学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（新教材北京版，范围：八年级上册第10章）

**基本信息** 聚焦分式章节核心，通过抗战纪念馆参观、净水装置优化等真实情境，融合基础运算与创新探究，考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|分式性质、有意义条件、方程应用|结合行程问题（参观时间）考查分式方程建模| |填空题|8/24|分式值为0、方程解、规律探究|以健走时间比较（甲/乙速度）体现应用意识| |解答题|10/72|分式化简、方程求解、方案优化|含净水材料分配方案设计（三次过滤比较）、“差整分式”新定义探究，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 10. 11. 3 14. 15. 16 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(6分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(6分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版八年级上册第10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 3．八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且且 5．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 7．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 8．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的解为________． 10．若分式的值为0，则x的值为________ ． 11．若关于的方程的解是，则的值为___________． 12．若，则代数式的值为________． 13．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 14．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________． 15．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 16．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论： ①第3次操作后得到的分式可化为． ②第4次操作后的分式可化为． ③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个． ④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且． 以上四个结论中正确的有______．（只填写序号） 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）计算下列各题 (1)； (2)． 18．（5分）解下列分式方程 (1)； (2)． 19．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工个，甲加工个零件与乙加工个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件？ 20．（6分）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程：， 解：两边同乘得：① 去括号得：② 移项得：③ 解得：④ …… (1)以上解答有错误，最先开始错误的步骤是_________（填序号），此步骤的做题依据是_________； (2)请给出正确的解答过程． 21．（6分）已知，求代数式的值． 22．（8分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为______； (2)小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / _____ _____ ①请将表格中方案的数据填写完整； ②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由． (3)当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的_____倍． A．1    B．2    C．3    D．4 23．（8分）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 24．（8分）已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 25．（10分）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 26．（10分）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版八年级上册第10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 3．八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且且 5．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 7．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 8．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的解为________． 10．若分式的值为0，则x的值为________ ． 11．若关于的方程的解是，则的值为___________． 12．若，则代数式的值为________． 13．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 14．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________． 15．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 16．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论： ①第3次操作后得到的分式可化为． ②第4次操作后的分式可化为． ③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个． ④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且． 以上四个结论中正确的有______．（只填写序号） 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）计算下列各题 (1)； (2)． 18．（5分）解下列分式方程 (1)； (2)． 19．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工个，甲加工个零件与乙加工个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件？ 20．（6分）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程：， 解：两边同乘得：① 去括号得：② 移项得：③ 解得：④ …… (1)以上解答有错误，最先开始错误的步骤是_________（填序号），此步骤的做题依据是_________； (2)请给出正确的解答过程． 21．（6分）已知，求代数式的值． 22．（8分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为______； (2)小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / _____ _____ ①请将表格中方案的数据填写完整； ②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由． (3)当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的_____倍． A．1    B．2    C．3    D．4 23．（8分）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 24．（8分）已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 25．（10分）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 26．（10分）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版八年级上册第10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的求值，取特殊值可判断A、B、C；根据分式的基本性质可判断D． 【详解】解：A、取，则，，此时，不符合题意； B、取，则，，此时，不符合题意； C、取，则，，此时，不符合题意； D、把分式的分子和分母同时乘以a可得，原式成立，符合题意； 故选：D． 2．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分子和分母同时扩大相同的倍数（非零），分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵原分式为，当和都扩大3倍时，新分式为 ， ∴分式的值不变． 故选C． 3．八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 根据同时到达的条件，大车行驶时间比小车多4分钟，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大车平均速度为，则小车平均速度为， ∵大车行驶时间：小时， 小车行驶时间：小时， 小车晚出发4分钟，即小时， 且同时到达， ∴ ， 故选：A． 4．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】代数式有意义需分母不为零且除数不为零，列不等式组求解即可；本题主要考查了分式有意义的条件是分母不为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵原式为有意义， ∴， 解得； ∴的取值范围为且且． 5．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 6．当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求分式的值，数字的变化规律，通过计算发现当时与当时所得的代数式的值和为是解题的关键． 根据当时，，当时，，可得，求和即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时所求的代数式的值为， 这些分式的值的和等于， 故选：D． 7．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．原分式方程可解得，若此分式方程无解即这个根是增根，据此解答即可． 【详解】解： 两边同乘公分母 ： ， ， 原分式方程无解即为增根， 即 或 ， 当时，则 ，解得 ； 当时，则，解得 ． ∴ 或 时方程无解． 故选： D． 8．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解法和增根的定义进一步确定的值即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 由于不等式组有解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 又分式方程的解为有非负数解， ， 即， 又分式方程的增根是， ， 解得， 综上所述，且， 即或或或或， 符合条件的所有整数的值的和为． 故选：A ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 10．若分式的值为0，则x的值为________ ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零、分母不为零是解题的关键． 根据分式的值为0需满足分子为0且分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且，解得：． 故答案为5． 11．若关于的方程的解是，则的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了方程的解的定义及解分式方程． 根据题意，将代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：将代入方程，得， 交叉相乘，得，即， 解得． 故答案为：8． 12．若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先计算第二个小括号内分式的减法，再计算分式的除法并化简，然后将化为，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴原式． 13．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 14．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解法、分式方程的增根以及解的非负性条件．去分母，将分式方程化为整式方程是解题关键． 先将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再根据解为非负数以及分式有意义的条件即可得． 【详解】解：方程两边同乘（）， 得，解得， ∵方程的解是非负数， ∴，即； 又∵分母，即， ∴，即， ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 15．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 乙 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，正确表示出是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求出甲两段路程的时间，求和可得，先求出乙的平均速度，进而求出，再作差即可得到答案； （2）根据（1）的结果结合即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴当时，，，即，则乙先到． 故答案为：乙． 16．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论： ①第3次操作后得到的分式可化为． ②第4次操作后的分式可化为． ③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个． ④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且． 以上四个结论中正确的有______．（只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据新定义得到第3次操作后得到的分式为，可判断①；根据新定义得到第4次操作后得到的分式为，可判断②；根据新定义得到第5次操作后得到的分式为，再变形为，由分式可以化为整数得出是20的因数，再结合a为正整数求出的值，可判断③；经过n次操作后得到的分式为，由题意得，结合和都是正整数，求出符合题意的a的值，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：第3次操作后得到的分式为， ，故①正确； 第4次操作后得到的分式为， ，故②正确； 第5次操作后得到的分式为， ， 又第5次操作后得到的分式可以化为整数， 是20的因数， ， ， 又a为正整数， ， a的正整数值共有9个，故③不正确； 经过n次操作后得到的分式为， 由题意得，， 整理得：且， ，， ， ， 又a为正整数， ， 为正整数， 是9的倍数， 或， 当时，，此时，舍去； 当时，，此时； 满足这个条件的a的值有1个，且，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同分母分式减法运算法则计算； （2）利用乘法分配律展开，再进行化简． 【详解】（1）解： ．··················2分 （2）解： ．·················5分 18．（5分）解下列分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 方程两边都乘以得：， 整理得， 解得，·················1分 检验：当时，， ∴原方程的解是；·················2分 （2）解： 方程的两边同乘，得， 化简得， 解得，·················4分 检验：把代入， ∴原方程的根为．·················5分 19．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工个，甲加工个零件与乙加工个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工个，乙每小时加工个． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个，根据“甲加工个零件与乙加工个零件所用时间相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时加工个，则甲每小时加工 个， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 甲每小时加工（个）， 答：甲每小时加工个，乙每小时加工个．·················6分 20．（6分）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程：， 解：两边同乘得：① 去括号得：② 移项得：③ 解得：④ …… (1)以上解答有错误，最先开始错误的步骤是_________（填序号），此步骤的做题依据是_________； (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)①，等式基本性质 (2) 解：， 整理得： 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 当时，， 是原分式方程的解． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质检验即可得到答案； （2）按照分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、验根求解即可得到答案． 【详解】（1）解：以上解答有错误，最先开始错误的步骤是①（填序号），此步骤的做题依据是等式基本性质， 故答案为：①，等式基本性质；·················2分 （2）解：， 整理得： 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 当时，， 是原分式方程的解．·················6分 21．（6分）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式．·················3分 ， ． ∴原式．·················6分 22．（8分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为______； (2)小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / _____ _____ ①请将表格中方案的数据填写完整； ②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由． (3)当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的_____倍． A．1    B．2    C．3    D．4 【答案】(1) (2)①表格见详解；②在这三种方案中，方案的最终过滤效果最好，理由见详解 (3)C 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①根据题中所给公式进行代入求解即可；②根据分式的运算进行比较大小即可； （3）根据②可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；·················2分 （2）解：①补充表格如下： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / ②由①可得：， ∵，， ∴，， ∴根据分子一定，分母的值越大，分式的值也就越小可知：， 答：在这三种方案中，方案的最终过滤效果最好；·················5分 （3）解：当第一次过滤用净水材料的单位量时，则过滤水中杂质含量为，第二次过滤用净水材料的单位量也是，则过滤水中杂质含量为， ∵， ∴， ∴由②可知：为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的倍．·················8分 23．（8分）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【答案】(1)3000元；5000元 (2)6个；4个 【分析】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设2024年单枪充电桩的单价为x元,根据双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，列出分式方程，解方程即可。 【详解】（1）解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元 由题意知： 解得： ∴ 答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元．·················4分 （2）解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个． 由题意知： 解得： 经检验：是分式方程的解，且符合题意 ∴ 答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个．·················8分 24．（8分）已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用新定义因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴2的平方差倒数是， 故答案为：；·················2分 （2）解：∵是的平方差倒数， ∴， ∴， 去分母，得， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时；·················5分 （3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数）， 设这一正整数为n, ∴， ∴， 即， 去分母，得， ， ∵a，b，n为正整数， ∴， ∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数． ∵n为正整数， ∴，． ∴的最小值为25，此时， ∴的最小值为10．·················8分 25．（10分）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式．·················2分 （2）解：设， 则 ， 解得， .·················6分 （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1．·················10分 26．（10分）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 【答案】 （）：③ （）： （）： 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （）根据为的“差整分式”，“差整值”，列出等式求出整式； （）根据题意，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【详解】解：（），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非，故③正确； 故答案为：③；·················2分 （）解：∵为的“差整分式”，“差整值”， ∴，即， 方程两边同时乘以得：， 展开得：， 移项得：， 故整式，·················6分 （）解：根据题意， 即 通分合并分子得： 展开左边： 展开右边： 比较系数得方程组： 解得： ． 答：．·················10分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9._______________ 13. ________________ 10. ___________ 14. _______________ 11. _________________ 15.________，________ 12. __________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A D B D D A 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9． 10．5 11．8 12． 13． 14．且 15． 乙 16．①②④ 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分） 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同分母分式减法运算法则计算； （2）利用乘法分配律展开，再进行化简． 【详解】（1）解： ．··················2分 （2）解： ．·················5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 方程两边都乘以得：， 整理得， 解得，·················1分 检验：当时，， ∴原方程的解是；·················2分 （2）解： 方程的两边同乘，得， 化简得， 解得，·················4分 检验：把代入， ∴原方程的根为．·················5分 19．（6分） 【答案】甲每小时加工个，乙每小时加工个． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个，根据“甲加工个零件与乙加工个零件所用时间相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时加工个，则甲每小时加工 个， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 甲每小时加工（个）， 答：甲每小时加工个，乙每小时加工个．·················6分 20．（6分） 【答案】(1)①，等式基本性质 (2) 解：， 整理得： 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 当时，， 是原分式方程的解． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质检验即可得到答案； （2）按照分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、验根求解即可得到答案． 【详解】（1）解：以上解答有错误，最先开始错误的步骤是①（填序号），此步骤的做题依据是等式基本性质， 故答案为：①，等式基本性质；·················2分 （2）解：， 整理得： 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 当时，， 是原分式方程的解．·················6分 21．（6分） 【答案】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式．·················3分 ， ． ∴原式．·················6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)①表格见详解；②在这三种方案中，方案的最终过滤效果最好，理由见详解 (3)C 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①根据题中所给公式进行代入求解即可；②根据分式的运算进行比较大小即可； （3）根据②可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；·················2分 （2）解：①补充表格如下： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / ②由①可得：， ∵，， ∴，， ∴根据分子一定，分母的值越大，分式的值也就越小可知：， 答：在这三种方案中，方案的最终过滤效果最好；·················5分 （3）解：当第一次过滤用净水材料的单位量时，则过滤水中杂质含量为，第二次过滤用净水材料的单位量也是，则过滤水中杂质含量为， ∵， ∴， ∴由②可知：为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的倍．·················8分 23．（8分） 【答案】(1)3000元；5000元 (2)6个；4个 【分析】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设2024年单枪充电桩的单价为x元,根据双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，列出分式方程，解方程即可。 【详解】（1）解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元 由题意知： 解得： ∴ 答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元．·················4分 （2）解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个． 由题意知： 解得： 经检验：是分式方程的解，且符合题意 ∴ 答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个．·················8分 24．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用新定义因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴2的平方差倒数是， 故答案为：；·················2分 （2）解：∵是的平方差倒数， ∴， ∴， 去分母，得， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时；·················5分 （3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数）， 设这一正整数为n, ∴， ∴， 即， 去分母，得， ， ∵a，b，n为正整数， ∴， ∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数． ∵n为正整数， ∴，． ∴的最小值为25，此时， ∴的最小值为10．·················8分 25．（10分） 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式．·················2分 （2）解：设， 则 ， 解得， .·················6分 （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1．·················10分 26．（10分） 【答案】 （）：③ （）： （）： 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （）根据为的“差整分式”，“差整值”，列出等式求出整式； （）根据题意，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【详解】解：（），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非，故③正确； 故答案为：③；·················2分 （）解：∵为的“差整分式”，“差整值”， ∴，即， 方程两边同时乘以得：， 展开得：， 移项得：， 故整式，·················6分 （）解：根据题意， 即 通分合并分子得： 展开左边： 展开右边： 比较系数得方程组： 解得： ． 答：．·················10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $