3.3.2指数函数的图像和性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图像、单调性、定义域、值域及不等式应用，通过笛卡尔、皮亚诺等数学家故事导入，以“基础图像识别—复合函数单调性分析—指数不等式求解”为脉络，搭建递进式学习支架。 其亮点在于融合数学史激发学习兴趣，通过典例引路（如例4用“同增异减”分析复合函数单调性）培养推理能力，同步练习（如求函数定义域值域）强化模型意识。学生能系统掌握方法，教师可直接利用讲练结合资源提升教学效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第三章 指数运算与指数函数 第3.2节 指数函数的图像和性质 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握指数函数的图像； 2、会从图像观察函数的性质； 3、掌握指数函数的性质。 1、指数函数的图像； 2、指数函数的性质。 1、指数函数的性质。 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 形如）的函数称为指数函数. 一、什么叫做指数函数？ 二、指数函数的基本性质： 定义域是___________ 值域是_____________ 恒过_______________ R （0，+∞） （0,1) 本节课我们来通过图像进一步研究指数函数的其他性质。 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 画出 、y=()x、y=()x的图象： 第一步：列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x … … 4 8 2 第二步：描点： 第三步：连线： y=2x 用同样的方法，我们依次画出 、y=()x、y=()x的图象 y=()x y=()x 4 0＜a＜1 a＞1 图 像 性 质 定义域 值 域 定 点 单调性 函数值的分布情况 奇偶性 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 y 0 x (0,1) y=1 R （0，+∞） （0,1)，且x轴为渐近线 在R上是减函数 x→+∞时，y→0 x→－∞时，y→+∞ 当x>0时，0<y<1; 当x<0时，y>1. 非奇非偶 x y 0 y=1 (0,1) 在R上是增函数x→+∞时，y→+∞ x→－∞时，y→0 当x>0时，y>1; 当x<0时，0<y<1. 5 典 例 引 路 柯 西 例1、函数y=3|x|的大致图象是（     ） A B C D 解：y=3|x|= 根据指数函数的图象可得。 B 例2、已知a＞0且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数y=ax+1和 y= 的图像可能是（     ） A B C D 解：题目所给的两个函数的图象都经过定点（0，1）,故B错误； 当0＜a＜1时，y=为增函数，此时y=ax+1的零点 - ＜-1，故A错误； 当a＞1时，y= 为增函数，此时y=ax+1的零点-∈（-1,0），故C正确，D错误。 C 6 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练1、函数 y= 图象的大致形状是（     ） A B C D D 练2、在同一直角坐标系中，函数f(x)=ax与g(x)=xa（x≥0）的 部分图像可能是（ ） A B C D C 7 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、函数y=的单调递增区间是　　　　　. 解:令t=x2-2x+3,则由一元二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上单调递减,且y=为减函数, 故函数y=的单调递增区间为(-∞,1]. 例3、函数y=的单调递增区间为(　　) A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 解:函数的定义域为R.设u=1-x,y=, ∵u=1-x在R上为减函数,y=在R上为减函数, ∴y=在R上是增函数. A (-∞,1] 8 同 步 练 习 莱布尼兹 练3、判断y=的单调性。 解:令u=x2-2x,则原函数变为y=3u. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增, 又∵y=3u在(-∞,+∞)上为增函数, ∴y=在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增. 练4、函数 y= 的单调递增区间是______________． 解：函数y= 的定义域满足 -x2+x+2≥0,即x∈[-1,2] 设u= = ,x∈[-1,2] 则根据幂函数和二次函数的单调性可知， 函数u的单调递增区间为[-1, ],单调递减区间为[ ,2] 又∵指数函数 y=()u在其定义域内为减函数， ∴由复合函数的单调性可知y=的单调递增区间为[ ,2] 9 典 例 引 路 集合论之父——康托 例5、比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73 （2） ， （3）1.70.3，0.93.1 解：1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x 当x分别取2.5和3时所对应 的两个函数值。 因为底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x是增函数． 因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73． 解： 和 可看作函数y＝0.8x 当x分别取-和- 时所对应的两个函数值。 因为0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x是减函数． 因为 -＞-，所以＜ 解：由指数函数的特性知1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1， 所以1.70.3＞0.93.1． (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断. (2)底数不同，指数不同：通过中间量来比较. 10 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练5、比较下列各题中两个数的大小： （1）； （2）. 解：(1)底数，，即， 底数,，即， ∴； 解：(2)底数，， 底数,， ∴. 11 典 例 引 路 牛 顿 例6、（1）求使不等式成立的实数的集合； （2） . 解：因为，所以， 又因为函数在上为增函数，所以， 所以实数的集合为； 解：∵函数在上为减函数，且 ∴，即， 又∵恒成立， ∴. 12 同 步 练 习 黎 曼 练6、求使下列不等式成立的实数的集合： (1)； （2） 解：∵函数在上为增函数，且， ∴可转化为，∴∴ 解：不等式可转化为， ∵函数为减函数， ∴，解得 ∴不等式的解集为． 13 典 例 引 路 华罗庚 解：依题意得，∴，即， ∴函数的定义域为(-∞,0]. 例7、求 函数的定义域： 例8、已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),则函数y= 的定义域为_____. 解：依题意得 得 1＜x＜4， 所以定义域为（1,4）。 14 同 步 练 习 洛必达 (1). 练7、求下列函数的定义域： 解：依题意得，∴， ∵函数在上为增函数， ∴，∴. (2) y= - 解：由题意可知 2 - 4x≥0 ,x≠0 解得 x≤ ,且 x≠0 故该函数定义域为（-∞，0）∪（0， ] 15 典 例 引 路 狄利克雷 例8、 求下列函数的值域： （1），. 解：∵函数，其在区间上为减函数， ∴其值域为， ∴函数在区间上的值域为 例9、函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值 的差为5,则a=__________.  解析:当a>1时,有a1-a0=5,即a=6; 当0<a<1时,有a0-a1=5,即a=-4(舍去). 综上知,a=6. 16 同 步 练 习 庞加莱 练8、求函数y＝(0≤x≤3)的值域 解：令t＝x2－2x＋2，则y＝， 又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，0≤x≤3， ∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5. 故1≤t≤5， ∴≤y≤ 故所求函数的值域为 练9、函数f（x)＝－3x在区间[－1，1]上的最大值为________ 解： ↘， ↘,最大值是 17 典 例 引 路 傅里叶 例10、已知函数f(x)＝a(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值． 解：(1)证明：f(x)的定义域为R， 设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1<x2， 因为 所以不管a为何值，在R上为增函数 函数 （3）由(2)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．∵f(1)＝，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为. 18 同 步 练 习 陈景润 练10、已知f(x)=a+ (a∈R) (1)若函数fx)为奇函数，求实数a的值； (2)用定义法判断函数f(x)的单调性； (3)若当x∈[-1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围。 解：（1）若函数f(x)为奇函数， ∵x∈R, ∴f(0)=a+1=0,得a=-1 验证当a=-1时，f(x)=-1+ =为奇函数 ∴a=-1 (2)设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1<x2， 因为 所以函数f(x)为减函数。 （3）当x∈[-1,5]时，∵f(x)为减函数; ∴f(x)max=f(-1)= 若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max= ≤0 得a≤ - ∴a的取值范围是（-∞， ] 19 全 课 总 结 一、指数函数的图像； 二、指数函数的性质： 定义域 值 域 单调性 最值性 奇偶性 20 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 21 $