第10章 分式 强化训练2025-2026学年北京版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年数学八年级上册北京版（2024）第10章分式强化训练 一、单选题 1．下列各式，，，中，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 3．分式方程的解为（    ） A． B． C． D．无解 4．已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 5．若关于的分式方程的解是正数，且关于的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数的和是（   ） A． B．9 C． D． 6．解分式方程的步骤：①方程两边同时乘最简公分母；②得到整式方程；③解得；④检验：当时，，故原分式方程的解为．其中最开始出现错误的一步为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中x表示（   ） A．甲队每天修路的长度 B．乙队每天修路的长度 C．甲队修路所用的天数 D．乙队修路所用的天数 8．药店可以买到和两种浓度的酒精，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．使式子有意义的x的取值范围是 ． 10．若，则分式 ． 11．已知，则的值为 ． 12．若代数式的化简结果为，则M为 ． 13．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 14．给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是 ． 15．已知是关于x的分式方程的解，则a的值为 ． 16．某地为优化教育资源，现改造寄宿制学校，改造工程中，先由甲工程队承建，工作一段时间后，为了按期完成任务，乙工程队加入工作，共同工作80天后，正好按期完成，已知，甲工程队单独做这项工程，要比工期多100天，乙工程队单独做这项工程，要比工期多40天，则这项工程的工期是 天． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．先化简：，再从中选择一个合适的值代入求值 19．对于代数式，小虎说，“当时，并且说只要小蓝任意报一个a的值（），他都可以马上求出这个代数式的值．你能通过计算说明小虎快速判断的依据吗？请说明理由． 20．先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 21．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 22．问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年数学八年级上册北京版（2024）第10章分式强化训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A D B A B 1．B 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如（，为整式），且中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可． 【详解】解：，，，中，是分式的有，，，共个， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查根据分式方程的解求解参数，解一元一次不等式，正确解出分式方程是求解此题的前提． 先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是非负数”即可求出的取值范围． 【详解】解：原式去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 解得， 综上：且， 故选：A． 3．D 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，当时，， 原分式方程无解， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 5．D 【分析】此题考查的是根据分式方程解的情况和不等式组解的情况求参数的取值范围，掌握解分式方程、分式方程增根的定义和解不等式组是解决此题的关键． 先求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数即可列出关于a的不等式，然后解不等式组，根据不等式组有解，再列出关于a的不等式，即可判断a可取的整数，最后求和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是正数， ∴且， ∴且， ∴且， 解 得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∴且， ∴满足要求的所有整数的值为， ∴满足上述要求的所有整数的和是． 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解： ①方程两边同时乘最简公分母得： ②， ③解得； ④检验：当时，， 故原分式方程的解为． 其中最开始出现错误的一步为②． 故选：B 7．A 【分析】本题考查了列分式方程． 根据“乙队每天比甲队多修”作答即可． 【详解】解：乙队每天比甲队多修，则表示乙队每天修路的长度， 即方程中x表示甲队每天修路的长度， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了根据题意列分式方程． 根据列方程即可． 【详解】∵将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水 ∴， 故选：B． 9．，且 【分析】本题主要考查了分式除法运算以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的除法法则以及分式有意义条件是解题关键．根据分式除法运算法则及分式有意义的条件，即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴，且， 故答案为：，且． 10． 【分析】本题考查的是分式的除法运算，根据乘法的意义列式求解即可． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为： 11．6 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减乘除法则，先将分式进行化简，然后根据题意可知，代入即可求值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 12． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握分式混合运算的法则． 利用除法算式的意义先进行分式的乘法运算，再进行分式的减法运算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 13．或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 14． 【分析】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键． 第偶数个分式符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方，据此求解即可． 【详解】解：第偶数个式子符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方， ∴第2022个分式是． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了分式方程的解的应用，熟练掌握分式方程的解的定义（使分式方程左右两边相等的未知数的值）是解题的关键．将方程的解代入分式方程，得到关于的方程，再求解这个方程． 【详解】解：∵ 是分式方程的解， ∴ 把代入方程，得， 解得． 故答案为：． 16．200 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，正确熟知两队每天完成的工作量及实际工作的天数是解题的关键． 设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的．完成这项工程，甲用了x天，乙实际用了80天，据此列方程求解即可． 【详解】解：设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的． 根据题意可得：，解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 所以该项工程的工期是200天． 故答案为：200． 17．(1)2 (2) 【分析】本题主要考查分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用同分母分式加减法法则进行计算即可； （2）原式先进行分式变形，再运用同分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．，当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，结合分母不为0以及，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴把代入，得． 19．任意报一个a的值，小虎都可以用这个数减去1，马上说出这个代数式的值． 【分析】此题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简分式，再根据题意进行解答即可． 【详解】解： ． ∴任意报一个a的值，小虎都可以用这个数减去1，马上说出这个代数式的值． 20．(1)1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据分式的混合运算，逐步分析找出错误及错因； （2）根据分式的混合运算正确计算，化为最简，再代入求值； （3）根据分式的混合运算，写出注意事项，答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：以上计算步骤中，第1步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母， 故答案为：1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母； （2）解： 当时， 原式； （3）解：答案不唯一，如：注意分式中分母的取值范围，特别是除式中分子、分母都不能等于0；分式的混合运算中顺序类似于有理数混合运算，先计算乘方，再乘除，最后计算加减，有括号要先算括号里面的等等． 21．(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 22．（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸的加油方式比较合算；（2），见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的大小比较，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；再根据题意利用作差法进行分析比较即可； （2）根据题意，由时间路程速度，进而列式后，再相减比较大小． 【详解】解：（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元） 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元）， ∴． 而， ∴． ∴． ∴即． ∴小慧的爸爸的加油方式比较合算． （2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $