精品解析：山东省青岛市城阳第十中学2025-2026学年九年级上学期数学月考试题

2025-2026学年度第一学期阶段质量检测 九年级数学试题 （本试题满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等 ）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， ∴ 平行四边形是矩形，该选项正确． 故选：D ． 3. 顺次连接四边形各边中点得到四边形，若四边形的形状是菱形，则原四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，与三角形的中位线有关的证明，根据菱形的性质，邻边相等，得到原四边形的对角线相等，即可． 【详解】解：如图，分别为的中点， 则：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当四边形的形状是菱形时，则：， ∴； 故原四边形是对角线相等的四边形； 故选D． 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 5. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长． 已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线，， ， ， ， ， ， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°， ∴AE=AF， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°， ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60°， ∵AB=4， ∴AE=2， ∴EF=AE=2， 过A作AM⊥EF， ∴AM=AE•sin60°=3， ∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3， 故选B. 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形． 9. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】连接AC，延长CB，过点F作CH⊥CB于点H，则根据题意可得：FH=1，CH=2+3=5， 根据勾股定理可得：CF=， 根据正方形的性质可得：∠CAB=45°，则∠CAF=90°，即△CAF为直角三角形， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AM=. 故选D 【点睛】本题主要考查的就是矩形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，解决本题的关键就是通过构造辅助线将所求的线段转化到直角三角形中.在这个问题中，通过直角三角形的勾股定理求出斜边的长度，然后根据正方形和等腰直角三角形的性质得出直角三角形，最后根据直角三角形的性质得出答案. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=21 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 11. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______． 【答案】20 【解析】 【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键． 12. 某汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同百分率后售价为万元，则每次下调的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设每次下调的百分率为，第一次下调百分率后的售价为，第二次下调百分率后的售价为，据此列出方程即可． 【详解】解：设每次下调的百分率为， 由题意得：， 解得：解得或（不合题意，舍去）， 所以， 故答案为：． 13. 如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，由题意，易得均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 14. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】利用菱形性质得出，可知为斜边中线，结合等腰三角形的性质求出，利用外角即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边对等角，三角形外角性质等知识，根据菱形性质判断出为斜边中线是解题关键． 15. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④；⑤；中正确结论的序号为______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】由图易知，而是等腰直角三角形，由等腰直角三角形三边关系得到①正确；先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为，得②正确；当时，最小，则最小，所以当时，最小，此时，得③错误；延长交于，延长交于．先证明，得，由与互余，可得，得④正确；根据，可得，所以⑤正确． 【详解】解：①∵于点，于点，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故①正确； ②∵，， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形的周长， 故②正确； ③当时，最小； ， ∴的最小值为． 故③错误； ④如图 延长交于，延长交于， 在正方形中，， 又∵， ∴； 由②知四边形是矩形， ∴， ∴； 由①知， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵，与互余， ∴与互余， ∴， 即， 故④正确； ⑤由④知，， ∴， 故⑤正确； 综上：①②④⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形，等腰直角三角形，垂直的证明方法，垂线段最短，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和运用“垂线段最短”是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 【答案】 如图，菱形AECF为所作． 【解析】 【分析】连结AC，作AC的垂直平分线交BC于E、交AD于F，利用矩形的性质可得AC垂直平分EF，则四边形AECF为菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 四、解答题（本大题共6小题，共71分） 17. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）； （4）（用因式分解法）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3）无实数根 （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方程，是解题的关键： （1）移项，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方后，直接开方法求方程的解即可； （2）将方程化为一般式，利用公式法进行求解即可； （3）利用公式法进行求解即可； （4）提公因式法因式分解后，进行求解即可； （5）将方程化为一般式，因式分解法解方程即可； （6）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ， ∴， ∴， ∴方程没有实数根； 【小问4详解】 ， ， ∴或， ∴； 【小问5详解】 原方程整理，得， ， ∴或， ∴； 【小问6详解】 ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 【答案】当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴， 答：当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，已知方程的根，求参数，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）将代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入方程，得， 整理，得， 解得． 20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】4米 【解析】 【分析】用平移法，计算阴影的长为米，米，利用矩形的面积公式列方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程，并解答是解题的关键． 【详解】解：根据道路的宽为x米，根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽为4米． 21. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）时,四边形EGCF是矩形，理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 22. 已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质． （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 23. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，． （1）当为何值时，四边形是菱形？请说明理由； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）时，四边形是菱形，理由： 由题得，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 解得． 故时，四边形是菱形． （2）或，理由： ①当时，， ，， ， 即， 解得． ②当时， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 即， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了含有角的直角三角形的性质，菱形的判定，四边形中的动点问题，根据题目中信息和菱形性质找到边长的等量关系列方程是解题关键． （1）由题可得四边形为平行四边形，令列方程求解即可． （2）分类讨论：①，②，利用角所对直角边等于斜边一般的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段质量检测 九年级数学试题 （本试题满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 顺次连接四边形各边中点得到四边形，若四边形的形状是菱形，则原四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 9. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 11. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______． 12. 某汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同百分率后售价为万元，则每次下调的百分率为______． 13. 如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为______． 14. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______． 15. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④；⑤；中正确结论的序号为______． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 四、解答题（本大题共6小题，共71分） 17. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）； （4）（用因式分解法）； （5）； （6）． 18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 21. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 22. 已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 23. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，． （1）当为何值时，四边形是菱形？请说明理由； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $