式，可得单项式与单项式是同类项，可得从而可得答案. 【详解】解： 单项式与单项式的和仍为单项式， 单项式与单项式是同类项， 【点睛】本题考查的是利用同类项的概念求解字母参数的值，求解代数式的值，掌握“利用同类项的概念列方程”是解本题的关键. 题型十二、合并同类项 30．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的运算法则计算后逐个判断即可． 【详解】解：A、，所以A选项不正确； B、，所以B选项不正确； C、和不是同类项，不能合并，所以C选项不正确； D、，所以D选项正确． 故选：D． 31．（24-25七年级上·江苏常州·期中）在括号里填写一个单项式，使等式成立：（ ）． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，由“加数等于和减去另一个加数”列式，再根据合并同类项法则即可求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 32．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）化简：． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型十三、去括号 33．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）下列各式中与多项式不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解答本题的关键．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，与题干中的多项式不相等，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 故选：B． 34．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）去括号： ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】此题主要考查了去括号法则，括号前面是加号时，去掉括号，括号内加减号不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，根据去括号法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为： 35．（22-23七年级上·江苏·期中）合并同类项 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查的是合并同类项，掌握合并同类项的运算法则是解本题的关键； （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型十四、添括号 36．下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添括号 【分析】直接利用添括号法则分别判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了添括号，正确掌握相关运算法则是解题关键． 37．2a﹣b+c＝2a﹣( )． 【答案】b﹣c/ 【知识点】添括号 【分析】根据添括号法则，即可解答． 【详解】解：根据添括号的方法可知，2a﹣b+c＝2a﹣（b﹣c）． 【点睛】本题考查了添括号法则，熟练掌握和运用括号法则是解决本题的关键． 38．观察下列各式：①﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x＋30＝5（x＋6）；④﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1＋a2＋b＋b2的值． 【答案】6 【知识点】添括号 【分析】利用添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而将已知代入求出即可． 【详解】解：∵a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣1， ∴﹣1＋a2＋b＋b2 ＝﹣（1﹣b）＋（a2＋b2） ＝﹣（﹣1）＋5 ＝6． 【点睛】此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键． 题型十五、整式的加减运算 39．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．按照去括号，合并同类项的顺序化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 （用含有的代数式表示） 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 设左下角的代数式为P，再根据九宫格左边第一列和下面第三行的3个代数式的和都相等列出等式，然后整理即可解答． 【详解】解：设左下角的代数式为， 由题意得：， ∴， 故答案为：． 41．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型十六、整式的加减中的化简求值 42．已知P＝a3﹣2ab+b3，Q＝a3﹣3ab+b3，则当a＝﹣5，b＝时，P、Q关系为（　　） A．P＝Q B．P＞Q C．P≥Q D．P＜Q 【答案】D 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】利用作差法得出P-Q=ab，进而得出答案． 【详解】解：P=a3-2ab+b3，Q=a3-3ab+b3， ∴P-Q=a3-2ab+b3-（a3-3ab+b3） =a3-2ab+b3-a3+3ab-b3 =ab， ∵a=-5，b=， ∴原式=-5×=-2． 即P-Q＜0， ∴P＜Q． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，正确利用作差法分析是解题关键． 43．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】1 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式化简求值．熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 先化简，再把a、b值代入化简式计算即可． 【详解】解：， 当，时，原式． 故答案为：1． 44．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知 (1)求 (2)当时，求的值 【答案】(1) (2)2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减运算及化简求值： （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将代入（1）中化简后的式子即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式． 题型十七、整式加减中的无关型问题 45．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若关于的多项式中不含有的一次项，则的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先把多项式合并，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：多项式不含的一次项， ， 解得． 故选：D 46．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 【答案】2 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，根据题意可以得到关于a的等式，从而可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：∵，，无论x取何值，恒成立， ∴ ， ∴， 解得． 故答案为：2． 47．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减中及其无关题型， （1）根据整式的混合运算法则进行化简得出， （2）根据的值与的取值无关，得出，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2） 与的取值无关 ， ． 题型十八、整式加减的应用 48．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知一个三位数和一个两位数，将放在的左边，形成一个五位数，交换和的位置，形成另一个五位数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解题意是解题关键．由题意可知，，，再根据整式加减法计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 故选：D． 49．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意，因为，，所以，然后求出即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴； 故答案为：． 50．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由见详解 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查代数式与图形面积、周长的计算，理解图示，掌握整式的混合运算是解题的关键． （1）根据图形的特点，正方形的特点进行分析即可求解； （2）根据题意设，，结合图形分别表示出各部分的面积，由，代入计算即可求解； （3）根据阴影部分的周长的计算进行判定即可求解． 【详解】（1）解：正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③，即③遮住了②①，②遮住了①， ∴三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是①②③， 故答案为：①②③； （2）解：如图所示， ∵正方形内部摆放着三个边长为2的正方形， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， ， 整理得，， ∴， 解得，， ∴； （3）解：阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由如下， 阴影部分的周长， 其中，，，， ∴原式， ∴阴影部分的周长与正方形的边长无关． 强化训练 一、单选题 1．下列等式中，一定能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号和添括号的方法．根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．进行分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．单项式与是同类项，则常数的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】直接利用同类项的定义分析得出答案． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 3．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据图示，用含的式子表示出拼成长方形的长和宽，根据面积的计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据图示，拼成长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， 故选：B ． 4．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．三次项的系数为0.3 D．四次项的系数是3 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数、系数及常数项，正确把握相关定义是解题关键． 根据多项式的次数、项数、系数及常数项的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：A、多项式由四个单项式组成，分别为（三次）、（五次）、（四次）、（零次）．最高次数为5，故是五次四项式，故此选项说法正确，不符合题意． B、常数项为，故此选项说法正确，不符合题意． C、三次项为，其系数为，故此选项说法正确，不符合题意． D、四次项为，其系数为，而非，故此选项说法错误，符合题意． 故选：D． 5．如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现将其余三面留出宽都是2的小路，中间余下的长方形部分做花园，在花园四周做栅栏，则栅栏的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，求出花园的长和宽，利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：由图可知，花园的长为：，宽为， ∴栅栏的长为：； 故选A． 6．一列数，，…，其中，，，…，，则（    ） A． B．1 C．2020 D． 【答案】B 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， 即这列数依次以，，2循环出现， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化特点，明确题意、发现数字的变化特点是解题的关键． 7．如图，两个大小正方形的边长分别是4cm和xcm（0＜x＜4）．用含x的式子表示图中阴影部分的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两个正方形的面积减去3个空白三角形的面积即可． 【详解】解：阴影部分的面积为42+x2-（4+x）×4-x2-×4（4-x） =16+x2-8-2x-x2-8+2x =x2（cm2）． 故选：B． 【点睛】此题考查列代数式，整式的加减，掌握组合图形的面积一般都是将它转化到已知的规则图形中进行计算是解决问题的关键． 8．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可． 【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元， ∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等． 9．有五张大小相同的长方形卡片(如图①)：如图②的放法将它们平铺放置在一个长方形(长比宽多2)的纸板上．每张长方形卡片的宽为a、长为b，纸板未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中阴影部分的周长可用a、b表示为（       ） A．10a +4b B．14a +4b C．4a+14b-8 D．14a+4b-8 【答案】D 【分析】先用a，b，表示出长方形纸板的长与宽，再根据两个阴影部分的边长之和与长方形纸板之间的关系，用a，b，表示出阴影部分边长之和，并计算出周长． 【详解】解：由图可知，长方形纸板的长等于3个小长方形的宽加上一个小长方形的长， ∴长方形纸板的长=3a＋b， ∵长方形纸板的长比宽多2， ∴长方形纸板的宽=3a＋b－2， 由图可知，阴影部分横向边长之和=（3a＋b）×2=6a＋2b， 阴影部分纵向边长=（3a＋b－2）－[（b＋2a）－（3a＋b－2）]=4a＋b－4 阴影部分纵向边长之和=（4a＋b－4）×2=8a＋2b－8 阴影部分周长=8a＋2b－8＋6a＋2b=14a＋4b－8， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的计算，和数形结合的思想，能够运用数形结合的思想列出代数式是解决本题的关键． 10．如图1是一个水平桌面上摆放的棱长为1的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成的几何体，按照这样的规律继续叠放下去，至第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是（　　） A．117 B．118 C．119 D．120 【答案】A 【分析】每个小正方体的每个面的面积为1，所以只要得出几何体露在桌面外的面便可求得几何体露在桌面外的表面积，因此可分前后左右四个部分得出露在桌面外的面，从上面分横向与纵向两个方向露在桌面外的面，然后相加，利用求和公式计算即可得解． 【详解】解：从正面看，露在桌面外的面有：1+3+5+…+（2n﹣1）， 所以，从前、后、左、右看，露在桌面外的面有， 从上面看，露在桌面外的面有：， 所以，第n个叠放的图形中，露在桌面外的面有：， 露在桌面外的表面积是． ∴第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是， 故选：A． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，立体图形比较复杂，注意确定正方体的个数与几何体露在桌面外的面数时按照一定的顺序查找方可做到不重不漏，也是解题的关键． 二、填空题 11．多项式的常数项是 ． 【答案】 【分析】先将多项式整理，再判断常数项即可． 【详解】整理，得， 所以这个多项式的常数项为． 故答案为：． 12．在计算时，小明同学将括号前面的“-”号抄成了“+”号，得到的运算结果是，则多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值问题．由题意得：，可得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴ ， 故答案为： 13．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先去括号，然后根据将已知式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值，整式的加减，正确的计算是解题的关键． 14．飞机逆风飞行时的速度为千米/时，风速为千米/时，则飞机顺风飞行时的速度为 千米/时． 【答案】 【分析】根据顺风速度=飞机速度+风速，逆风速度=飞机速度-风速，可得答案． 【详解】解：飞机速度=逆风速度+风速， 所以顺风速度=飞机速度+风速， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，掌握顺风和逆风时的速度计算，是本题的关键． 15．观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据箭头规律按照的顺序为一个循环，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：箭头规律按照的顺序为一个循环， ∵， ∴第2024个单项式的位置与的位置相同， ∴第2024个单项式到第2025个单项式的箭头为：； 故答案为：． 三、解答题 16．把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 17．合并下列各式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出同类项，再合并即可； （2）先找出同类项，再合并即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了同类项和合并同类项的应用，关键是把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变． 18．化简下列多项式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号法则，整式的加减，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可． （2）先去括号，然后合并同类项即可． （3）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 19．已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数． 【答案】1和 【分析】根据多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：多项式是五次四项式，最高次项的系数为， 或， 解得：或， 单项式与该多项式的次数相同， ， 把代入得：， 解得：， ， 多项式为， 三次项系数为1和． 【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的相关概念，根据题意正确求出的值，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键． 20．已知，小红错将“”看成了“”，算得结果为． (1)求； (2)小军跟小红说：“的大小与取值无关”，小军的说法对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)对，理由见解析 【分析】（1）将错就错，列出关系式，去括号，合并同类项即可求得B； （2）把A和B代入中化简，根据结果与c的取值关系判断即可． 【详解】（1）根据题意：，， 即 ； （2）小军的说法对， 理由： ∵，， ∴ ， ∴结果不含c，即的大小与取值无关， 故小军的说法对． 【点睛】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项是解题的关键． 21．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【答案】(1)喷泉的长为米，宽为米 (2) 喷泉的周长为米，当时，周长为35.6米 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键． （1）列出长为：，宽为：，即可求解； （2）可求周长为，化简代值计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米）， 答：喷泉的长为米，宽为米； （2）由题意得： 喷泉的周长为： 当时，原式． 故当米时，喷泉的周长为米． 22．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 整式的加减（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.单项式 2.多项式 3.整式 4.同类项 5.合并同类项 6.去括号法则 7.整式的加减运算 题型巩固 一、单项式的判断 二、单项式的系数、次数 三、单项式规律题 四、多项式的项、项数或次数 五、多项式系数、指数中字母求值 六、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 七、整式的判断 八、数字类规律探索 九、图形类规律探索 十、同类项的判断 十一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 十二、合并同类项 十三、去括号 十四、添括号 十五、整式的加减运算 十六、整式的加减中的化简求值 十七、整式加减中的无关型问题 十八、整式加减的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.单项式 1. 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式. 2. 单项式的系数与次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数. (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数. 特别提醒： (1)单项式的系数包括它前面的符号， 且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关. (2)确定一个单项式的次数时， ①没有写指数的字母， 实际上其指数是“1”，计算时不要将其遗漏； ②不要把系数的指数当成字母的指数一同计算. 如5²mn的次数是1＋4＝5，不能把系数的指数“2” 当成字母的指数. 知识点2.多项式 1. 多项式 几个单项式的和叫作多项式. 一个式子是多项式需具备两个条件： (1)式子中含有运算符号“＋” 或“－” ； (2)分母中不含有字母. 2. 多项式的项 多项式中， 每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项， 一个多项式含有几项，就把这个多项式叫作几项式. 3. 多项式的次数 多项式里， 次数最高的项的次数， 叫作这个多项式的次数. 4. 多项式的排列 我们常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序排列. 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列， 叫做这个多项式按这个字母的降幂排列, 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列, 叫作这个多项式按这个字母的升幂排列. 知识点3.整式 概念 单项式和多项式统称整式. 特别提醒：如果一个式子既不是单项式， 又不是多项式， 那么它一定不是整式. 特别解读 1. 单项式是整式. 2. 多项式是整式. 知识点4.同类项 1. 概念 一般地， 所含字母相同， 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“两个相同”：①所含字母相同； ②相同字母的指数也相同， 两者缺一不可. (2)是不是同类项有“两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关. 如3mn与－nm是同类项. (3)同类项可以有两项， 也可以有三项、四项或更多项， 但至少有两项. 知识点5.合并同类项 1. 概念 根据运算律把多项式中的同列项合并成一项叫作合并同类项. 2. 法则 同类项的系数相加， 所得的结果作为系数， 字母和字母的指数不变. 3. 合并同类项的一般步骤 (1)“找”： 找出同类项， 当项数较多时， 通常在同类项的下面做相同的标记； (2)“合”： 运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合； (3)“并”： 利用合并同类项法则合并同类项； (4)“写”： 写出合并后的结果. 知识点6.去括号法则 1. 法则 括号前面是“＋” 号， 把括号和它前面的“＋”号去掉， 括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－” 号， 把括号和它前面的“－”号去掉， 括号里各项的符号都要改变. 简言之： 括前“－” 变“＋” 不变. 2. 去括号时的注意事项 (1)去括号时， 要将括号连同它前面的符号一起去掉； (2)在去括号时， 首先要明确括号前的符号是“＋” 还是“－” ； (3)需要变号时， 括号里的各项都变号； 不需要变号时， 括号里的各项都不变号. 3. 拓展：去括号法则的逆用 (1)添括号法则： 添括号时， 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号， 如果括号前面是负号， 括号括号里的各项都改变符号． (2)添括号与去括号互为逆变形， 添括号是否正确， 可以用去括号进行检验. 知识点7.整式的加减运算 1. 运算法则 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律， 如果有括号先去括号， 再合并同类项. 2. 整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算：依据有理数的运算法则进行计算. 题型巩固 题型一、单项式的判断 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）有下列代数式：，其中单项式的个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）下列代数式：①，②m，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，单项式共有 个． 题型二、单项式的系数、次数 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（　　　） A．，2 B．，2 C．，3 D．，3 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）单项式的系数是 ． 5．观察下列一系列单项式的特点： ，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，… (1)写出第8个单项式； (2)猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 题型三、单项式规律题 6．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）按一定规律排列的单项式： …，第n个单项式是 ． 7．观察下列各式：﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，… (1)写出第2014个和2015个单项式； (2)写出第n个单项式． 题型四、多项式的项、项数或次数 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）多项式的次数和常数项分别是（   ） A．， B．2，1 C．， D．， 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）多项式的次数是 ． 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）一个二元三次多项式最多能有多少项？ （2）如果一个多项式的每一项次数都相等，我们就称这个多项式为“齐次多项式”．例如就是一个齐次多项式，也是一个齐次多项式，但是不是一个齐次多项式，那么一个三元三次齐次多项式最多能有多少项？ 题型五、多项式系数、指数中字母求值 11．多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 12．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如果 是关于x，y的五次三项式，那么 ． 13．当m为何值时，是四次多项式． 题型六、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 14．多项式按字母的降幂排列正确的是（ ） A． B． C． D． 15．多项式按字母的降幂排列为 ． 16．（2023七年级上·江苏·专题练习）合并下列各式中的同类项，并将结果按字母x的降幂排列： (1)； (2) 题型七、整式的判断 17．下列代数式：10，，，，，，，其中是整式的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 18．下列式子中：，，，，，整式有 个． 题型八、数字类规律探索 19．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）做一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得； ……，以此类推，则（     ）． A．65 B．101 C．26 D．122 20．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义一种关于整数n 的“F”运算： （1 ） 当n 是奇数时，结果为； （ 2 ） 当n 是偶数时，结果是（其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经F 运算是29；第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23， 第四次经F 运算是74…；若，则第2025次运算结果是 21．（24-25七年级上·江苏盐城·）如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？   题型九、图形类规律探索 22．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）用黑白两色棋子按如图所示方式摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 20个图形需要黑色棋子的个数是 24．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． ． (1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． (2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 题型十、同类项的判断 25．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列选项中的两项是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 26．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）写出单项式的一个同类项 ． 题型十一、已知同类项求指数中字母或代数式的值 27．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）若单项式与是同类项，则n的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若和是同类项，则 ． 29．已知单项式与单项式的和仍为单项式，求的值． 题型十二、合并同类项 30．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级上·江苏常州·期中）在括号里填写一个单项式，使等式成立：（ ）． 32．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）化简：． 题型十三、去括号 33．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）下列各式中与多项式不相等的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）去括号： ． 35．（22-23七年级上·江苏·期中）合并同类项 (1)； (2)． 题型十四、添括号 36．下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 37．2a﹣b+c＝2a﹣( )． 38．观察下列各式：①﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x＋30＝5（x＋6）；④﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1＋a2＋b＋b2的值． 题型十五、整式的加减运算 39．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 （用含有的代数式表示） 41．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算： (1) (2) 题型十六、整式的加减中的化简求值 42．已知P＝a3﹣2ab+b3，Q＝a3﹣3ab+b3，则当a＝﹣5，b＝时，P、Q关系为（　　） A．P＝Q B．P＞Q C．P≥Q D．P＜Q 43．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则代数式的值为 ． 44．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知 (1)求 (2)当时，求的值 题型十七、整式加减中的无关型问题 45．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若关于的多项式中不含有的一次项，则的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 46．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 47．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 题型十八、整式加减的应用 48．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知一个三位数和一个两位数，将放在的左边，形成一个五位数，交换和的位置，形成另一个五位数，则的值为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 50．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 强化训练 一、单选题 1．下列等式中，一定能成立的是（   ） A． B． C． D． 2．单项式与是同类项，则常数的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．三次项的系数为0.3 D．四次项的系数是3 5．如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现将其余三面留出宽都是2的小路，中间余下的长方形部分做花园，在花园四周做栅栏，则栅栏的长为（   ） A． B． C． D． 6．一列数，，…，其中，，，…，，则（    ） A． B．1 C．2020 D． 7．如图，两个大小正方形的边长分别是4cm和xcm（0＜x＜4）．用含x的式子表示图中阴影部分的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 8．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．有五张大小相同的长方形卡片(如图①)：如图②的放法将它们平铺放置在一个长方形(长比宽多2)的纸板上．每张长方形卡片的宽为a、长为b，纸板未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中阴影部分的周长可用a、b表示为（       ） A．10a +4b B．14a +4b C．4a+14b-8 D．14a+4b-8 10．如图1是一个水平桌面上摆放的棱长为1的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成的几何体，按照这样的规律继续叠放下去，至第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是（　　） A．117 B．118 C．119 D．120 二、填空题 11．多项式的常数项是 ． 12．在计算时，小明同学将括号前面的“-”号抄成了“+”号，得到的运算结果是，则多项式是 ． 13．已知，，则的值为 ． 14．飞机逆风飞行时的速度为千米/时，风速为千米/时，则飞机顺风飞行时的速度为 千米/时． 15．观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 三、解答题 16．把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 17．合并下列各式中的同类项： (1)； (2)． 18．化简下列多项式： (1)； (2)； (3)． 19．已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数． 20．已知，小红错将“”看成了“”，算得结果为． (1)求； (2)小军跟小红说：“的大小与取值无关”，小军的说法对吗？为什么？ 21．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 22．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 学科网（北京）股份有限公司 $